親歷合情推理 探究等式規律
——基于學習經驗的《等式的性質》教學思考與實踐

等式的性質是等式固有的一種規律。一般的教學形式是通過觀察天平兩邊同時增加或減少（包括成倍增加或減少）相同質量的物品，而天平依舊平衡的現象，把它們轉化成等式，再類比等式中的變化，逐步概括出等式的性質。這樣的教學過程，雖然規范了學生的思考過程，但是也壓縮了學生的思維空間。能否引導學生親歷學習過程，自主從一架天平中發現不同的等式，再依據所積累的等式，推理發現等式的兩個性質？帶著這樣的思考，筆者對《等式的性質》這一學習內容與教學過程進行了調整與嘗試，設計開展下列教學環節，收效良好。

一、探究交流，合作學習

1.課前交流，激發興趣。

師：同學們，今天我們一起來學習《等式的性質》。等式有哪些性質呢？我們借助天平來探索。想一想，怎樣讓天平保持平衡？

生：左右兩邊放上相同重量的物品。

師：看，現在天平上放了什么？如果花盆用a表示，花瓶用b表示，怎樣寫出等式？

生：a+b=4b。

師：如果要將左右兩邊物品發生變化，但天平依舊保持平衡，你有什么辦法？

生：同時放上1個花瓶。

生：可以在左邊放上1個花盆，在右邊也放上1個花盆。

師：剛才兩名同學表達了他們的想法，其他同學的想法是怎樣的呢？如何用等式表達出你們的想法呢？請同學們拿出《學習單》，按照要求小組合作學習。

2.交流匯報，積累經驗。

生：在天平兩邊同時添上1個花盆，天平保持平衡。用式子表示為：a+b+a=4b+a。在天平左右兩邊同時添上1個蘋果，天平依舊保持平衡。用式子表示為：a+b+c=4b+c。

生：在天平左右兩邊同時去掉1個花瓶，天平保持平衡，現在的等式是：a+b-b=4b-b。在天平的兩邊分別加上1個花瓶，天平保持平衡，現在的等式是：a+b+b=4b+b。

生：我們小組一致發現：在等式兩邊同時加上或減去相同的數（或物品），等式依然成立。

3.學生補充，引發思考。

師：其他同學還有不同的想法嗎？

生：我在天平兩邊同時添上2個花盆，天平保持平衡。用式子表示為：a+b+2a=4b+2a。

4.教師引導，規范表述。

師：（指板書）我們寫出了那么多的等式，你們有什么發現？

生：等式兩邊同時加或者減同一個數，等式兩邊仍然相等。

生：（眾）等式兩邊同時加上或者減去同一個數，等式兩邊仍然相等。

師：一起把我們的發現說一說。

【思考：五年級學生對等式性質的思考過程感到比較抽象，需要借助一個形象的模型——天平作為支撐。教學中，教師組織學生進行集體提問、激發興趣，再進行獨立思考、小組合作，在自主嘗試與直觀描繪中體會“天平兩邊同時添上或去掉同一重量的物品，天平依舊保持平衡”。思考與交流時，指導學生有效進行合情推理，在理解多個舉例情況均成立后，發現等式規律，概括等式性質1。】

二、大膽猜測，親歷過程

1.遷移經驗，猜測驗證。

師：同學們，剛才你們畫圖、寫等式，通過小組合作交流，得出了等式性質1。數學上，有沒有等式性質2呢？猜一猜。

生：等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，等式兩邊仍然相等。

師：（出示性質2）真的會成立嗎？讓我們一起來驗證。

2.交流匯報，驗證猜測。

師：誰愿意來交流？

生：我在天平左側放2個蘋果，天平右側放1個西瓜，天平保持平衡，蘋果用a表示，西瓜用b表示，等式為2a=b。再在天平左側放4個蘋果，右側放2個西瓜，天平左右兩邊加上同樣質量的物品，依舊保持平衡，等式為2a×3=b×3，6a=3b。

生：我先在天平左側放上4個蘋果，右側放上2個西瓜，這時天平保持平衡，等式為4a=2b。接著，我將左邊的4個蘋果平均分成2份，去掉其中的1份，再將右邊的西瓜也平均分成2份，去掉其中的1份，天平依然保持平衡，等式是4a÷2=2b÷2。

