絕對法齒距偏差測量中回轉誤差的影響及補償

摘? 要：文章針對轉臺回轉誤差在對采用絕對法進行齒輪齒距累計偏差測量中的影響進行了理論研究及實驗驗證。首先建立了回轉誤差對絕對法齒距累計偏差測量影響的數(shù)學模型，依據該數(shù)學模型推導出回轉誤差在齒距累計偏差測量方向的映射系數(shù)以及左右齒面齒距累計偏差計算時的回轉誤差的補償公式。接著探討了齒輪分度圓大小和測頭測球半徑大小對回轉誤差映射系數(shù)的影響。最后對誤差補償?shù)男ЧM行仿真實驗的驗證，仿真實驗結果表明文章所提出的補償方法可以有效降低轉臺徑向回轉誤差對測量結果的影響。

關鍵詞：誤差補償;回轉誤差;齒距累積偏差;絕對法測量;齒輪測量

中圖分類號：TG86? ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2020）24-0160-04

Influence and Compensation of Rotation Error in Absolute Method Pitch

Deviation Measurement

HUANG Feiyao

（Xian Technological University，Xian? 710021，China）

Abstract：In this paper，the influence of the rotation error of the turntable on the measurement of the cumulative deviation of gear pitch by the absolute method is studied theoretically and verified experimentally. Firstly，the mathematical model of the influence of the rotation error on the measurement of the absolute method pitch cumulative error is established. Based on the mathematical model，the mapping coefficient of the rotation error in the measurement direction of the cumulative pitch error and the compensation formula of the rotation error in the calculation of the cumulative pitch error of the left and right tooth surfaces and pitch are deduced. Then the influence of the size of the gear indexing circle and the radius of the probe measuring ball on the mapping coefficient of the rotation error is discussed. Finally，the effect of error compensation is verified by simulation experiment. The simulation experiment results show that the proposed compensation method can effectively reduce the influence of the radial rotation error of the turntable on the measurement results.

Keywords：error compensation;rotation error;pitch accumulated deviation;absolute method measurement;gear measurement

0? 引? 言

齒輪是典型的標準化傳動零件，廣泛應用于機器設備、航空航天、儀器儀表以及軍工等領域[1]。齒距偏差是齒輪重要的精度指標，其偏差值會影響齒輪的平穩(wěn)性[2]。目前高精度齒輪的齒距偏差大多使用齒輪測量中心、坐標測量機等儀器進行測量[3-5]。

在進行齒輪齒距測量時，為了提高齒輪齒距偏差的測量精度，國內外專家學者對影響齒輪齒距偏差測量的因素展開了大量的研究。大連理工大學婁志峰等針對提高齒距偏差測量精度從測量方法、測量點位置等多方面進行研究并取得了一定成果[6，7]。西安工業(yè)大學盧春霞等分析了齒輪安裝偏心對齒距偏差測量的影響，楊燕鴿[8]等提出齒距累積誤差的安裝偏心補償模型，分析偏心的幅值和相位角對補償測量結果的影響。

綜上所述，大部分專家學者研究齒輪齒距偏差測量時，主要是從齒輪齒距測量的齒輪安裝偏心誤差、系統(tǒng)誤差等方面進行研究分析。轉臺回轉誤差屬于系統(tǒng)誤差的一部分，既包括一次諧波分量即偏心誤差，還包括多次諧波分量即長周期誤差與短周期誤差。轉臺回轉誤差對齒距偏差測量影響的研究相對于偏心誤差對齒距偏差測量影響更加深入全面。統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，高精密測量儀器工作回轉臺的回轉誤差對齒輪齒距偏差測量的影響研究很少。本文主要研究絕對法齒輪齒距偏差測量中，回轉誤差對齒距偏差測量影響的理論分析和實驗研究。建立回轉誤差與齒距偏差的映射關系，根據映射關系對齒距累計偏差進行補償并通過仿真及和測量實驗進行驗證。

