基于Mathematica的保角變換可視化教學(xué)探討

曾然　李浩珍　畢美華　楊淑娜　胡淼

摘 ?要 針對數(shù)學(xué)物理方法課程內(nèi)容抽象、計算復(fù)雜的問題，以數(shù)學(xué)物理方法中的保角變換這一章節(jié)為示例，結(jié)合保角變換法中常見的具體形式，通過Mathematica軟件建立交互式圖像，實(shí)現(xiàn)該章節(jié)內(nèi)容的可視化教學(xué)，加深學(xué)生對知識的理解，提升學(xué)習(xí)興趣。同時，為其他章節(jié)的可視化教學(xué)提供借鑒，從而提升該門課程的教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 Mathematica;數(shù)學(xué)物理方法;保角變換法;交互式圖

像;可視化教學(xué)

中圖分類號：G642 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）06-0042-04

Exploration on Visualization Teaching of Conformal Transfor-mation based on Mathematica//ZENG Ran， LI Haozhen， BI Meihua，

YANG Shuna， HU Miao

Abstract Aiming at the abstraction and complexity of mathematical physics course， the article takes the chapter of conformal transfor-mation in mathematical physics course as an example， and combines some specific forms used in conformal transformation to establish interactive images through Mathematica software. It deepens stu-dents understanding of knowledge and enhances their interest in this

course by realizing the visualization teaching of this chapter. At the

same time， it provides reference for the visual teaching of other chap-

ters， finally improving the teaching quality of the course.

Key words mathematica; mathematical physics; conformal transfor-mation; interactive image; visualization teaching

1 引言

數(shù)學(xué)物理方法課程是一門面向物理系本科以及部分工科專業(yè)學(xué)生的必修的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，這門課程著重培養(yǎng)和訓(xùn)練利用數(shù)學(xué)工具簡化物理問題[1]，在解決物理問題的基礎(chǔ)上能夠闡述結(jié)果的物理意義，為接下來更加深入的物理課程學(xué)習(xí)提供了解決問題的基本方法。該課程主要包含復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)物理方程兩大部分內(nèi)容[2]，其中復(fù)變函數(shù)部分的特點(diǎn)是定義抽象、公式繁多、推導(dǎo)冗長;數(shù)學(xué)物理方程部分的特點(diǎn)是教學(xué)時機(jī)械地套用公式，得到的結(jié)果往往比較抽象，沒有充分利用數(shù)形結(jié)合的方式簡化物理問題的理解。綜上所述，該課程的特點(diǎn)不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不利于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程的主動性。

本文利用Mathematica軟件對數(shù)學(xué)物理方法課程中的保角變換這一章節(jié)進(jìn)行可視化教學(xué)探討，利用軟件可視化，建立交互式圖像，動態(tài)展示常用形式的保角變換的性質(zhì)和作用，并且引入具體問題加以解決和分析。通過性質(zhì)的講解和具體問題的分析并結(jié)合交互式圖像，推動學(xué)生充分理解保角變換的定義，明確常用形式的保角變換法的性質(zhì)并加以應(yīng)用，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而整體提升該門課程的教學(xué)質(zhì)量。

2 Mathematica軟件的特點(diǎn)與用途

Mathematica軟件是一個擁有豐富功能并且界面交互友好的數(shù)學(xué)軟件工具。強(qiáng)大的符號運(yùn)算，可以解決初等數(shù)學(xué)中代數(shù)式和函數(shù)的計算與化簡，微積分中的極限、導(dǎo)數(shù)、定積分、將函數(shù)展開成冪級數(shù)求和以及積分變換、解微分方程等問題，還有線性代數(shù)中行列式、矩陣的各種運(yùn)算，解線性方程組，求矩陣的特征值和特征向量等諸多功能。它還擁有大量的原生函數(shù)，因此具有強(qiáng)大的計算能力;并且得益于強(qiáng)大的函數(shù)庫，編程代碼簡潔高效，相比于其他軟件更加便于教學(xué)的使用。Mathematica軟件作為可視化工具，顯示效果顯著，在二維三維圖形繪制、串列繪圖、彩色繪圖、復(fù)變函數(shù)的圖形繪制、時域頻域的圖形繪制以及動畫顯示的處理等諸多方面，都有著不錯的效果。Mathematica軟件內(nèi)置交互式操作函數(shù)，可以形成可視化的界面以及可調(diào)的參數(shù)按鈕。這兩個特點(diǎn)十分有利于研究函數(shù)的變化過程或者函數(shù)中某個參量的作用，通過這種交互式的可視化圖像幫助學(xué)生加深對知識的理解。因此，Mathematica軟件在可視化教學(xué)的應(yīng)用中有著巨大的優(yōu)勢，這也是本文選擇Mathematica軟件進(jìn)行教學(xué)改革探討的原因。

