黑洞的面積量子化

曹興偉

一、黑洞

在上個世紀，量子引力理論的必要性已得到廣泛的認可。然而，在一系列問題的解釋上我們依然缺少一個完整的量子引力理論。但我們堅信，在試圖闡明引力的量子理論上黑洞扮演著重要角色，就好比在量子力學早期發展中原子所扮演的角色一樣。

黑洞是廣義相對論所預言的一種特殊天體，根據愛因斯坦的引力場方程，一團足夠致密的物質或能量能夠將時空彎曲到撕裂的極端程度，這時就形成了黑洞。然而，最早的黑洞思想卻萌發于經典力學。法國大數學家拉普拉斯和英國約翰·米歇爾對黑洞做出了最早的預言。拉普拉斯曾寫道：“一個密度像地球，直徑為太陽250倍的發光星體，在其引力的作用下，將不允許任何光線到達我們這兒。由于這個原因，宇宙中最亮的天體，對于我們來說可能是不可見的”。[1]從經典力學的角度來說，宇宙中可能存在質量足夠大且足夠致密的天體，它們產生強大的引力場，就連光線都逃不了多遠就被它們的引力場吸收回去，以至于我們無法觀測到它們，并把它們稱為“暗星”。

1912年，愛因斯坦發表廣義相對論后不久，德國物理學家卡爾·史瓦西就得出一個靜態球對稱的物體周圍真空中引力場的解。這個解的兩個奇異區從時空間隔[1]

（2）可以看出：出現奇點（rg 稱為引力半徑或史瓦西半徑）。在相對論沒有產生的時代，拉普拉斯根據牛頓理論也得到與之一樣的結果。他認為光子的動能為：，光子勢能為：。故可以考慮到當時，得到“暗星”產生的條件為：。這是由于拉普拉斯的計算中有兩個錯誤相互抵消的結果，一是光子的動能為：Ek=mc2而不是，二是引力場應該由廣義相對論來描述，而不是牛頓的萬有引力定律。

二、黑洞面積譜的提出

黑洞視界面面積的量子化也是一個由來已久的問題，率先研究黑洞量子化問題的是貝肯斯坦，早在他的開創性工作中就提出了黑洞的量子化。他通過對非極端黑洞的大量觀察和分析，發現黑洞的視界面相當于一個經典的絕熱不變量。所謂絕熱不變量[3]，是指系統的哈密頓量在隨時間周期緩慢變化時保持不變的量。例如，在經典力學中，對于一個一維勢阱，其中是隨時間t做緩慢變化的參數，考慮一個在勢阱中周期性運動的粒子，由于與時間相關，顯然能量不守恒

但E與的組合量A（近似）保持不變

其中，且哈密頓量：。對于一般情況，艾倫菲斯特指出，對于形如的運動積分都是絕熱不變量，同時根據Bohr-Sommerfeld量子化條件，任何經典絕熱不變量對應于有分立譜的量子實體，即

貝肯斯坦根據艾倫菲斯特原理[6]，任何經典的絕熱量對應于有離散譜的量子實體這一規律，他推測，非極端黑洞的視界面面積有分立的本征值，同時他還進一步猜想相鄰本征值間的間隔為一定值。

貝肯斯坦和Hod對黑洞量子化條件的分析類似于我們所熟知的氫原子基態能量下限的半經典半量子的求法。首先，利用赫利斯托祖的可逆過程的半經典理論有益于我們的研究。赫利斯托祖研究表明：非極端黑洞在同化一個中性點的粒子時，把粒子放在它運動的轉折處和黑洞的視界處是可逆的，在這樣的情景下黑洞的視界面積不會發生改變。然而，正如貝肯斯坦在他的開創性工作中指出的質點在量子理論中是不合理的。換而言之，粒子不能同時在運動的轉折處和黑洞的視界上，因為這違背了海森堡的量子不確定原理。

在量子力學中，由于經典的點粒子不再適用，作為量子理論的讓步，貝肯斯坦假設粒子的半徑為一個有限值 b ，根據艾倫菲斯特定理，粒子的質心遵循經典軌跡。貝肯斯坦還得出，黑洞對一個有限大小的中性粒子的同化不可避免地導致視界面面積的增加。當粒子運動到質心距離視界面 b 處時，黑洞捕獲這一粒子導致黑洞視界面面積增加有最小值[2]：

其中A 是黑洞視界面面積，μ是粒子靜止質量。對于一個質點半徑為 b = 0，人們發現ΔAmin? =? 0。作為一個可逆過程，這是赫利斯托祖的結果。然而，粒子受到量子不確定性的約束，相對論粒子的半徑必須不小于它的康普頓波長，即。于是，對于非極端不帶電黑洞，吸收一個中性粒子而導致黑洞視界面積增加的最小值為：

是普朗克長度（一般取G = c = 1）。赫利斯托祖的可逆過程及貝肯斯坦的公式（7）只適用于非極端黑洞。并且公式（7）也只是適用于中性粒子，所以對于非極端黑洞我們得找出一個更加普遍的黑洞視界面積增加的下限。最近Hod在分析一個黑洞對帶電粒子的捕獲時，發現了類似的黑洞視界面積增加的下限。黑洞對帶電粒子的同化引起的視界面積增加的下限為[4]：

我們已知道，對于中性粒子貝肯斯坦根據海森堡的不確定原理推翻了赫利斯托祖的可逆過程，而對于帶點粒子必須是另外一種物理機制，還要用到真空極化效應。值得我們關注的是，即使他們的結果來源于不同的物理機制和思想，但有的方面卻是統一的，比如得出黑洞視界面積增加的下限都與黑洞的參數（質量、電荷、角動量）沒有關系。也就是說黑洞對粒子的同化而引起的視界面面積的增加可以表示為：

它是普適的，（ΔA）min可以被認為是視界面面積本征值之間的間距。因此，得出結論，認為黑洞的視界面面積量子化條件應該是這樣的形式的：

其中是一個無量綱常數。

三、從經典的角度對黑洞面積量子化的思考

對于黑洞面積量子化有：

α為無量綱常數。角動量量子化條件：

從角動量量子化得到黑洞面積量子化必須滿足：

這里我們的假設是基于黑洞面積量子化的。考慮到引力的形式由：

給出。結合（19）式，我們發現：

很明顯，引力與m成反比，與r成正比。所以這種嘗試是不正確的。

參考文獻：

[1]J. D. Bekenstein， Phys. Rev. D 7， 2333 （1973）.

[2]俞允強.廣義相對論引論[M]. 第二版.北京大學出版社，2002，84.