例談反比例函數(shù)中的解題策略

胡清山

（福建省莆田中山中學(xué)，福建莆田 351100）

引 言

近幾年，各地市數(shù)學(xué)中考試卷比較注重考查學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)與幾何問(wèn)題的綜合應(yīng)用，并出現(xiàn)了不少新穎獨(dú)到、構(gòu)思精巧、綜合性較強(qiáng)但難度適中的數(shù)學(xué)試題。要解答這類題目，學(xué)生需要熟練掌握幾何相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及反比例函數(shù)的性質(zhì)，還需根據(jù)題目的特點(diǎn)，進(jìn)行具體分析，以便選擇適當(dāng)?shù)慕忸}策略，這樣才能提高學(xué)生解答反比例函數(shù)問(wèn)題的能力。

一、性質(zhì)引路，簡(jiǎn)潔清晰——直接化策略

直接化策略是指學(xué)生在對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)有了深刻的理解和掌握之后，明確試題考查的是反比例函數(shù)的哪些相關(guān)性質(zhì)，并熟練利用反比例函數(shù)的性質(zhì)迅速地解決問(wèn)題的策略[1]。

例1.請(qǐng)你用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答下面的問(wèn)題。

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=kx的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖像于點(diǎn)C，連接BC兩點(diǎn)，則△ABC的面積為_(kāi)______.

思路分析：本題主要考查反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性（即反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）和反比例函數(shù)的面積不變性的推廣結(jié)論[過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)M的水平線或鉛垂線交雙曲線于點(diǎn)N，則SΔOMN的值是個(gè)定值，且

圖1

圖2

解：如圖2所示

∵正比例函數(shù)y=kx的圖像與反比例函數(shù)的圖像都是中心對(duì)稱圖形

即A、B兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

∴AB=2OC，

二、以形輔數(shù)，形象直觀——直觀化策略

通過(guò)圖形的直觀性，把有關(guān)反比例函數(shù)中的代數(shù)問(wèn)題用簡(jiǎn)單的圖形表達(dá)出來(lái)，并通過(guò)分析圖形解決問(wèn)題，使抽象的問(wèn)題變得直觀，從而有效簡(jiǎn)化思維形式，減少學(xué)生的思維消耗，節(jié)省學(xué)生的解題時(shí)間，達(dá)到讓學(xué)生高效解題的目的[2]。這種解題策略我們稱為直觀化策略。

例2.已知：點(diǎn)M（m,3)為雙曲線上一點(diǎn)，

（1）當(dāng)x＜2時(shí),則y的取值范圍是______________；

（2）當(dāng)y＜3時(shí)，則x的取值范圍是______________.

思路分析：（1）從“形”的角度看，當(dāng)x＜2時(shí)，反比例函數(shù)中y的取值范圍的實(shí)質(zhì)是雙曲線在直線x=2左側(cè)上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的集合，由圖3 知，此時(shí)y的取值范圍是y＜0或y＞3；

（2）從“形”的角度看，當(dāng)y＜3時(shí)，反比例函數(shù)中x的取值范圍的實(shí)質(zhì)是雙曲線在直線y=3 上方所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，由圖4 知，此時(shí)x的取值范圍是x＜0或x＞3.

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：這類題目簡(jiǎn)單但易錯(cuò)，學(xué)生可以借助圖形來(lái)輔助理解，且形象直觀，能讓學(xué)生感知和掌握直觀化策略的優(yōu)點(diǎn)。

三、引平做垂，改“斜”歸“正”——熟悉化策略

解決有關(guān)反比例函數(shù)中的“斜線段”問(wèn)題，往往是過(guò)“斜線段”上的關(guān)鍵點(diǎn)引水平線或鉛垂線（即引坐標(biāo)軸的平行線或垂線——簡(jiǎn)稱“引平作垂”），再利用銳角三角函數(shù)或相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例等知識(shí)，將陌生的“斜線段”問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的橫平豎直的“正線段”問(wèn)題來(lái)解決，這種解決問(wèn)題的策略我們稱為熟悉化策略[3]。

例3.如圖5所示，直線y=-x+6 交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，P是反比例函數(shù)圖像上位于直線下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)F.求AF?BE的值。

圖5

解：設(shè)P的坐標(biāo)為則

過(guò)點(diǎn)E作EC⊥OB于C,過(guò)點(diǎn)F作FD⊥OA于點(diǎn)D(見(jiàn)圖6）.

∵直線y=-x+6 交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn).

∴A（6,0），B(0,6).

∴OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=45°.

∴BC=CE,AD=DF.

∵PM⊥OA,PN⊥OB又FD⊥OA,EC⊥OB

∴四邊形CEPN與四邊形MDFP是矩形，

∴CE=PN，DF=PM,

∴CE·DF=PN·PM=4.

在Rt △BCE中，

在Rt △ADF中，

答：AF·BE的值為8.

圖6

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生作坐標(biāo)軸的平行線或垂線，把斜線段的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)生所熟悉的正線段問(wèn)題,讓學(xué)生體驗(yàn)到熟悉化策略的妙處。

結(jié) 語(yǔ)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以通過(guò)一些典型例題，引領(lǐng)學(xué)生探索反比例函數(shù)題型的解題策略，讓學(xué)生感悟這些解題策略在解有關(guān)反比例函數(shù)問(wèn)題時(shí)的作用，并讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，掌握解題方法和策略[4]。教師在平常教學(xué)工作中要注意培養(yǎng)學(xué)生解題后進(jìn)行歸納反思的習(xí)慣，引導(dǎo)他們總結(jié)出簡(jiǎn)便的解題方法，進(jìn)而不斷提高學(xué)生思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。