莫爾條紋傾角快速求解算法及應用

陳 好，賈 靜，王 詢，何易德，蔣澤偉

（西南技術物理研究所，成都610041）

引 言

等效熱焦距參量是評估高能固體激光器熱效應的核心參量［1-2］。隨著固體激光器輸出功率的提高，激光材料熱效應愈加明顯，等效熱焦距參量的測量也逐漸受到重視［3-5］。基于泰伯-莫爾條紋長焦距測量技術是廣泛應用于長焦距光學元件焦距參量精確測量的方法，也是實現等效熱焦距參量精確測量的重要途徑之一［6］。它的基本原理是一束平行光束連續通過兩個相同周期的Rochi光柵，利用一個光柵的衍射自成像與第2個光柵的疊加形成莫爾條紋，通過莫爾條紋傾角測得被測元件焦距值。此方法具有測量范圍大、測量精度高、光路簡單、操作方便等優點［7-9］。莫爾條紋傾角求解是該技術的核心之一，是測量系統測量精度和測量速度的主要影響因素。其中莫爾條紋傾角測量誤差引起的焦距誤差占整個焦距測量誤差的90%［10］。為提高莫爾條紋傾角的求解精度，浙江大學HOU等人［11］提出了精確計算莫爾條紋傾角的傅里葉迭代算法；YU在他的基礎上提出了基于信息熵的迭代算法［12］。這兩種方法均通過傅里葉變換求取莫爾條紋頻譜，并通過迭代運算逐步逼近1級頻譜的精確坐標，進而求解莫爾條紋傾角。算法突破數字圖像像素的限制，顯著提高莫爾條紋的測量精度，傾角求解精度可達10-4rad量級。

迭代運算的引入在提高測量精度的同時也降低了測量速度，當迭代次數為10次時，采用常規配置計算機完成一次測量用時15s左右；基于信息熵的迭代算法在迭代20次時完成一次測量用時47s［12］。對于光學元件焦距的測量，測量時間不是主要問題，但激光材料熱效應等效熱焦距參量隨抽運時間快速變化，單次測量時間過長將無法反應熱效應的變化過程，需要以大于1Hz的頻率進行測量［13-15］。為提高激光材料熱效應等效熱焦距參量的測量速度，本文中在對頻域迭代法測量速度影響因素分析的基礎上，基于迭代運算坐標位置的相似性，將離散傅里葉變換公式進行變形，將頻譜坐標中包含小數值坐標點進行公共項分離，公共部分采用傅里葉變換系數進行濾波，不同部分在提取相似項的基礎上進行組合運算，將2維條紋圖像降為1維數據進行處理，整體上減少運算復雜度。同時坐標點的分離將不同部分限定在極小的可知范圍，極大地方便了查表運算和位運算的采用，提高了算法執行效率。編寫軟件，通過實驗驗證了快速求解算法的可行性和運算速度，結果表明，在保證測量精度的前提下完成一次測量耗時為0.4s，很大地提高了莫爾條紋傾角的求解速度，滿足了等效熱焦距參量測量對測量速度的需求。

1 莫爾條紋傾角快速求解算法分析

莫爾條紋是由兩塊等間隔排列的直線族或曲線族疊加產生的周期性條紋圖像。在基于泰伯-莫爾條紋長焦距測量技術中由一個光柵的衍射自成像與第2個光柵的疊加形成，其傾角是莫爾條紋與圖像坐標軸的夾角，直接反映被測元件的焦距值。在莫爾條紋頻譜域中，條紋傾角與其頻譜±1級的連線存在π／2的夾角，因此，莫爾條紋傾角的求解可通過求解頻譜的±1級坐標求解。對莫爾條紋圖像進行傅里葉變換即可得到莫爾條紋頻譜。但CCD采集到的莫爾條紋圖像為數字圖像，受CCD分辨率的限制，僅進行快速離散傅里葉變換只能求解整數像素點坐標，若條紋數量為N，則算法測量精度僅為（1／N）rad，測量精度無法達到要求。

1.1 頻域迭代原理

為方便莫爾條紋傾角求解，一般CCD采集的莫爾條紋行列方向像素相同，設為M，則可采用離散傅里葉變換公式在整數點坐標的基礎上求解單個像素內含分數點坐標（u，v）的頻譜值。將坐標點的求解精度提高到亞像素級別，進而可將莫爾條紋傾角的求解精度提高100倍左右。

式中，f（x，y）為條紋圖像灰度值，F（u，v）為條紋圖像頻譜。

由于坐標值（u，v）存在小數部分，無法采用快速傅里葉變換算法，運用（1）式計算像素內各位置的頻譜就需要龐大的計算量，計算速度必然很慢。莫爾條紋圖像是按一定規律分布的標準余弦圖像，由于系統誤差的存在，其頻譜圖的+1級在整像素內是按以最大值為中心的2維高斯分布。這個特點說明可以通過迭代逐漸逼近的方法找到其最大值，從而減少運算量。基于此頻域迭代算法采用像素分割，比較定位的方法逼近最大值。首先對莫爾條紋進行快速傅里葉變換得到其頻譜圖，確定頻譜圖的+1級坐標點，也即對頻域的+1最大值進行整數像素點初定位，得到其序列值，設其序列值為（m，n）；然后以頻域的+1級點為中心，把最大值點所在像素按九宮格進行分割，九宮格像素分割法如圖1所示。

