例談多變量問題的求解策略

廣東省中山紀念中學 (528454) 李文東

在各地的高考試題和模擬試題中,經常涉及多元變量的范問題,這類問題因為所含變量為兩個及以上，具有很強的靈活性，解法多樣，所以大部分同學對此問題產生畏懼心理.此類問題充分考察了轉化和化歸的思想，消元(換元)的思想，數形結合的思想，對數學邏輯思維能力提出了比較高的要求.本文針對此類問題，提出解決該類問題的一些策略，以供教學參考.

策略一、整體換元法

破解多元變量問題的一個有效方法是通過適當的變形后將含有多個變量的表達式看作一個整體變量，進行整體換元，達到減少變量的目的.

例1 若存在正實數m，使得關于x方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0有兩個不同的實根，其中e為自然對數的底數，則實數k的取值范圍是.

分析：方程x-k(x+m-2ex)[ln(x+m)-lnx]=0中含有三個變量x,k,m，而ln(x+m)-lnx=

圖1

策略二、引入中間變量進行換元

除了整體換元外，對于多變量問題，可以通過引入一個新的中間變量達到換元的目的，比如x2+y2=r2，則設x=rcosθ,y=rsinθ.再比如均值換元法：若x+y=2m，則設x=m-d,y=m+d等等.

例3 已知a,b∈R，且ex≥a(x-1)+b對x∈R恒成立，則ab的最大值是.

點評：本題常規的做法是構造函數f(x)=ex-a(x-1)-b，利用求導分類討論的方法，比較復雜，不太容易理解.這里通過數形結合的思想通過引入中間變量，切點的橫坐標x0來解決，比較有新意.

策略三、變換主元

對于一些多變量的問題，有時可以更換一下主元，換一個角度看問題，則復雜的問題迎刃而解.

分析：函數f(x)因為含有e2x,2t(ex+x),x2，若直接求導運算會比較復雜，如果我們換一個角度，將變量t視為主元，轉化成關于t的一個二次函數.

例6 (2015全國Ⅰ卷文科21)設函數f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)的零點的個數；

分析：本題第二問一般的做法是對f(x)求導后虛設零點，設而不求的方法解決.這里采用變換主元的思想來嘗試一下.

策略四、數形結合利用幾何意義

對于多變量的表達式，有些具有明顯的幾何意義，可以借助幾何圖形意義加以解決.

例7 接例5

圖2