“假設”下的多元呈現
——《雞兔同籠》教學設計（二）

【教學內容】

北師大版五年級上冊第99、100頁《嘗試與猜測》。

【教學過程】

一、激發興趣，導入新課

1.引入課題：同學們，你們知道這本書嗎？《孫子算經》是我國古代的數學名著，里面有很多有趣的數學問題，其中有一個這樣有趣的問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”你們知道這道題目是什么意思嗎？今天我們就來學習有趣的“雞兔同籠”問題。

2.導入新課：（出示圖片）你能猜出籠子里有幾只兔、幾只雞嗎？

課件出示：籠里有雞和兔共9只。

師：猜猜看有哪些可能？

預設1：1只雞8只兔。

預設2：2只雞7只兔。

預設3：3只雞6只兔。

……

師：有這么多猜測，那怎樣清晰地整理出你們說的這些可能呢？

生：用列表格的方法。

師：是的，說得真好?。ㄕn件整理出示表一）

表一：

雞有幾只 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9兔有幾只 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

師：你們能具體確定它們的只數嗎？

生：不能！缺少條件。

師：出示題目：雞兔同籠，有9個頭，26條腿。雞、兔各有幾只？

【設計意圖：從我國的數學名著導入，讓學生感受我國傳統的數學文化。“雞兔同籠”問題是我們生活中經常會看到的數學趣題，讓學生猜雞和兔的數量，激發學生的學習興趣?？紤]到《孫子算經》中原題的數據較大，首先從例題中的簡單問題開始研究。】

二、合作學習，探索規律

●活動一：化繁為簡，探索不同解題方法。

1.理解題意：誰能說說這道題的意思？

明確：雞兔同籠，一共9只，每只雞有2條腿，每只兔有4條腿，籠內雞和兔的總只數是26，分別求出雞和兔各有幾只？

2.列表法。

師：現在你能猜出雞兔各有幾只嗎？怎么知道你猜測的是否正確呢？

整理表格。（每只雞有2條腿，用雞的只數×2=雞的腿數，每只兔有4條腿，用兔的只數×4=兔的腿數）

表二：

雞有幾只 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9兔有幾只 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0腿有多少條 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18

師：表格中，我們從雞有0只開始逐一假設列舉，這種方法叫做逐一列舉法。

【設計意圖：由于“雞兔同籠”原題的數據較大，不便于學生進行探究，所以以化繁為簡的思想為指導，先安排一道數據較小的“雞兔同籠”問題，一步一步引導學生猜測，讓學生發現在已有的條件中，哪些條件是不變的，再讓學生用自己的方法來解決，不僅吸引了學生的注意力，也激發了學生繼續探究的興趣。學生覺得用形象、清晰的列表法就能較快地解決有趣的難題?！?/p>

●活動二：回歸原題，進一步探究解題方法。

出示：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？

師：通過剛才的學習，你們覺得用哪種方法比較合適？

預設：列表法。

1.提問：誰來說說這道題怎么列表？

師：大家思考一下，說說在這道題中，用這種逐一列表的方法怎么樣？你有什么好的想法呢？

匯報預設：在這道題中，用逐一列舉法，列舉的次數較多，為了減少列舉的次數，可以先估計雞和兔數量的范圍，再用列表法的方法解決問題。

2.小組討論交流，在《作業單》上填一填。

（1）展示交流。

匯報預設：

表三（部分）：

雞有幾只 兔有幾只 腿有多少條0 35 140 10 25 120 20 15 100 25 10 90 24 11 92 23 12 94……假如全部是兔，有140條腿……腿太多了，兔子數應該減少……差不多了，再調一點……腿數比94 少了，兔子數應該在10和15 之間

表四：

?

（2）說一說：這幾種表格有什么不同？

（3）小結：先估計雞和兔數量的可能范圍，這樣可以減少列舉的次數，這種列舉法叫做跳躍列舉法。先假設雞和兔的只數差不多，然后列舉，在列表時再根據實際情況調整雞和兔的數量，這樣可以縮小列舉的范圍，這種列舉法叫做折中列舉法。

3.對比三種列舉法。

師：這三種列舉法中，哪種最簡便？

【設計意圖：教材呈現了“逐一列表、跳躍列表和折中列表”三個層次的列表方法。逐一列舉：無遺漏、不重復；跳躍列舉：減少嘗試的次數；折中列舉：縮小嘗試的范圍。三種列表，三個層次，本質都是“逼近”的思想。對于學生來說，列表不難，難就難在讓學生在經歷這一過程的基礎上，掌握用列表解決問題的策略、感悟“逼近”等數學思想方法，并能在教師的引導下予以優化，能靈活選用合適的列表方法解決問題?！?/p>

●活動三：拓展提升，發現規律。

師：剛才我們用列表的方法，通過嘗試、猜測解決了雞兔同籠問題。其實這些都是我們先通過假設，再來驗證的過程，如果雞兔的只數很多，列表法就太費時間了，所以我們要借助表格找一找里面隱含的規律。

下面我們看看完整的表三，你發現了什么規律？

小結：在雞和兔總只數不變的情況下，每增加1只兔，減少1只雞，腿的總數增加2，反之，每減少1只兔，增加1只雞，腿的總數減少2。只要按照這個步驟下去，不管頭數和腿數是多少，都能解決問題。

師：完整的表三中的第一行數據是什么意思？

預設：假設籠中全是兔，有4×35=140（條）腿，與實際的94條腿相比較，多了140-94=46（條）腿。把1只雞當成1只兔來計算，就會比實際多4-2=2（條）腿，46中有多少個2，就有多少只雞。這樣就可以求出雞的只數。

雞：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）。

兔：35-23=12（只）。

師：完整的表三中的最后一行數據是什么意思？

預設：假設籠中全是雞，有2×35=70（條）腿，比實際的94條腿相比較，少了94-70=24（條）腿，把1只兔當成1只雞來算，就會比實際少4-2=2（條）腿，24中有多少個2，就有多少只兔。這樣就可以求出兔的只數。

兔：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）。

雞：35-12=23（只）。

小結：通過大家的討論，在列表法的基礎上，發現了雞和兔的腿數的關系，并采用假設都是雞或都是兔的方法來解決問題，所以我們把這種方法叫做假設法。這種方法能化難為易，也是解答雞兔同籠問題的一種好方法。

【設計意圖：列表法能直觀反映數據的變化，學生容易理解，可當數據較大時還是用假設法計算比較簡便。但是假設法對于學生來說比較難以理解，所以用數形結合的方式讓學生先發現表格中的規律，再從表中抽象出來，通過假設、計算的方法來解決雞兔同籠問題，進一步提高學生的分析和解決問題的能力?！?/p>

三、靈活運用，拓展提高

師：今天我們學習了解決雞兔同籠問題的方法，你們可以用這些方法來解決生活中的這類問題嗎？

出示練習：樂樂的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，總值5.1元，1角和5角的硬幣各有幾枚？

（學生在書上獨立完成）

匯報預測：

方法一：

1角/枚 13 18 20 21 5角/枚 14 9 7 6總值/元 8.3 6.3 5.5 5.1

方法二：

【設計意圖：通過練習，讓學生在大膽的猜測、嘗試和不斷調整的過程中，體會出解決問題的一般策略——列表和假設法，會利用所學知識解決生活中的“雞兔同籠”問題，讓學生體會“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應用。】

四、全課總結

師：今天你學會了用什么方法來解決雞兔同籠的問題？你有什么收獲呢？