構(gòu)建函數(shù)關(guān)系巧求兩道幾何最值問題

浙江金華第一中學(xué) (321015) 吳賢盛

本文擬通過歸類舉例的形式，著重說明：結(jié)合圖形，適當(dāng)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，有利于迅速探求有關(guān)求解體積、周長、面積的最大值問題，進而逐步提高分析、解決問題的實際能力.

圖1

例1 (2017年全國Ⅰ卷·理16)如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為.

分析：本題首先要結(jié)合題意畫出三棱錐，并明確該三棱錐的特性；其次，需要結(jié)合圖形，靈活設(shè)元(即設(shè)出有關(guān)線段的長度)，并構(gòu)建三棱錐體積的函數(shù)表達式，以便借助導(dǎo)數(shù)巧求最大值.

圖2

圖3

評注：本題涉及立體幾何中熟悉的折疊問題，難點在于如何得到三棱錐體積的函數(shù)表達式.方法一實際上就是構(gòu)建了三棱錐的體積關(guān)于等邊ΔABC的邊長的函數(shù)表達式，顯得較為繁瑣；方法二實際上就是構(gòu)建了三棱錐的體積關(guān)于線段OP長度的函數(shù)表達式，顯得較為簡捷，同時也凸顯了該題設(shè)計的精妙之處——以熟悉的圖形折疊為載體，以熟悉的特殊的直角三角形(RtΔOBP)為解題切入點，以熟悉的正三棱錐的體積公式為紐帶，突出體現(xiàn)了函數(shù)的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.故該題對考生獨立分析問題、解決問題的實際能力提出了較高的要求，對考生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和內(nèi)在潛能的考查比較深刻、到位，有利于增強考生運用數(shù)學(xué)的意識，學(xué)會將實際問題抽象為具體的數(shù)學(xué)問題，進一步感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，值得品味.

圖4

例2 (新課標(biāo)人教A版第112頁復(fù)習(xí)參考題A組第7題改編)如圖4，將一半徑為2的半圓形紙板裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點在圓周上，則所得梯形周長的最大值為.

(法4)設(shè)AB的中點為O，連接CO,AC，過點C作CE⊥AB于E，則由AB是半圓的直徑得∠ACB=900，從而由射影定理得BC2=BE·AB.

評注：上述方法1、方法2都是以設(shè)邊長為切入點，對比可知方法1簡單一些(轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)“配方”求最值)，方法2相對繁瑣(借助復(fù)合函數(shù)“求導(dǎo)”求最值)；方法3、方法4都是以引入輔助角(即設(shè)角)為切入點，對比可知方法3簡單一些(靈活運用“配方法”求最值)，方法4相對繁瑣(借助復(fù)合函數(shù)“求導(dǎo)”及三角函數(shù)知識求最值).

綜上，求解與圖形有關(guān)的最值問題，若能適當(dāng)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，并借助導(dǎo)數(shù)知識加以靈活處理，則往往可順利獲解；同時也較好地培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).