再談三角形面積最值問題

安徽省宿州市碭山中學(xué) (235300) 杜為榮 毛曉偉

三角形面積問題是解三角形專題中的重要題型，尤其是三角形面積最值題，極能考查學(xué)生綜合解決問題的能力，備受命題者的青睞.筆者略舉幾例，拋磚引玉.

類型一 已知一角及對邊，求三角形面積的最大值

例1 在ΔABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足(2a-c)·cosB=bcosC.

(1)求角B的大小；

類型二 已知一角及鄰邊，求ΔABC面積的取值范圍

(1)求角B的大小；

(2)若ΔABC為銳角三角形，且c=1，求ΔABC面積的取值范圍.

類型三 已知一角及該角所對邊的中線，求三角形面積的最大值

(1)求角C的大小；

(2)若D為AB的中點，且CD=1，求ΔABC面積的最大值.

類型四 已知一邊及兩邊和，求三角形面積的最大值

例4 在ΔABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，求ΔABC面積的最大值.

類型五 已知一邊及另兩邊之比，求三角形面積的最大值

(說明：已知點M與兩定點A,B的距離之比為λ，(λ>0,λ≠1)，|AB|=2a，則點M的軌跡為圓通常稱這個圓為阿波羅尼斯圓，且圓心為

上述五種類型是從不同視角解決問題，方法不同，其實三角形面積最值問題，求解方法多種多樣，以上五種解題方法也是相通的，以后再遇到面積最值問題可從以下幾個視角分析:(1)轉(zhuǎn)角化邊，利用正余弦定理，基本不等式求解.(2)轉(zhuǎn)邊化角，利用正余弦定理，三角函數(shù)求解.(3)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解.(4)轉(zhuǎn)化向量，利用向量求解.(5)幾何思想，借助圖形求解.