經(jīng)歷多元表征過程，理解概念
——“圓的認(rèn)識”教學(xué)案例與反思

廣東省深圳市寶安區(qū)弘雅小學(xué) 楊群艷

教學(xué)內(nèi)容：北師大版第十一冊數(shù)學(xué)第2～3 頁。

教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合生活實(shí)際和豐富多彩的活動，通過多元表征理論經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)圓的基本特征的過程，通過觀察、操作、抽象和概括等活動體驗(yàn)，理解圓的特征，滲透符號意識，發(fā)展學(xué)生的幾何觀念；在畫圓的過程中，理解同圓中半徑、直徑以及直徑和半徑的作用，會用圓規(guī)畫圓，進(jìn)一步體會圓的本質(zhì)特征；能用圓的知識解釋生活中的簡單現(xiàn)象，感受數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)，進(jìn)一步激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識圓的各部分名稱，理解圓的特征，會用圓規(guī)畫圓。

教學(xué)難點(diǎn)：理解同圓或等圓的半徑和直徑的關(guān)系。

教學(xué)準(zhǔn)備：教師準(zhǔn)備圓規(guī)、三角板、PPT 課件、圓形紙，學(xué)生準(zhǔn)備：圓規(guī)、圓形紙、三角板。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

談話導(dǎo)入：（課件展示P2 三幅圖）我們打算舉行套圈比賽，游戲規(guī)則是站好之后就不能移動位置，看誰套的圈多誰就勝，有三種站隊(duì)方案，哪種方案比較公平？（討論）

【從學(xué)生感興趣的游戲引入新課，能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，由于學(xué)生已經(jīng)具有經(jīng)驗(yàn)表征：知道點(diǎn)到直線的距離垂直線段最短，所以學(xué)生能得出結(jié)論：只有當(dāng)學(xué)生都站成一個圓時最公平，因而很好地為新課的開展做好了鋪墊】

反饋：說說為什么第三種最公平？

生：站成圓形時，每人離小紅旗的距離是相等的。

師：之所以覺得圍成圓比較公平，那是因?yàn)閳A具有它獨(dú)有的特征，其實(shí)圓還有更多特征，這節(jié)課，我們一起來探究圓的特征。

【通過情境表征，讓學(xué)生初步體驗(yàn)圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離相等，水到渠成地引入新課：圓的認(rèn)識】

二、建構(gòu)模型，探索新知

研究圓的特征折一折，畫一畫，量一量，看一看這一張小圓片，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

【學(xué)生借助實(shí)物，通過體驗(yàn)表征，讓學(xué)生通過活動折一折、畫一畫、量一量，看一看，通過多種表征，充分讓學(xué)生獨(dú)自去感知圓的特征】

學(xué)生在操作中理解什么叫圓心、什么叫半徑、什么叫直徑，并理解圓的半徑與直徑的關(guān)系，理解圓心、半徑的作用。（四人小組討論）

【教師充分注意尊重學(xué)生，順應(yīng)學(xué)生的思維，為學(xué)生提供充分的平臺，讓學(xué)生借助實(shí)物去表征，使圓的特征逐步清晰化，充分體現(xiàn)了學(xué)生的自主性】

學(xué)生匯報：

生1：圓是由一條曲線圍城的封閉圖形。

生2：在同一個圓里等圓中，圓有無數(shù)條半徑，長度都相等。

生3：在同一個圓里等圓中，圓有無數(shù)條直接，長度都相等。

生4：通過圓心兩端都在圓上的線段叫作圓的直徑。

生5：從圓心到圓上的任意一點(diǎn)的距離叫作圓的半徑。

【通過觀察實(shí)物，借助學(xué)具圓片通過圖像表征與體驗(yàn)表征，使學(xué)生從研究由線段圍城的圖形遷移到探究由曲線圍成的圖形，增強(qiáng)積累，充分應(yīng)用數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的意識。學(xué)生通過摸一摸，感知圓的邊是彎曲的，是有別于以前學(xué)過的由線段圍成的平面圖形】

師：為什么井蓋要做成圓的？為什么大家喜歡圍成一個圓來舉行篝火晚會？

【通過體驗(yàn)表征與圖像表征，充分讓學(xué)生去感知，并從具體的實(shí)物體驗(yàn)抽象到圖形體驗(yàn)，同時通過對接生活中的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)在生活中大量存在利用同圓半徑都相等、同圓直徑都相等的特征去服務(wù)我們生活的例子，從而體會數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識】