1? 轉臺回轉誤差對絕對法齒距偏差測量影響的數(shù)學模型

轉臺回轉誤差對絕對法齒距偏差測量的影響如圖1所示，假設齒輪沒有齒形誤差且無表面形貌誤差，則轉臺回轉誤差可以分解為X方向的跳動、Y方向的跳動。轉臺回轉誤差X、Y兩個方向的跳動都會影響絕對法齒距偏差測量的結果。以齒輪的回轉中心為原點O、以水平向右為X軸建立測量坐標系。假設測頭沒有定位誤差，即測頭測球中心0P位于分度圓與X軸的交線處，且測頭的測桿與X軸重合，即測頭的敏感方向與Y軸平行。在考慮測頭的半徑情況下，實際測量中測量圓位置與理想測量圓（分度圓）位置不重合，實際接觸點為C，同時X向跳動與測頭敏感方向垂直，Y向跳動與測頭敏感方向平行，所以必須將測量得到轉臺回轉誤差映射到實際測量圓的測量方向上，然后映射到齒距的評價方向也就是測量圓的切線方向。

根據數(shù)學模型幾何關系在直角三角形OTOP和直角三角形OTC中，可得實際測量圓上的壓力角αk為：

（1）

其中，r為被測齒輪分度圓半徑，rb為被測齒輪基圓半徑，rp為測球半徑。

將轉臺回轉誤差X向跳動先映射到測頭的敏感方向然后映射到齒距偏差評價方向上，可得出X向跳動的映射系數(shù)kx為：

（2）

其中，α為齒輪壓力角，?X為X方向回轉誤差大小值。

與X向映射系數(shù)同理可得轉臺回轉誤差Y向跳動在齒距偏差實際測量方向的映射系數(shù)ky為：

（3）

其中，?Y為Y方向回轉誤差大小值。

根據上述徑向回轉誤差推導出回轉誤差對齒距累計偏差的誤差補償公式，左齒面齒距偏差的誤差補償公式為：

（4）

其中，L為左向，F(xiàn)P1為實際測量齒距累計偏差值，為FLpk補償后左齒面齒距累計偏差值。

與左齒面測量齒距偏差不同的是在進行右齒面齒距偏差測量時測頭的壓入量與左齒面測量時相反，所以右齒面齒距偏差的補償公式為：

（5）

其中，R為右向，F(xiàn)p2為實際測量齒距累計偏差值，F(xiàn)Rpk為補償后右齒面齒距累計偏差值。

從上面公式可知，回轉誤差X向補償系數(shù)與Y向補償系數(shù)都和被測齒輪分度圓半徑與測頭半徑的大小有關。

2? 討論分析

固定被測齒輪分度圓半徑，研究測頭半徑大小變化對回轉誤差X與Y方向誤差補償系數(shù)影響的趨勢。以r=60 mm的標準齒輪為例，則回轉誤差X與Y方向誤差補償系數(shù)隨測頭半徑變化趨勢如圖2所示。

從圖2中可以明顯地看出，將測頭球心固定在被測齒輪分度圓上時，X與Y方向誤差補償系數(shù)大小會隨著測頭半徑增大而減小。當不考慮測頭半徑時，Y方向誤差補償系數(shù)最大，對測量的影響將會為1：1。

固定測頭半徑，研究被測齒輪分度圓半徑變化對回轉誤差X與Y方向誤差補償系數(shù)的影響趨勢。以測頭半徑1 mm為例，則回轉誤差X與Y方向誤差誤差補償系數(shù)隨被測齒輪分度圓半徑變化趨勢如圖3所示。

從圖3中可以看出回轉誤差X與Y方向誤差補償系數(shù)隨著被測齒輪分度圓的增加而非線性的增加。當齒輪分度圓半徑達到一定大的值時，回轉誤差X與Y方向補償系數(shù)將無限接近于固定值。

3? 實驗驗證

在MATLAB中進行仿真實驗驗證，采用絕對法進行標準齒輪（m=4，z=30，其中m為齒輪模數(shù)）齒距累計偏差測量，齒距累計總偏差理論值為20 μm。加入簡諧類型回轉誤差情況下采用絕對法進行齒輪齒距偏差測量，測量圈數(shù)為1圈。齒距累計偏差的發(fā)生函數(shù)為：

（6）

其中，z為齒輪齒數(shù)，i為齒序。

回轉誤差（X與Y向跳動相同）發(fā)生函數(shù)為：

（7）

其中，z為齒輪齒數(shù)，k為齒序。

對仿真實驗結果按照式（4）、式（5）分別對左右齒面齒距累計偏差進行補償，并與理論值進行比較驗證補償效果。左右齒面齒距累計偏差補償前后結果如圖4和表1所示。

表1可以看出，在補償前，回轉誤差造成的絕對測量左右齒面齒距累積偏差值達到了21.52 μm和23.68 μm，說明回轉誤差對于齒距累積偏差的測量有非常顯著的影響。在利用補償公式（6）和式（7）對回轉誤進行補償后，測量結果的結果誤差分別降到了0.04 μm和0.01 μm，基本消除了回轉誤差對齒距偏差測量的影響，證明了誤差補償公式（6）和式（7）的正確性。補償后的誤差值與理論值并不完全相符，這是可能是由于理論值是連續(xù)的，測量值是離散的可能取值沒有到峰值。