3.學生補充，完善提升。

師：你還有不一樣的式子嗎？

生：8a=4b，8a÷2=4b÷2。

生：3x=9y，3x÷3=9y÷3。

……

師：同學們真棒，你們勇于猜想，樂于驗證，得到了等式性質2是成立的。把我們的驗證成果讀一讀。

【思考：學生在第一教學環節中借助天平直觀圖獨立思考與舉例，進行合情推理，逐步概括得到等式性質1。這一學習過程，讓學生不僅探究了數學規律，而且積累了數學探究的經驗，這正是《數學課程標準》所大力倡導與推行的。第二環節教師利用學生概括等式性質1的學習經驗，鼓勵學生大膽猜測，歸納等式性質2，再啟發學生正向遷移學習方式，嘗試用多個舉例解釋與驗證等式性質2。】

三、性質應用，拓展提升

1.利用等式性質解決問題。

生：等式右邊150×3等于450，根據等式性質，右邊乘3，等式左邊也要乘3，所以是9t。

生：等式左邊5個排球除以5，等于1個排球，根據等式性質，等式右邊也要除以5，所以是5個小足球。

師：看來，同學們利用等式的性質解決了不少問題，學得不錯。

2.根據等式性質判斷。

如果字母a=b，下面正確的等式是（ ）

（1）①a+2=b+3 ②a-x=b+5 ③3a=b+b+b

師：看大家的選擇情況，出奇一致。你們為什么都認為第3個等式是對的？

生：因為a=b,3a=a+a+a，也就是b+b+b。而第一選項，a+2=b+3，左右加的數不一樣；第二選項，a-x=b+5，左右加減不同，數也不同；所以只有第三選項的等式是正確的。

（2）①a=2b ②a÷c=b÷c ③a÷7=b÷7

師：這一題，選②、選③的都有，到底哪個答案是正確的呢？把你的想法告訴你的組內同學。再來選一次。

師：從大家選擇的情況來看，有不少組的同學都修改了選項。通過討論，你的想法發生了什么變化？

生：原來我選擇的是第二個選項，但經過討論，我覺得第三個選項是正確的。因為a÷c=b÷c，c有可能為0，當c為0時，等式不能成立。而a÷7=b÷7，等式左右兩邊同除以7是可以的，所以選項三才正確。

師：（小結）通過小組討論，同學們修正了自己的答案，看來數學學習就是需要這樣的認真細致與相互切磋。

【思考：本環節屬課堂第一層次的練習，旨在檢測學生對等式兩個性質的理解與掌握情況，第一題重在引導學生應用性質求出等式的一部分，并能規范表述解題的依據；第二題利用智慧課堂中的遙控器，即時呈現學生的選擇情況，反饋教學效果，第一次按鍵選擇中有16位同學答題錯誤，教師引導全體學生利用組間合作、同桌互助的學習形式進行討論，第二次按鍵選擇中43位同學均答題正確。課堂教學中，需要在尊重學生個體差異的基礎上，指導與提升個別學生的學習能力與思維品質。】

3.利用等式的性質拓展應用。

師：一道趣味數學題，用今天學習的知識能解決嗎？請同學們在《學習單》上試一試，把相關等式記下來，做完后，和小組里的同學交流。

師：誰愿意上來介紹你的方法？

生：我用等式①減等式②，得到△+○-（□+△）=33-27，○-□=6，記作等式④，○+□=30，左右兩邊同加上30，等式還是相等的，2個○=36，再根據等式性質2，兩邊同除以2，得到○=18。然后在等式①中求出△，在等式②中求出□。

師：［指著△+○-（□+△）=33-27］為什么左右兩邊仍然相等？

生：根據等式性質1，等式左右兩邊減去同一個相等的量，等式兩邊依舊相等。

師：是的，兩個等式的左邊減左邊，就等于右邊減右邊。

師：誰還有不同的思考方法？

生：我把三個等式的左邊都加起來，右邊也都加起來：△+○+□+△+○+□=33+27+30，就得到了2（△+○+□）=90，△+○+□=45，再根據這個等式和等式①，可以求出□；根據這個等式和等式②，可以求出○；根據這個等式和等式③，可以求出△。

師：2（△+○+□）=90，△+○+□=45，這個等式怎么得來的？

生：利用等式性質2，左右兩邊同時除以2，等式仍然成立。

【思考：本環節屬課堂第二層次的練習，一題多法，以培養學生思維的敏捷度與多樣性。教學時，學生先進行獨立思考、記錄步驟，再在小組內進行分享交流、規范表述，最后進行集體反饋。通過上述環節，旨在培育學生觀察分析、抽象概括與推理能力，體會數學表達中的優化思想，提高學生的數學學習興趣。】

《數學課程標準》指出：在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中發展合情推理能力，能有條理地進行思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。本節課，在教學中利用智慧軟件實現組際交流、組間互補，設計有層次的練習活動，引導學生通過觀察、歸納、聯想、類比等活動發現規律、猜測結論、進行驗證。組織學生發現等式性質的教學過程，就是一種合情推理的過程。