大口徑非球面鏡交叉磨削中波紋度產生機理的研究*

席建普， 劉同士， 李亞東， 李 彬， 趙則祥

(中原工學院 機電學院， 鄭州 450007)

大口徑非球面鏡由于其特殊的光學性能，越來越廣泛地被應用到現代光學系統中，例如空間光學系統、激光核聚變裝置、高能激光武器系統等[1-3]，對其表面形貌精度的要求也越來越高。大口徑非球面鏡大多是由硬脆性材料組成，其制造工藝過程包括粗磨、精磨和拋光3個階段。其中的拋光過程可提高其面形精度和表面粗糙度，但拋光過程去除量小、效率低、周期長，因此磨削階段保持適當的材料去除很重要，但拋光過程中的中頻誤差將影響到整個生產周期[4]。磨削階段的非球面鏡表面輪廓特征包括表面粗糙度、表面波紋度和形狀輪廓。表面波紋度如果在磨削階段不能很好地被控制，拋光階段的波紋輪廓則難以被高效去除，這將嚴重影響非球面鏡的加工效率[5]。

國內外學者通過建立表面粗糙度形成機理預測模型，仿真分析了非球面鏡表面粗糙度的影響因素[6-8]。且磨削表面波紋度的研究也受到學者的關注。BIERMANN等[9-10]主要針對鋼件磨削顫振引起的表面波紋度進行研究，結果表明磨削工藝參數影響顫振大小和相移變化。盛曉敏等[11]分析硬脆性SiC平面磨削表面波紋度的影響因素，證明砂輪速度是表面波紋產生的主導因素。畢果等[12-13]分析了非球面磨削表面波紋度產生機理，并對非球面磨削過程中表面波紋的產生與加工工藝參數和磨削方式的關系進行了研究，結果表明選擇合理的加工參數可以改善工件表面的波紋度。林曉輝等[14]根據光柵平行磨削加工方式對軸對稱非球面表面粗糙度和表面波紋度的作用機理進行研究，并結合磨削試驗驗證了砂輪振動是波紋度產生的主要因素。CAO等[15-16]提出了砂輪表面形貌的仿真模型及其對工件表面粗糙度的影響，分析了磨削參數和砂輪振動參數對表面波紋度的影響，結果表明：調整振幅、磨粒大小和磨削參數可優化工件表面質量或給定參數可預測工件表面形貌。BADGER等[17]研究了砂輪的偏心對磨削表面波紋度的影響，根據磨削參數和砂輪偏心提出了預測工件表面波紋度模型，驗證了砂輪偏心將影響磨削力、砂輪磨損、砂輪溫度和表面波紋度。PAOLO等[18]為了分析工件表面波紋度，建立了在線預估模型及方法，分析了砂輪表面微波紋對工件表面的影響，并基于最小二乘法驗證了加工過程中動態線性模型的可靠性。

以上研究都對工件表面形貌的形成機理進行了仿真分析，并證明磨削振動是產生工件表面波紋度的關鍵因素。而對于磨削主軸振動與表面波紋度的關系，以及磨削工藝參數與表面波紋度三維模型的關系研究較少。因此，可以從三維模型角度建立磨削主軸振動、磨削工藝參數與表面波紋度的關系，為磨削過程提供理論參考。

通過對交叉磨削方式下磨削大口徑非球面鏡的動力學分析，預測其表面波紋度在磨削階段的分布規律，建立表面波紋度與磨削工藝參數之間的三維模型。首先，建立磨削主軸動力學模型，分析磨削振動產生機理和磨削振動影響因素；其次，根據磨削工藝參數分析表面波紋度三維輪廓產生機理，仿真分析磨削工藝參數對表面波紋度的影響和三維波紋度特性；最后，通過實際磨削試驗，驗證所建立的三維波紋度分布模型的合理性。

1 大口徑非球面鏡磨削加工方式

根據砂輪類型將大口徑光學非球面鏡在磨削階段的加工方式分為盤形橫向磨削、交叉磨削、斜軸點磨削以及杯型砂輪點磨削和非對稱自由磨削等。而對于大口徑非球面鏡，其曲率半徑大，采用交叉磨削方式可提高砂輪的接觸面積，材料去除率高。

圖1為大口徑非球面鏡磨削機床UPM900。磨削試驗機床包括3個直線軸和2個旋轉軸，交叉平行磨削方式時采用XZ軸插補以及工作臺C軸完成非球面鏡輪廓的磨削成形和精磨加工；磨削過程中砂輪的磨削刃能均勻地接觸工件表面，降低了砂輪的磨損，提高了磨削的精度和穩定性。