從圖4可以看出，補償前各個齒的齒距累積偏差與理論齒距偏差曲線在幅值和相位上存在較大差別，單個齒的最大誤差在1齒上達到3.07 μm，這是回轉誤差中長周期誤差與整周誤差造成的。補償后齒距累積偏差曲線和理論齒距累計偏差曲線基本一致，單個齒的最大誤差為0.30 μm，發(fā)生在6個齒，說明該齒可能在峰值附近沒有取到峰值而導致誤差最大。

4? 結? 論

為了提高齒輪齒距偏差測量精度，本文主要針對轉臺回轉誤差對絕對法齒距偏差測量的影響進行了理論分析及仿真驗證，可以得出以下結論：

（1）通過建立回轉誤差對齒距偏差測量影響的數(shù)學模型，定義了回轉誤差X和Y方向的誤差影響系數(shù)，揭示了轉臺回轉誤差對齒距累積偏差測量影響的大小關系。

（2）討論了X與Y方向回轉誤差影響系數(shù)大小與測頭測球半徑和被測齒輪分度圓大小的關系。研究發(fā)現(xiàn)：X與Y方向回轉誤差影響系數(shù)隨著測頭測球半徑的增加而減小，隨著被測齒輪分度圓半徑的增大而增大，但總體影響不大

（3）通過數(shù)值仿真驗證了轉臺回轉誤差對齒距偏差測量影響的數(shù)學模型的正確性，經過補償后的齒距累計總偏差相對于補償前的齒距累計總偏差與仿真結果基本保持一致，說明該補償有效可行。

本文建立了轉臺回轉誤差對齒輪齒距偏差測量影響的數(shù)學模型和誤差補償模型，相比于現(xiàn)有文獻，該模型不但反映了齒輪綜合偏心的影響，還反映了回轉誤差中長周期誤差和短周期誤差的影響，深化了對于回轉誤差與齒距偏差測量之間關系的認識。通過誤差補償模型能夠有效地減小轉臺回轉誤差對齒輪齒距累積偏差測量的影響，對于提高齒輪齒距偏差的測量精度具有一定的實用價值。文中不足在于僅僅考慮了回轉誤差中徑向回轉誤差對齒距偏差測量的影響，沒有考慮傾角擺動誤差對齒距偏差測量的影響，后續(xù)將對此展開研究。

參考文獻：

[1] 魏建杰，湯潔，石照耀.基于ISO 1328-1：2013的齒距偏差評定方法 [J].測控技術，2019，38（9）：88-91.

[2] 郭寶余，婁志峰，高立嵩，等.齒輪全齒面偏差的擬合及分離技術 [J].機械傳動，2014，38（10）：114-116+130.

[3] 高立嵩，婁志峰，馬勇.一種新型齒距偏差評價方法研究 [J].機械設計與制造，2015（11）：18-20.

[4] 凌四營，王立鼎，婁志峰，等.超精密齒距偏差測量中測點位置的誤差補償 [J].儀器儀表學報，2014，35（3）：691-696.

[5] 婁志峰，賀海釗，凌四營，等.齒距偏差測量中系統(tǒng)誤差的分離方法 [J].納米技術與精密工程，2012，10（6）：537-540.

[6] 宋洪俠，趙蘇蘇，婁志峰，等.降低齒輪齒距累積偏差的方法 [J].光學精密工程，2012，20（8）：1796-1801.

[7] 王立鼎，凌四營，馬勇，等.精密、超精密圓柱漸開線齒輪的加工方法 [J].光學精密工程，2009，17（2）：321-326.

[8] 楊燕鴿，王建華.齒輪安裝偏心情況下齒距誤差測量精度分析 [J].工具技術，2008（2）：70-72.

作者簡介：黃飛耀（1991—），男，漢族，陜西省渭南人，碩士研究生在讀，研究方向：計算機輔助精密測量。