應(yīng)用坐標(biāo)式三角形面積公式求解競賽題

浙江省金華市第六中學(xué) (321000) 虞 懿

1.坐標(biāo)式三角形面積公式

此公式乃坐標(biāo)式三角形面積公式，其形式與平面向量共線的充要條件的坐標(biāo)公式特征極其相似，下面通過具體的實例來說明這一面積公式在數(shù)學(xué)競賽題中的應(yīng)用，旨在探索解題規(guī)律，揭示解題方法．

2.應(yīng)用舉隅

2.1 求三角形面積之比

評注：三角形面積的坐標(biāo)表示與向量的坐標(biāo)表示達(dá)成了完美的統(tǒng)一，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解．

評注：對于圓錐曲線中的面積問題，運用坐標(biāo)式三角形面積公式則更能體現(xiàn)思維與運算的優(yōu)化．

2.2 求三角形面積

評注：本題借助坐標(biāo)式三角形面積公式及用橢圓的參數(shù)方程形式表示橢圓上的點的坐標(biāo)，將已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值問題，避免了復(fù)雜的運算．

評注：解析幾何問題的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，坐標(biāo)式三角形面積公式自然地提供了解決解析幾何中有關(guān)三角形面積問題的一條捷徑．

2.3 求三角形面積的最值(取值范圍)

故點Q的軌跡方程為x+y=2.

評注：借助坐標(biāo)式三角形面積公式來求解三角形面積問題，可以避免對夾角和邊長的計算，也避免了對平面圖形的分割，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)問題的簡潔美與對稱美．

所以ΔOPQ面積的取值范圍為(0,1)．

評注：利用坐標(biāo)式三角形面積公式求解關(guān)鍵在于確定三角形各點的坐標(biāo)．對于求解方程比較困難(方程的根不是十分簡便)或含字母參數(shù)時可利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化．

縱觀上述幾例，應(yīng)用坐標(biāo)式三角形面積公式來解決三角形面積問題，由于在解題過程中避免了求邊長和該邊上的高兩個步驟，因此使解題過程變得簡潔，這對優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力是大有益處的．