XZ軸的直線運動軌跡根據NURBS生成插補路徑，加工過程中XZ軸插補進給，磨削加工路徑在工件表面表現為螺旋線軌跡，通過砂輪速度、XZ軸進給速度以及C軸旋轉速度配合完成磨削過程。

磨削用砂輪為進口D25砂輪(金剛石顆粒尺寸25～32 μm)，其直徑為400 mm，圓弧半徑為90 mm。通過反復補償磨削，形成高精度表面形貌，包括表面形狀精度、表面波紋度、表面粗糙度。磨削過程中由于砂輪軸采用液體靜壓支撐方式，在磨削力作用下，砂輪軸將產生振動，從而影響工件表面質量。

圖 1 大口徑非球面磨削設備UPM900

2 非球面鏡磨削表面波紋度產生機理

2.1 表面波紋度

表面波紋度是介于磨削表面粗糙度和幾何形狀之間的特征量，并且在拋光過程中難以去除。GB/T 16747—1997規定了表面波紋度的參數術語和評價體系，以及波紋度參數的評價方法。表面波紋度反映振動強度大小，可用波紋度算術平均值Wa、波紋度均方根值偏差Wq等表示[17]：

(1)

(2)

式中：h(xi,yi)為表面采樣點的偏差值；xi和yi為采樣點坐標值；M和N為采樣的點數。

2.2 液體靜壓主軸振動模型

磨削表面波紋度主要是由砂輪與工件之間的相對振動造成的，包括磨削系統的強迫振動和自激振動。砂輪的強迫振動主要由其不平衡量引起，且由強迫振動引起的波紋度在工件回轉方向可見連續的直線或窄帶痕跡。而自激振動由再生效應引起，即砂輪磨削受力引起的振動，存在平動和擺動2種方式，從而產生磨削表面的波紋度，同時影響其表面粗糙度。

將磨削砂輪主軸系統簡化為一個多自由度系統，其動力學模型如圖2所示，磨削過程中由于砂輪的接觸點均勻，可以將磨削時的磨粒合力近似為恒力。

圖 2 磨削主軸動力學模型

圖2中的磨削過程中的液體靜壓主軸可以看作一個剛體，即一個對稱旋轉軸的剛性圓柱體——剛性轉子。主軸不平衡量引起的振動可換算成砂輪接觸點的振動幅值和頻率。剛體的質量為m，液體靜壓剛體3個方向的阻尼分別為cx、cy、cz，剛性分別為kx、ky、kz。牛頓-歐拉運動學方程表達了主軸剛體的平移和旋轉運動自由度。主軸剛體在XYZ方向和3個空間中，存在3個平移運動和3個旋轉運動。剛體質心O在慣性坐標系O(XYZ)與參考坐標系o(xyz)中的平移和歐拉旋轉變換為振動平移和旋轉角度。運動剛體存在5個自由度，3個沿XYZ軸的平移自由度，位移分別為x(t)、y(t)、z(t)，1個繞Y軸旋轉變換為剛體的自由度，1個為XZ軸慣性坐標系的旋轉自由度。表面波紋度主要是由主軸剛體的振動位移產生，因此，研究表面波紋度主要研究砂輪相對于工件之間的平移運動。

對于受迫振動，磨削過程中被磨削材料表現為硬脆特性，難以加工。磨削過程中磨具與工件的相互作用力產生了砂輪的相對偏心量，在高速旋轉過程中產生振動。設質點o的偏心量e在X方向上，則偏心量坐標可表示為：

(3)

根據牛頓運動定律，在O(XYZ)坐標系中不平衡量的強迫力與磨削力作用時，由于Y方向的振動變換較小，只考慮X和Z方向的振動位移，主軸剛體平移運動方程為：

(4)

式中：ω為主軸轉動角速度。

連續作用下的激勵力可以簡化為N個脈沖激勵作用的疊加，通過拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換得到振動位移響應解為：

(5)

從式(5)中可以看出：主軸振動響應的位移大小與阻尼比、頻率比和不平衡量有關。通過分析其幅頻響應特性，可以了解系統穩態振動的振幅和相位差隨頻率變化的規律。磨削主軸的不平衡量可以通過測量或自平衡系統進行改進，以降低到最低水平。交叉磨削通過XZC軸的插補運動完成，因此砂輪存在振動形式如式(5)的正弦振動。

