周 凡,黃 娟*,李玉林
(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川成都610066; 2.四川師范大學(xué)可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川成都610066)
帶磁場(chǎng)的非線性Schr?dinger方程是量子力學(xué)中描述在非相對(duì)論情形下粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方程.因此,對(duì)于帶磁場(chǎng)的非線性Schr?dinger方程解的存在性以及解的相關(guān)性質(zhì)的研究受到許多人的關(guān)注.本文考慮如下帶磁場(chǎng)的非線性Schr?dinger方程:
對(duì)于方程(1),當(dāng) A(x)≠0 且 V(x)=0時(shí),Cazenave 等[1]證明了方程(1)的局部適定性和駐波的穩(wěn)定性.Cingolani[2]研究了方程(1)的多解的存在性.Tintarev[3]在一般非緊黎曼流形上證明了與哈密頓量有關(guān)的方程(1)的基態(tài)解的存在性.Bonheure等[4]研究了方程(1)的半經(jīng)典柱對(duì)稱解的存在性.Gan等[5]研究了方程(1)在負(fù)能量的情況下方程解的爆破條件.Gan等[6]研究在二維磁場(chǎng)中的非線性Schr?dinger方程,給出了解整體存在和爆破的門檻條件.Ginibre等[7]研究了方程(1)在與時(shí)間相關(guān)勢(shì)函數(shù)下的散射理論.當(dāng)n=2時(shí),舒級(jí)等[8]通過(guò)能量法給出了方程(1)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的條件.Ribeiro[9-10]研究初始能量為負(fù)時(shí),方程(1)解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的條件,以及初始能量為正時(shí)整體解存在的條件.
當(dāng) A(x)≠0,V(x)≠0 時(shí),文獻(xiàn)[11-14]通過(guò)壓縮映象原理證明了當(dāng)時(shí)方程(1)的局部適定性.Liu等[15]在電勢(shì)和磁場(chǎng)勢(shì)的一些衰減和弱對(duì)稱條件下,證明了該方程具有無(wú)限多的非徑向復(fù)值解.Garcia[16]研究了方程(1)在為任意調(diào)和勢(shì),V(x)為關(guān)于 xr的一階導(dǎo)數(shù)),div A(x)=0,▽A(x)=0 的條件下,且初始能量為負(fù)時(shí)其解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.Cingolani[17]證明了方程(1)的爆破準(zhǔn)則.
關(guān)于方程(1),本文研究三維空間中(n=3),勢(shì)函數(shù) V(x)=|x|2且
磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)軸 Ω =(ω1,ω2,ω3)(ωi∈R)的情況.考慮初始能量為正且滿足一定條件時(shí)方程解的整體存在和爆破的門檻條件.具體地,利用方程(1)的哈密爾頓結(jié)構(gòu)建立方程(1)的發(fā)展不變流形,研究方程(1)所對(duì)應(yīng)初值問(wèn)題的爆破解和整體解存在的門檻條件.首先定義如下空間:
其中
當(dāng) V(x)=|x|2時(shí),方程(1)對(duì)應(yīng)的質(zhì)量泛函為
能量泛函為
定理1.1若,V(x)=|x|2且,初值 u0∈Σ(R3)滿足 E(u0)<B,則:
其中Q是橢圓方程-△Q+Q-|Q|p-1Q=0,Q∈H1(R3)的基態(tài)解.
注1.1整體解存在的條件可以擴(kuò)大到1<p<5,若初值 u0滿足則方程(1)的解 u(t,x)在Σ(R3)中整體存在.
本文中,在不引起混淆的情況下把積分∫R3·dx 寫(xiě)成∫·dx,A(x)寫(xiě)成 A.
命題2.1(局部適定性[4,11-14]) 設(shè) 1 < p <5,V(x)=|x|2,u0∈Σ(R3),那么方程(1)的唯一解u(t,x)∈C([0,T]×Σ(R3)),其中 T∈R+是解的最大存在時(shí)間.若T=∞,則稱方程(1)的解整體存在;若T<∞,則方程(1)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.此外,當(dāng) t∈[0,T)時(shí),u(t,x)滿足 2 個(gè)守恒率:質(zhì)量守恒
和能量守恒
引理2.1(Heisenberg 不等式[18])
引理2.2(Gagliardo-Nirenberg 不等式[18])設(shè)1<p<5并且Q是非線性橢圓方程的徑向?qū)ΨQ解
則有如下Gagliardo-Nirenberg不等式
其中
命題2.2[9,16]設(shè) u0∈Σ(R3),且 u(t,x)是t∈[0,T)時(shí)方程(1)對(duì)應(yīng)于初值 u0的解,令,且
設(shè)1<p<5,定義如下集合:
命題3.1設(shè)1<p<5,則 Kg和 Kb是方程(1)的不變流形,即如果初始值u0∈Kg(或Kb),則方程(1)的解 u(t,x)仍然滿足 u(t,x)∈Kg(或 Kb).
證明設(shè) u0∈Kg,且 u(t,x)是方程(1)關(guān)于初值 u0的解.由命題3.1 知 E(u(t))=E(u0),t∈[0,T),因此,通過(guò) E(u0)<B,可得
要證 u(t)∈Kg,只需證明
反設(shè)(15)式不成立,因?yàn)?/p>
由連續(xù)性可知存在一個(gè)t1∈[0,T)使得
現(xiàn)在考慮一個(gè)實(shí)值函數(shù)
F(S)在 S∈R+上滿足:
1)當(dāng) S=A 時(shí),F(xiàn)′(S)=0;
2)當(dāng) S=A 時(shí),F(xiàn)″(S)<0.
因此,通過(guò)(17)和(19)式可知
這與 E(u(t1))=E(u0)<B 矛盾.因此,(15)式成立.
用類似方法可證Kb也是方程(1)的不變流形.
定理1.1的證明1)設(shè)u0∈Kg,即
當(dāng) t∈[0,T)時(shí),由命題3.1 知,方程(1)關(guān)于初值u0的解 u(t,x)∈Kg.從而
同時(shí),由
可知結(jié)論成立.
2)設(shè) u0∈Kb,即
由命題3.1知方程(1)關(guān)于初值 u0的解 u(t,x)∈Kb,即
并且
通過(guò)引理2.1 和文獻(xiàn)[19]知方程(1)的解 u(t,x)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.證畢.
通過(guò)定理1.1的證明1)可以看出,當(dāng)1<p<5時(shí)方程(1)關(guān)于初值u0的整體解依然存在.