概率論中常用數字特征的簡單求法

沙嬋娟

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?分析了在求解隨機變量數字特征中的常見問題，通過教學中的實例，了解并且歸納了隨機變量數字特征的實質，計算中繞開了繁雜的定義求解過程，巧妙而簡單地得到了相應的數字特征值。同時把求解方法進行了分類，對該內容的教授和學習有所啟發。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?隨機變量;期望;方差;相關系數

[中圖分類號] ?O211.5 ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2020）45-0162-02

一、引言

概率論課程是高等理工科院校最主要的數學基礎課之一[1]，其為后續的隨機課程做了相當大的鋪墊，同時也是碩士研究生入學的數學考試必考課程之一。在本門課程中，對于各種各樣的隨機變量，如果知道了它們的分布函數，就相當于掌握了它們的全部變化規律，但要得到一個隨機變量的分布函數并不容易，因此，在實際問題中我們常常簡單計算它的某個需要的數字特征即可。例如，比較兩人射擊水平高低，只需先比較其平均射擊環數，即求期望值;如果環數相當，可以再比較著點的集中和分散程度，即做方差比較。在這種情況下，就不需要精確地計算隨機變量的分布函數或者概率密度函數，而只需要計算其數學期望和方差。

對于一些有特點的隨機變量或者隨機變量的函數來說，由于它們自身的特點，我們沒有必要用定義去處理，而只需要了解數字特征的實質，分析變量的特點，利用一些技巧便可以很快得到我們需要的數字特征。

二、隨機變量數字特征分析

概率論中，我們常求解的數字特征包括：數學期望、方差、協方差、相關系數，以及它們的擴展隨機變量矩的概念。下面將結合教學過程中所舉出的實例，充分了解幾類常用數字特征的實質，分析各個要求求解的隨機變量的特點，簡單而巧妙地得到我們想要的結果，并將其方法進行分類。

（一）數學期望的簡單計算

數學期望是隨機變量數字特征中最為重要的一個，因為本質上來看，隨機變量的其他數字特征無非就是隨機變量的特定函數的數學期望，因此對它的簡化是最為重要的。數學期望E（X）刻畫出了隨機變量集中取值的位置，直觀地看就是隨機變量X的平均值。基于這個實質，為了避免定義的繁雜計算，我們分幾類給出求期望的巧妙方法。

（1）利用對稱性計算期望

從這個題目中我們可以看到，實際上對于兩個隨機變量而言，只要能找到它們的線性關系，就直接得到了相關系數。

三、綜述

所謂特征，是希望用少量的信息去近似地分辨一個信息量大的對象。隨機變量的數字特征，即在分布類型已知的情形下，一旦知道數字特征，分布就能確定。所以，概率論的后續課程數理統計中絕大部分內容是在對分布類型及其參數進行近似估算和分析研究。而在本文中，我們給出了求解隨機變量數字特征的簡單方法，總結起來分為以下幾種：（1）利用隨機變量的對稱性;（2）利用已有的常用分布的數字特征，如二項分布，正態分布等; （3）利用數字特征的實質，如期望是平均值，方差是聚集程度，相關系數是線性關系等;（4）分解變量，由繁變簡。

其中這些求解過程是有必要進行仔細推敲和梳理的。當然，想要簡單得到一個隨機變量的數字特征，除了上述方法以外，還有很多其他的方法，如利用密度曲線的對稱性、利用特殊級數的求解[3]、逐項求微分及特殊積分法等，因此我們在學習的過程中需要靈活應用。概率論這門課是高等數學教育中與生產實際相結合最密切的一門課，幾乎是所有后續工程專業課程的基礎，而隨機變量的數字特征是了解隨機變量、掌握其分布的重要訊息，因此我們需要深刻理解、簡單得到。

總之，在大學本科概率論隨機變量數字特征的教學過程中， 我們應該把握住概念的本質內涵，辨別一些容易混淆并且難以理解的概念，理解概念的本質后舉一反三，總結求解的各種方法，相關的概念及內容就能輕松掌握了。最后，在近幾年的考研試題中多次出現此類考題，再次說明了它的重要性。

參考文獻：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]謝興武，李宏偉.概率統計釋難解疑[M].北京：科學出版社，2007.

[3]王湘君，吳鶯，王輝.隨機變量方差為零充要條件的應用[J].高等數學研究，2014（3）：16-17.

◎編輯 李 爭