3 保角變換的概念

從解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式上來看，其可以分為解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的模和導(dǎo)數(shù)的幅角兩個部分，這兩個部分對應(yīng)著不同的幾何意義。模的幾何意義是，通過該解析函數(shù)所表示的映射變換，Z平面的無窮小線元dz映射到W平面上的無窮小線元dw時[3]，反映其長度變化的大小（或稱伸縮倍數(shù)），而且這一倍數(shù)與向量dz的方向無關(guān)，因此把解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的模稱為映射在?z趨近于0時的伸縮率，并且所給定的各個方向上解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的模值都相等，映射w=f（z）在z0處具有伸縮率不變性。導(dǎo)數(shù)的輻角所代表的幾何意義是，W平面線元dw相對于Z平面線元dz逆時針方向轉(zhuǎn)過的角度[3]。

假設(shè)在Z平面上有兩條曲線相交于點(diǎn)z0，則在W平面上也有相應(yīng)的兩條曲線相交于相應(yīng)的點(diǎn)w0。從Z平面到W平面，兩曲線都是旋轉(zhuǎn)argw′（z），所以不論解析函數(shù)的形式怎么變化，兩個平面中兩曲線交角不變。因此，映射w=f（z）在z0處具有保角性。解析函數(shù)w=f（z）且f′（z0）≠0所代表的變換稱為保角變換。保角變換的作用是將邊界形狀比較復(fù)雜的平面標(biāo)量場通過一次或者多次合適的變換，轉(zhuǎn)化為邊界形狀比較簡單的理想平面標(biāo)量場，所以保角變換對解決實(shí)際工程問題有著重要的作用[3]。

4 常用的幾種保角變換的可視化教學(xué)

冪函數(shù)和根式變換 ?冪函數(shù)和根式變換形式為：。

冪函數(shù)變換的作用是將過原點(diǎn)直線與橫坐標(biāo)軸的交角放大為n（n≥1）倍，根式變換的作用是將過原點(diǎn)直線與橫坐標(biāo)軸的交角縮小為n′（n′≤1）倍[3]。為了更直觀地展示冪函數(shù)和根式變換的作用，利用Mathematica軟件構(gòu)建交互式圖像。研究對象選擇一條過原點(diǎn)射線且與橫坐標(biāo)軸交角為30°，在程序中x的值設(shè)置為足夠大，可以近似為理想射線：，0≤x

≤2 000 000。當(dāng)n=1，2，3，4時，得到圖1，實(shí)現(xiàn)代碼如下：

Manipulate[ParametricPlot[ReIm[（Sqrt[3] x + I x）^n]， {x， 0， 2000000}， PlotRange -> 3， ?Frame -> True]， {n， 0， 4}]

隨參數(shù)n的增大，過原點(diǎn)射線與橫坐標(biāo)軸的交角也從30°相應(yīng)增大到60°，

90°，120°，通過可視化的方式直觀地展示了冪函數(shù)變換的作用。根式變換的作用可以用同樣的方法進(jìn)行研究。冪函數(shù)和根式變換可以應(yīng)用在很多方面，如求解帶電無限大金屬板二面角內(nèi)電場的分布以及半無限大帶電金屬板的電場分布。

對數(shù)函數(shù)變換 ?對數(shù)函數(shù)變換形式為：w（z）=1n（z）。對數(shù)函數(shù)變換的作用是將Z平面上以原點(diǎn)為圓心的圓變?yōu)閃平面上的平行于虛軸的線段[3]。研究對象取一系列半徑不一致的同心圓：z=acos[t]+Iasin[t]，-π≤t≤π。其中移動參數(shù)滑塊a，當(dāng)a=0.4，1，2，4時，得到圖2，實(shí)現(xiàn)代碼如下：

Manipulate[

ParametricPlot[{ReIm[a Cos[t] + I a Sin[t]]}， {t， -Pi， Pi}，

PlotRange -> 4]， {a， 0， 4}]

Manipulate[

ParametricPlot[{{ReIm[Log[a Cos[t] + I a Sin[t]]]}}， {t， -Pi， Pi}，

PlotRange -> 4]， {a， 0， 4}]

通過Mathematica的可視化驗(yàn)證了對數(shù)函數(shù)變換的作用。在此基礎(chǔ)上，連續(xù)變化的圖像又進(jìn)一步反映了在Z平面隨著圓的半徑變大，映射到W平面，得到的線段自左向右平移。對數(shù)函數(shù)變換可以應(yīng)用在很多方面，比如求解同軸線電容器問題等。為了加深學(xué)生對于對數(shù)函數(shù)變換的理解，授課時以同軸線電容器問題為例，設(shè)內(nèi)徑為a，外徑b（a

分式線性變換 ?分式線性變換形式為：，（ad-bc≠0）。分式線性變換作用是使圓保持為圓，而且對于圓的對稱點(diǎn)保持為對稱點(diǎn)[3]。所謂對于圓的對稱點(diǎn)，可以描述為：已知圓C，半徑為R，有兩點(diǎn)A和B，其連線通過圓C的圓心O，而OA*OB=R2，則A和B兩點(diǎn)就稱為對于圓C為對稱點(diǎn)。研究對象仍然選擇單位圓，當(dāng)ad-bc≠0時，且a，b，c，d取不同的值時，得到圖3，實(shí)現(xiàn)代碼如下：

