代數與幾何齊飛 技能共素養一色*
——2019年全國Ⅰ卷22題的思考與賞析

廣東省廣州開發區外國語學校 (510700) 蔡軍喜

2019年高考數學全國Ⅰ卷秉承穩定、適當創新的命題風格，呈現了許多立意高遠、背景熟悉、設問通俗、內涵豐富、解法多樣的好題.這些考題既考查學生的基礎知識和基本能力，又考查學生的核心素養和學習潛能，為引領高中數學教學起到了良好的導向作用，有著較大的研究空間和教學價值，值得我們去探究和挖掘.下面以第22題為例，談談我的學習和思考.

1.問題呈現

本題以直線的極坐標與橢圓的參數方程為背景，以求多變量的最值為目標，考查學生的數學基本素養.學生出錯的主要問題在于方法選擇不恰當、運算能力不過關.面對問題表征創新，不能舉一反三.缺乏相應轉化技巧，消參方法不靈.同時遇到陌生背景、繁難的運算產生心理上的障礙，缺乏有效的應變策略和必要的個性品質.

2.問題思考

思考一：從參數方程到普通方程的考查——準確消參——突出數學運算

思考二：從普通方程到參數方程的考查——靈活用參——突出邏輯推理

(1)(就題論題：用t參)很多同學在第一問不能正確消參得到橢圓的一般方程的情況下，缺乏必要的心理品質和應變技巧.事實上，就題論題，跳步作答，第二問完全可以直接利用已知條件中的t參，實現基本方法和策略的正常遷移.曲線C上任意一點到直線l的距離為

思考三：從代數推理到幾何本質的考查——數形互譯——突出數學建模

思考四：從具體問題到一般化拓展——概括引申——突出數學抽象

若點P(x0,y0)是曲線F(x,y)=0上任意一點，則P點到直線l：Ax+By+C=0的最短(長)距離，常可數形結合，借助于平行于l的直線與曲線的切線問題來解決.

3.試題賞析

3.1 基于教材素材，立足基礎知識

本題的素材來源于教材參考練習，體現了髙考命題“源于教材，髙于教材”的指導思想.題面簡潔，題意新穎，在諸多基礎知識和基本方法的交匯點處命制，表述通俗，意圖清晰，難易適中，構思巧妙，符合學生的認知規律，有良好的區分度.試題立足教材，以教材中的例習題為源泉，既可以保證試卷的公平性，又給學生以親切感，同時對教師的教和學生的學起到良好的導向作用.

3.2 解題思路寬泛，突出通性通法

本題的解法可謂靈活多樣，第一問的消參可以分離加減，也可以降次加減，還可以平方加減；既可以直接代入消元，也可以反向代入消元.第二問既可以就題論題，從題目已知的參數形式入手，也可以選擇重構參數切入；多元最值求解可以從函數與方程的視角人手，也可以從運用基本不等式求最值的視角入手(或者從平面向量的視角人手)，還可以通過代數與幾何的聯系從數形結合的視角入手.從不同的視角、不同的高度都可以得到解決問題的思路，但不同的思路，運算的繁簡程度也不盡相同.抓住數和形的有機融合，突出通性和通法的考査是一大亮點.“形散神不散，形變法不變”，在解題教學中，要把通性通法的訓練當作重頭戲，要讓學生獨立思考、嘗試解答，通過展示和交流使學生在問題求解中掌握本質，以求“不變應萬變”.

3.3 著眼數學素養，考査學習潛力

本題很好地體現了高考對數學核心素養和學習潛力的考査，特別是對運算和邏輯推理素養的考査體現得淋漓盡致.許多考生解題思路是清楚的，解題目標是明確的，但卻在消參上遇到了困惑，在運算上遇到了阻礙，陷于繁雜的運算中不能自拔，不能選擇恰當的方法轉化和簡化運算，導致功虧一簣，造成遺憾.提高數學運算核心素養，培養學習潛能尤為重要，應該引起教師的高度重視.