2.3 表面三維波紋度模型

張翊等[13]研究了微小振動對超精密磨削的影響，建立了主軸振動的余弦模型，并根據振動的模型分析了表面波紋的形成機理。CHEN等[7]假設砂輪主軸旋轉中心振動的模型為正弦波形狀，研究砂輪振動表面的粗糙度和亞表面損傷。以上研究都將砂輪的動態振動過程假設成一定幅值的正弦或者余弦振動。本研究中的砂輪主軸振動為正弦振動，交叉磨削過程中表面波紋的產生原理如圖3。

圖 3 交叉磨削表面波紋產生原理

圖3中砂輪的中心在Z方向的運動軌跡為[15]：

z(t)=R+Asin(2πf0t+φ)

(6)

式中：A為砂輪振幅，f0為磨削砂輪軸的旋轉頻率，R為砂輪半徑，φ為磨削砂輪的最初相位角。

在二維坐標系XOZ平面中，工件隨X軸運動，為得到振動變化與x坐標的關系，沿X軸的坐標表示為：

x=fwfrt-R0

(7)

式中：fr為X軸進給速度，fw為工件旋轉頻率，R0為工件半徑。

引入砂輪軸轉動頻率和工件轉動頻率比率：

(8)

式中：a為整數項，代表螺旋波紋的數量N；ε(0≤ε<1)為分數項。

將式(7)和式(8)代入式(6)。為模型計算方便，在以后的計算中可將砂輪磨削的最初相位角φ定義為0，得出砂輪振動表面輪廓：

(9)

因磨削過程中在圓周方向也存在角度位移，式(7)可表示為極坐標形式，角度隨時間變化為：

(10)

式中：nw為工件轉速，r/min。

聯立式(6)和式(10) 得到：

(11)

式中：角度θ′=2πn+θ1，θ1為工件旋轉的初始角度，n為工件旋轉圈數。

工件旋轉圈數相對位移為：

(12)

為更直觀地表達磨削表面的波紋分布情況，需根據空間坐標點對磨削砂輪的振動軌跡進行離散處理。聯立式(6)和式(7)消去t，且θ=2π(x+R0)/fr，θ為旋轉角度，得：

z(θ)=R+Asin[θ(a-ε)]

(13)

將式(13)在圓柱坐標系P(r，θ，z)中表達，且隨著加工的進行，極坐標半徑減小為r時，θ=2π(-r+R0)/fr；同時，將整數部分a和分數部分ε分開，得到砂輪軸與工件之間振動形成的表面輪廓表達式：

(14)

式中：r為極坐標半徑，隨著加工進行極坐標半徑增大。

將式(14)進行離散點處理，可得：

(15)

式中：N1為加工工件旋轉的圈數，N2為每圈的角度Δθ等分數。

式(15)中描述的為磨削過程中砂輪在工件表面的離散路徑。

2.4 磨削振動表面波紋度仿真

根據磨削砂輪運動軌跡，磨削過程中砂輪的振動將形成磨削表面的波紋度。從離散的輪廓公式(13)可以看出：三維的表面波紋度形成與砂輪轉速、工件轉速和X方向進給速度有關。圖4為砂輪轉速和工件進給速度對工件表面波紋度的影響仿真結果，固定磨削深度35 μm。其中圖4a和圖4b仿真時定義砂輪的振幅分別為4.0 μm和6.5 μm。砂輪主軸的振動頻率f0=ns/60，工件軸轉速頻率fw=nw/60，將砂輪主軸轉速和工件X方向進給速度作為主影響因素時，由圖4可以看出：隨著X軸進給速度增大，表面波紋度增大趨勢明顯，砂輪主軸振動幅值越大表面波紋度越大。因此，磨削工藝參數的合理匹配將直接影響到加工表面波紋度的大小。

(a) 幅值4.0 μmAmplitude for 4.0 μm

(b) 幅值6.5 μmAmplitude for 6.5 μm

為了對離散的振動軌跡仿真分析，將交叉磨削方式的砂輪磨削點的運動軌跡定為螺旋線軌跡，因而Z軸的振動使磨削工件表面產生了空間波紋。根據式(14)對圓柱坐標進行分析，磨具與工件之間的相對位移關系與X軸進給速度、砂輪振動頻率與工件轉動頻率比值有關，振動的幅值A與磨削過程的吃刀量有關。取砂輪的振動幅值A=0.005 mm，ε=0.3，fr=3 mm/r。當a=1時，得到砂輪振動產生的表面波紋度三維圖如圖5a；當a=3時，得到砂輪振動產生的表面波紋度三維圖如圖5b。從圖5可以看出：a=3時的波紋條比a=1時的波紋條密，即a越大，紋路越多波紋度越大。

