直線與橢圓位置關(guān)系的判定定理別證與推廣

湖南省隆回縣第二中學(xué) (422200) 彭利波

(1)當(dāng)d=1時(shí)，直線l與橢圓Γ相切；

(2)當(dāng)0≤d<1時(shí)，直線l與橢圓Γ相交；

(3)當(dāng)d>1時(shí)，直線l與橢圓Γ相離．

文[1]所利用到的平移變換、伸縮變換都是仿射變換的一種特殊形式，在高中教材中作為選修內(nèi)容出現(xiàn)，在高考中直接份量不多，故在平時(shí)教學(xué)中要求較低．相對(duì)而言，作為選修內(nèi)容出現(xiàn)的橢圓的參數(shù)方程這一內(nèi)容會(huì)比較熟悉，本文將利用文[2]中橢圓的參數(shù)方程解法對(duì)這個(gè)定理給出一個(gè)通俗易懂的證明．

(1)由sin(θ+φ)=±1在θ∈[0,2π)上有唯一解，此時(shí)直線l與橢圓Γ有一個(gè)交點(diǎn)．即d=1時(shí)，直線l與橢圓Γ相切；

(2)由-1

(3)由sin(θ+φ)>1在θ∈[0,2π)上無(wú)解，此時(shí)直線l與橢圓Γ沒(méi)有交點(diǎn)．即d>1時(shí)，直線l與橢圓Γ相離(證畢)．

類(lèi)似的，利用該法可以推導(dǎo)出直線與雙曲線位置判定定理．證明過(guò)程留給讀者，結(jié)論如下：

(1)當(dāng)d=1時(shí)，直線l與雙曲線Γ相切；

(2)當(dāng)0

(3)當(dāng)d>1時(shí)，直線l與雙曲線Γ相交；

(4)當(dāng)d=0時(shí)，直線l與雙曲線Γ相交或相離(相離時(shí)直線為雙曲線的一條漸近線)．