Manipulate[

ParametricPlot[{ReIm[（a （Cos[t] + I Sin[t]） + b）/（c （Cos[t] + I Sin[t]） + d）]， ReIm[Cos[t] + I Sin[t]]}， {t， 0， 2 Pi}， PlotRange -> 4]， {a， 1， 4}， {b， 1， 4}， {c， 1， 4}， {d， 1， 4}]

通過Mathematica的交互式圖像，移動a，b，c，d四個參數(shù)滑塊，在滿足ad-bc≠0條件下，圓仍然保持為圓，驗(yàn)證了對分式線性變換的作用。分式線性變換對于解決復(fù)雜電場中的電勢問題以及平行圓柱電容器問題等具有獨(dú)特的優(yōu)勢[4]。授課時以平行圓柱電容器問題為例，設(shè)有兩根半徑不一樣的平行金屬圓直導(dǎo)線，且兩根導(dǎo)線之間的電壓為V，求解兩根導(dǎo)線之間的電容。首先取一個與兩條導(dǎo)線垂直的截面，截面上得到兩個相離的且半徑不一樣的圓，建立坐標(biāo)系，在Z平面確定兩個圓的方程。通過對稱點(diǎn)的概念，求出相應(yīng)的對稱點(diǎn)，確定分式線性變換中的每個參數(shù)的具體值。最后將兩個圓的方程帶入分式線性變換中得到在W平面的圖像為同心圓，轉(zhuǎn)化為求解共軸電容器問題，從而降低求解的難度。

茹科夫斯基變換 ?茹科夫斯基變換形式為：w（z）=（z+1/z）/2。茹科夫斯基變換的作用：將圓映射成橢圓，射線映射成為雙曲線，同心圓族映射成為共焦點(diǎn)橢圓族，共點(diǎn)射線族映射為共焦點(diǎn)雙曲線[3]。研究對象仍然取為一系列半徑不一致的同心圓，當(dāng)a=2，3，6，7時，圖像變化情況如圖4所示，實(shí)現(xiàn)代碼如下：

Manipulate[

ParametricPlot[{ReIm[（a Cos[t] + I a Sin[t] + 1/（a Cos[t] + I a Sin[t]））/2]， ReIm [a Cos[t] + I a Sin[t]]}， {t， 0， 2 ＼[Pi]}， PlotRange -> 4]， {a， 1， 7}]

通過Mathematica的可視化驗(yàn)證了茹科夫斯基變換的部分作用。茹科夫斯基變換對于解決流體力學(xué)問題，以及求解共焦橢圓電容器問題，具有獨(dú)特的優(yōu)勢。授課時以共焦橢圓電容器問題為例，通過Mathematica軟件繪制的交互式圖像，能讓學(xué)生直觀地看到兩者的映射關(guān)系，充分理解茹科夫斯基變換的作用是將同心圓族變?yōu)楣步裹c(diǎn)橢圓族，那么已知共焦橢圓電容器，利用茹科夫斯基逆變換，可將共焦點(diǎn)橢圓族變?yōu)橥膱A族，將求解共焦橢圓電容器問題轉(zhuǎn)化為共軸線電容器問題，簡化求解共焦電容器電容問題。

5 結(jié)語

本文探討了Mathematica軟件在數(shù)學(xué)物理方法課程中保角變換章節(jié)的應(yīng)用，具體討論了保角變換中的保角概念、常用的幾種保角變換形式，并利用Mathematica軟件繪制的交互式圖像，繪制從Z平面到W平面一系列變換圖像，幫助學(xué)生直觀地理解保角變換的作用;再根據(jù)相應(yīng)變換形式的特點(diǎn)引入同軸電容器電容問題、平行金屬圓直導(dǎo)體的電容問題以及共焦橢圓柱形電容器電容問題，給出具體的分析與求解方式，幫助學(xué)生將理論知識轉(zhuǎn)化為解決具體問題的方法，做到學(xué)以致用。充分利用好Mathematica軟件工具的可視化優(yōu)勢，對于數(shù)學(xué)物理方法課程有著重要的教學(xué)意義，將較為抽象的概念具象化，有利于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)物理方法課程中抽象復(fù)雜的概念。最后，希望通過本文探討的可視化教學(xué)為數(shù)學(xué)物理方法課程中其他章節(jié)的教學(xué)提供借鑒，從而整體提升數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

[1]曹帥，勞媚媚，李海，等.數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)改革研究與實(shí)踐[J].課程教育研究，2017（23）：180.

[2]金輝霞，舒輝球.“數(shù)學(xué)數(shù)理方法”課程的教學(xué)改革與探索[J].中國電力教育，2012（13）：84-85.

[3]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]董健.Mathematica與大學(xué)物理計算[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.