生6：直徑是半徑的2 倍，半徑是直徑的一半。

【符號化思想是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程要滲透的重要數(shù)學(xué)思想之一，將數(shù)學(xué)符號化，用符號的濃縮形式表達(dá)信息，極大地簡化和加速了思維的進(jìn)程，因此在此時根據(jù)圓的表征有意識地滲透了符號化思想】

師：其實(shí)我們的古人很早研究的“圓一中同長也”，你能解釋古人這句話的意思么？

【適時地引出古人的研究成果，激發(fā)了孩子們的民族自豪感，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心】

三、通過體驗(yàn)表征畫圓

1.對于圓的特征，我們已經(jīng)了解清晰了，那么你們能畫一個圓嗎？有哪些方法可以畫圓？利用手上的學(xué)具試試（繩子，圖釘，圓片，圓規(guī)）。畫圖的同時，并說說自己選擇了什么工具，是怎么畫，畫圓時需要注意些什么。

【充分讓學(xué)生去體驗(yàn)，在體驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)畫圓的最好辦法。教師巡視中去了解學(xué)生畫圓的情況】

2.怎樣能將圓畫得又快又好呢？看視頻規(guī)范畫圓的方法，再練習(xí)畫圓。前兩組半徑為1 厘米，后兩組半徑3 厘米，并畫出圓心、半徑、直徑，分別用字母表示。（按要求練習(xí)畫圓，圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小）

【通過動態(tài)演示畫圓，學(xué)生進(jìn)一步理解同圓的半徑相等的特征，通過實(shí)踐操作，進(jìn)一步理解由于半徑長度不一，圓的大小也不一的特征】

3.籃球場上的圓是怎么畫的呢？是用圓規(guī)畫的嗎？畫一個半徑為5 米的圓，你們會怎么畫，還會選擇圓規(guī)嗎？（學(xué)生討論）

生1：太大的圓規(guī)，我們沒有那么高，用不了。

生2：可以用繩子、兩人合作。

生3：可以用一根棍子兩人合作。

師：所以說我們要畫好圓，就要學(xué)會因地制宜地選擇工具，生活中也是一樣的，很多東西都得因地制宜地選擇。除了這些方法，還有很多畫圓的方法，圓規(guī)畫法是基本畫法。

【數(shù)學(xué)要為生活服務(wù)，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活中，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的，從而讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識】

四、拓展

除了這些，在生活中還要很多物體上是圓形的。你們能找出一些嗎？

除了這些，在生活中還有很多物體上的某一個面都有圓，想一想車輪為什么要做成圓形的？

【通過一節(jié)課的探究，學(xué)生對圓有了更深的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生思考“車輪為什么做成圓的？”既體現(xiàn)了圓在生活中的廣泛應(yīng)用，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識，又為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了鋪墊】

五、課堂小結(jié)

今天這一節(jié)課，我們認(rèn)識了圓，了解了圓是由一條曲線圍城的封閉圖形，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。圓有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑，在同圓或等圓中，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。在生活中很多地方都要應(yīng)用到圓的知識去解決實(shí)際問題。大家課后可以繼續(xù)去探討在哪些方面應(yīng)用了圓的知識。

【整段小結(jié)幫助學(xué)生形成對圓的基本特征的完整認(rèn)識，讓學(xué)生明白研究圓的特征可以借助教具學(xué)具，通過從實(shí)物轉(zhuǎn)換到平面圖形，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法在研究圖形中的應(yīng)用，豐富學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)。同時鼓勵學(xué)生將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活中去，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神】

教學(xué)反思：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提到：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、符號意識、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課上還要注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

《圓的認(rèn)識一》為學(xué)生提供了很多的自主探索和交流的空間，本節(jié)課老師充分注意學(xué)生的自主性，讓學(xué)生充分應(yīng)用多元表征經(jīng)歷概念形成的過程，使學(xué)生切實(shí)了解圓的基本特征，也掌握認(rèn)識幾何圖形的基本方法，發(fā)展了學(xué)生的幾何概念。具體的教學(xué)主要呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：

1.利用多元表征，探究概念本質(zhì)