圖6為砂輪的振動幅值A=0.005 mm，a=20，ε=0.4，fr=4 mm/r時砂輪振動產生的表面波紋三維圖。從圖6可以看出：波紋相較于圖5變得更密，這是由于a值更大時，砂輪轉動頻率和工件轉動頻率比值增大，致使表面波紋產生的紋路較明顯。且由于波長λ1(λ1=fr/ε)變化不大，基本符合所建立的模型。

根據以上仿真結果可知，在相同的磨削深度，振幅固定的情況下，要實現高的表面波紋精度，需要調整X軸進給速度、砂輪轉動頻率和工件轉動頻率，合理匹配磨削加工工藝參數實現高精度磨削。

(a) a=1

(b) a=3

a=20，ε=0.4

3 試驗分析

利用四軸磨削機床采用交叉磨削方式加工大口徑非球面鏡，工件直徑為320 mm，磨削工藝參數如表1所示。

利用Taylor PGI輪廓測量儀測量工件表面波紋值，通過對比同一區域的波紋度數值，分析表面波紋度

表1 磨削表面波紋測試工藝參數

與磨削工藝參數間的關系，研究最佳工藝參數區間。不同磨削深度下砂輪轉速對工件表面波紋度的影響如圖7所示。

圖 7 不同磨削深度下砂輪轉速對表面波紋度的影響Fig. 7 Effect of grinding wheel speed on surface waviness under different grinding depths

由圖7可知：磨削深度為50 μm的表面波紋度大于磨削深度為30 μm的。這是因為磨削深度越大，振動的幅值越大，表面波紋度明顯增大。且隨著砂輪轉速的增大工件表面波紋的大小呈非線性變化。當旋轉速度達到1 600 r/min時，表面波紋顯著減小；砂輪轉速達到1 800 r/min時，表面波紋最小。根據砂輪磨削力公式可知砂輪轉速增大磨削力減小，因此在砂輪轉速從1 200 r/min增大到1 800 r/min時，振動幅值減小，所以表面波紋度減小；但當砂輪轉速繼續增大超過1 800 r/min時，砂輪偏心量增大，導致振動幅值增大，表面波紋也相繼增大。由此可見砂輪轉速為1 800 r/min，工件轉速為20 r/min，X軸進給速度為1.6 mm/r是較優的工藝參數。

為了更好地驗證模型的合理性，在砂輪轉速為1 800 r/min，工件轉速為10 r/min及X軸進給速度為1.2 mm/r條件下，采用交叉磨削方式進行表面波紋度分析，磨削后的工件如圖8所示。從圖8中可以明顯看到加工后工件表面的紋路分布，且分布較均勻。該波紋主要由砂輪振動產生，并且從邊緣到工件中心位置呈規律性弧形曲線分布。經統計，螺旋紋路值為181，該數值與模型中的砂輪轉速與工件轉速相除的整數部分一致。

圖 8 精密磨削后工件照片Fig. 8 Photo of workpiece after fine grinding

采用Taylor PGI3D輪廓測量儀測量磨削后的工件表面，取樣長度為45 mm。圖9是在徑向方向測量的工件表面波紋度分布情況。由圖9可以看出：工件表面波紋度幅值在5.8 μm左右，并且波紋的波長為1.3 mm。

4 結論

根據大口徑非球面鏡交叉磨削方式，分析了砂輪主軸由于磨削偏心產生的不平衡振動過程，建立表面波紋度形成機理的三維模型，并對表面波紋的形成進行仿真分析。

交叉磨削過程中，工件表面的波紋紋路是由砂輪主軸振幅、X軸進給速度、砂輪轉速和工件的轉速匹配決定的。仿真和磨削試驗結果驗證了建立的離散三維表面波紋度模型的合理性，并給出了最佳磨削工藝參數匹配范圍為砂輪轉速1 600～1 800 r/min，X進給速度1～3 mm/r，工件旋轉速度20 r/min。采用此工藝參數可減小工件表面波紋度，提高拋光效率，實現大口徑非球面鏡的高效制造。