優(yōu)化問題結(jié)構(gòu) 引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)
——《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第96、97頁。

【核心問題】

多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有什么關(guān)系？

【教學(xué)準(zhǔn)備】

課件、各種多邊形。

【教學(xué)過程】

一、設(shè)疑引入，激活思維

1.復(fù)習(xí)回顧。

師：回憶一下，在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識了哪些多邊形？

生：我們認(rèn)識的多邊形有長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。

生：還有五邊形和六邊形等等。

師：（出示三角形）我們已經(jīng)掌握了三角形的哪些知識？

生：我知道三角形有三條邊、三個角。

生：三角形的內(nèi)角和是180°。

2.設(shè)疑引入。

師：（出示十二邊形）這是一個十二邊形，你知道這個十二邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？看來有點(diǎn)困難，遇到這樣復(fù)雜的問題，可以怎么辦呢？

生：可以從簡單想起。

師：今天我們就一起研究多邊形的內(nèi)角和。（揭示課題）我們從幾邊形開始研究呢？

生：四邊形。

二、小組“合學(xué)”，有序探究

1.引發(fā)猜想。

師：長方形和正方形都是四邊形，它們的內(nèi)角和是多少度？

生：長方形和正方形四個角都是直角，所以內(nèi)角和是90°×4=360°。

師：根據(jù)這一特點(diǎn)，你能作出大膽的猜想嗎？

生：我猜想“所有四邊形的內(nèi)角和都是360°”。

2.“合學(xué)”研究。

師：是不是所有四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？需要動手驗(yàn)證一下。老師為每組準(zhǔn)備了不同的四邊形，想想如何驗(yàn)證？再動手試一試。

師：哪位同學(xué)愿意先來匯報(bào)你們組的研究結(jié)果？

生：我們組研究的是梯形，我先將梯形四個內(nèi)角標(biāo)出來，然后將它們撕下再拼在一起（如圖1），正好是一個周角，所以這個梯形的內(nèi)角和是360°。

生：我是將梯形分成兩個三角形（如圖2），一個三角形的內(nèi)角和是180°，兩個三角形就是180°×2=360°。

圖1

圖2

追問：為什么要將四邊形分成兩個三角形呢？

生：因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°，將四邊形分成兩個三角形，就能算出四邊形內(nèi)角和的度數(shù)。

師：這位同學(xué)將四邊形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和的問題來解決很巧妙。（板書：轉(zhuǎn)化）

生：我們組研究的是平行四邊形（如圖3），先用量角器量出四個角的度數(shù)，然后將它們相加：65°+115°+65°+115°=360°。

生：我們組研究的是這樣的四邊形（如圖4），除了前面的方法，我還有一種方法，將這個四邊形分成四個三角形，用180°×4=720°，然后減去中間的四個角，所以用720°-360°=360°。

圖3

圖4

生：我不太贊同你的想法，你將四邊形分成四個三角形，如果將這四個三角形繼續(xù)分，還會得到八個三角形，這樣就把問題弄復(fù)雜了，我認(rèn)為只要分成兩個三角形就可以了。

3.比較歸納。

歸納：剛才大家用自己的方法研究了不同四邊形的內(nèi)角和，不管是量、拼還是分，發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和都是360°。

4.深入探索。

師：五邊形的內(nèi)角和你還能繼續(xù)研究嗎？

（學(xué)生動手操作，組內(nèi)交流，然后組織反饋）

生：我把五邊形分成三個三角形（如圖5），每個三角形的內(nèi)角和是180°，三個三角形的內(nèi)角和就用180°×3=540°。

生：我將五邊形分成一個三角形和一個四邊形（如圖6），用180°+360°可以算出五邊形的內(nèi)角和是540°。

圖5

圖6

生：我認(rèn)為圖5的方法就是將圖6的方法中四邊形再分成兩個三角形。

生：我更喜歡圖5的方法。把五邊形分成一個三角形和一個四邊形，如果邊數(shù)再增加，出現(xiàn)的情況就很復(fù)雜了，所以不如都分成三角形反而顯得簡單。

師：老師也贊同你的想法，通過分割的方法把五邊形轉(zhuǎn)化成了三個三角形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和來計(jì)算五邊形的內(nèi)角和，這種方法比較簡潔。

師：同學(xué)們在匯報(bào)時，很少有同學(xué)用量或拼的方法，為什么呢？

生：因?yàn)槲暹呅蔚慕翘嗔?，撕開來再拼比較麻煩，五個角拼在一起，也不能知道是多少度。

生：如果用量的方法，既麻煩又不準(zhǔn)確。

小結(jié)：研究五邊形的內(nèi)角和時，發(fā)現(xiàn)用分的方法比較簡便，分成了三個三角形，得到五邊形的內(nèi)角和是540°。

師：那六、七、八邊形……的內(nèi)角和可能是多少度呢？你能想辦法求一求嗎？老師給大家準(zhǔn)備了這幾種圖形，請每位同學(xué)挑選一種進(jìn)行研究。

生：我研究的是六邊形，六邊形可以分成四個三角形，內(nèi)角和是180°×4=720°。

生：我研究的是七邊形，七邊形可以分成五個三角形，內(nèi)角和是180°×5=900°。

生：我研究的是八邊形，八邊形可以分成六個三角形，用180°×6=1080°。

師：現(xiàn)在你能解決課前提出的“十二邊形的內(nèi)角和是多少度”這個問題了嗎？

生：12-2=10，180°×10=1800°。

師：你是怎么想到用12減2的？

生：其實(shí)這是有規(guī)律的……

三、總結(jié)規(guī)律，聚焦明理

1.總結(jié)規(guī)律。

師：剛才說其中是有規(guī)律的，是什么規(guī)律呢？

生：我發(fā)現(xiàn)分成三角形的個數(shù)可以用邊數(shù)減2。求多邊形的內(nèi)角和，我們可以用（邊數(shù)-2）×180°。

師：同學(xué)們真棒！知道這個規(guī)律后，你還能求出多少邊形的內(nèi)角和？

2.聚焦明理。

師：你知道為什么三角形的個數(shù)比邊數(shù)少2 嗎？仔細(xì)思考，相信大家一定會有新的發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)有幾條對邊就能分出幾個三角形。

生：任何一個多邊形的頂點(diǎn)都能和對邊形成三角形，每個頂點(diǎn)都有兩條邊是相鄰的，不能得到三角形，因此分出三角形的個數(shù)就比邊數(shù)少2。

師：同學(xué)們真了不起，不僅能夠自己探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還能悟出其中的道理。掌聲送給自己！

四、總結(jié)回顧，結(jié)構(gòu)反思

師：今天我們一起研究了多邊形的內(nèi)角和，大家回憶一下一開始我們遇到了什么問題？我們又是怎樣解決的？

生：我們開始遇到求十二邊形的內(nèi)角和是多少度，遇到這樣的復(fù)雜問題，我們從簡單想起，從四邊形內(nèi)角和開始研究。

師：然后我們又研究了哪幾種多邊形，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：我們接著研究了五邊形、六邊形、七邊形和八邊形的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)了“多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°”這一規(guī)律。

生：我們還明白了分成三角形的個數(shù)比邊數(shù)少2的道理。