學(xué)生在此節(jié)課之前對于圓的認(rèn)識只是一種初步的直觀感知，本節(jié)課的教學(xué)從直線圖形的學(xué)習(xí)到曲線圖形的學(xué)習(xí)，無論是內(nèi)容本身，還是探索新知、研究問題的方法都有所變化。要引導(dǎo)學(xué)生利用多元表征使學(xué)生從直觀感知的層面對圓進(jìn)行探究，初步了解研究曲線圖形的基本方法。這不僅豐富了學(xué)生對圖形的認(rèn)識，而且有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，通過多元表征使學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的發(fā)展過程，完成學(xué)生認(rèn)知上的提升。

學(xué)生語言表征能力差往往會影響數(shù)學(xué)思維能力的提高，因此教師要重視數(shù)學(xué)語言能力的訓(xùn)練。上課一開始，教師為學(xué)生提供圖像，讓學(xué)生根據(jù)圖像判斷哪種方式最公平，其實(shí)是教師有意識地將圖像表征與語言表征結(jié)合，既是初步喚醒對圓的認(rèn)識，又是讓教師及時了解學(xué)生的信息儲備情況，使學(xué)生內(nèi)部的思維過程外顯出來，促進(jìn)學(xué)生對圓概念本質(zhì)的深度思考。

為了進(jìn)一步探究圓的特征，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識圓，教師利用體驗(yàn)表征讓學(xué)生通過折一折，畫一畫，量一量等方法，學(xué)生借助實(shí)物，讓學(xué)生從直觀到抽象，讓學(xué)生充分去感知圓的特征。在通過圖像表征與語言表征的不斷轉(zhuǎn)換過程中，使學(xué)生認(rèn)識了圓的半徑、直徑、圓心。

通過動態(tài)表征，讓學(xué)生帶著問題和思考畫圓，并在畫圓的過程中理解半徑確定圓的大小，圓心確定圓的位置。一開始，學(xué)生自主畫圓，由于沒有掌握畫法，實(shí)際上是將半徑變了，所以畫不好，此時教師發(fā)揮引導(dǎo)者、組織者的作用，通過動態(tài)演示圓的畫法，將抽象的概念直觀化，將靜態(tài)的概念動態(tài)化，在畫法的表達(dá)交流中將同一個圓的半徑都相等，同一個圓的直徑都相等，從而更深刻地理解圓的概念的內(nèi)涵。

2.順應(yīng)學(xué)生思維，體現(xiàn)學(xué)習(xí)主體

以學(xué)生為主體的教學(xué)往往容易將學(xué)生由被動狀態(tài)轉(zhuǎn)化成主動狀態(tài)，使教學(xué)效果大大提高。縱觀本節(jié)課，體現(xiàn)了教師注重落實(shí)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年）》的理念，教師充分尊重學(xué)生，順應(yīng)學(xué)生的思維，發(fā)揮學(xué)生的主體性，為學(xué)生提供了充足的自主探究平臺，讓學(xué)生自主去獲取知識，通過自主探究、動手實(shí)踐操作、交流探討，雖然學(xué)生在交流中概念不完善，或者出現(xiàn)知識點(diǎn)的偏離，教師不急于去糾錯，還是順應(yīng)學(xué)生的思維，采用“裝糊涂”策略，讓學(xué)生相互補(bǔ)充，相互糾正，激發(fā)學(xué)生之間的深度互動，把一個人的思考變?yōu)槿喙餐芯亢蛥⑴c的過程。圓、半徑、直徑等概念逐步清晰。通過自主探究，既豐富了學(xué)生對圓的感知，又發(fā)展了學(xué)生的幾何觀念，同時也發(fā)展了學(xué)生的思維。

3.滲透應(yīng)用思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中提到，數(shù)學(xué)可以描述生活中的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)與生活有密切關(guān)系，要認(rèn)識數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用特點(diǎn)，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決生活中的問題。再以選用哪種方式比賽比較公平來引入教學(xué)，實(shí)際上就是有意識地讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要。最后，拓展又讓學(xué)生去思考生活中的現(xiàn)象：為什么篝火晚會大家喜歡圍成圓圈？為什么下水道通常都是圓形的？為什么車輪都是圓的？拋出這一系列的問題，體現(xiàn)圓在生活中的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)要為生活服務(wù)，將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活中，從而讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。