Fig.1 Pixel segmentation based on nine palace lattice

九宮格內各宮格的坐標值為：（m+1／3，n+1／3），（m+1／3，n），（m+1／3，n-1／3），（m，n+1／3），（m，n），（m，n-1／3），（m-1／3，n+1／3），（m-1／3，n），（m-1／3，n-1／3）。采用（1）式求解各宮格中心處的頻譜值，比較各個頻譜值，確定最大值的坐標值（u0，v0）；重復上述方法，以每次得到的最大值的坐標值為中心，按步長1／3k進行九宮格分割完成第k次迭代運算，再求解最大值，這樣經過多次分割后逐漸逼近+1級頻譜最大值，達到提高測量精度的目的。算法覆蓋了整像素內的整個區域，也相當于求解了整個區域頻譜值。

1.2 快速求解算法原理

采用頻域迭代法完成莫爾條紋傾角測量，當迭代10次需要計算90個頻譜值，減少了很多次計算，但由于最大值坐標點包含小數部分，頻譜功率值計算只能采用指數運算，算法執行效率很低，完成一次測量仍然需要花費十幾秒的時間。

為進一步提高莫爾條紋傾角求解速度，本文中從頻譜值的求解上尋找方法。分析頻域迭法頻譜值的計算過程知，9個坐標點均是由上次迭代頻譜值最大值點坐標（u0，v0）與步長 1／3k的和差，因此對于本次迭代運算，上次迭代最大值點坐標是公共部分，步長為不同部分。將每一個頻譜點坐標（u，v）寫為u＝u0+uk，v＝v0+vk，其中（u0，v0）為上次迭代頻譜值最大值點坐標，（uk，vk）為本次運算的迭代步長，因此可將（1）式改寫為：

若設：

基于（4）式對迭代運算中各點頻譜值進行求解，f′（x，y）為一次迭代公共部分，采用傅里葉變換指數項對莫爾條紋圖像進行濾波運算完成。迭代運算中，w（x，y）的坐標點（uk，vk）分別為（1／3k，1／3k），（1／3k，0），（1／3k，-1／3k），（0，1／3k），（0，0），（0，-1／3k），（-1／3k，1／3k），（-1／3k，0），（-1／3k，-1／3k），其中 k為迭代次數。對于坐標點（1／3k，1／3k），（-1／3k，-1／3k），若 x+y相同，則 w（x，y）相等，因此可先計算相同點f′（x，y）的和，將M×M 2維數據降為長度為2M的1維數據參與計算。同理，對于（1／3k，0），（-1／3k，0）可先計算 x相同點 f′（x，y）的和；對于（0，1／3k），（0，-1／3k）可先計算 y相同點 f′（x，y）的和；對于（1／3k，-1／3k），（-1／3k，1／3k）可先計算 x-y相同點 f′（x，y）的和，將M×M 2維數據降為4組1維數據參與計算。因此（4）式可變為：

式中，H（n）為 f′（x，y）滿足坐標關系的條紋灰度值和。E（n）為長度為2M的指數項，對于每次迭代運算E（n）的值固定，可建立數據表，在計算 F（u，v）過程中采用查表運算和位運算，極大地提高了算法運算效率。

Fig.2 Flow chart of fast algorithm

快速求解算法基于迭代運算坐標位置的相似性，將離散傅里葉變換公式進行變形，將頻譜坐標分為公共項和不同部分，公共部分采用傅里葉變換系數進行濾波，不同部分在提取相似項的基礎上進行組合運算，將2維條紋圖像降為1維數據，同時坐標點的分離將不同部分限定在極小的可知范圍，極大地方便了查表運算和位運算的采用。算法整體上提高了莫爾條紋傾角的求解速度。快速求解算法流程如圖2所示。步驟如下：（1）在測量開始前建立20次迭代運算中所有指數項E（n）的數據表；（2）對莫爾條紋圖像進行快速傅里葉變換（fast Fourier transform，FFT），求解零頻坐標（m0，n0）和 +1級頻譜整像素點坐標值（m，n）；（3）代入整像素點坐標（m，n），求解一次迭代運算公共部分f′（x，y）的值，同時求解滿足 x+y，x，y，x-y相等坐標點 f′（x，y）的值和 H（n）；（4）分別求解九宮格中各坐標點的頻譜值，并求解頻譜最大值的坐標（mk，nk）；（5）代入坐標（mk，nk），求解 k+1次迭代運算公共部分 f′（x，y）的值，重復步驟（3）和步驟（4），求解第 n次迭代運算坐標點計算莫爾條紋傾角。

2 實驗結果與分析

構建了仿真實驗和等效熱焦距測量實驗，分別對快速求解算法的測量精度和測量速度進行驗證。其中，通過仿真實驗模擬不同角度莫爾條紋，采用傳統頻域迭代算法和快速求解算法對模擬莫爾條紋的傾角進行測量，三者進行對比驗證快速求解算法的測量精度；通過等效熱焦距測量實驗采集莫爾條紋，對兩種測量算法的測量速度進行對比，驗證快速求解算法的測量速度，同時驗證快速求解算法對激光材料熱效應等效熱焦距參量測量的適用性。

2.1 仿真實驗

基于MATLAB軟件構建了理想莫爾條紋模擬程序和算法仿真程序。模擬了傾角為 5°，15°，30°，45°，60°，75°，85°，90°的莫爾條紋，其中傾角為 45°的模擬莫爾條紋如圖3所示。

Fig.3 Moiréfringe with 45°angle

分別采用傳統頻域迭代算法和快速求解算法對莫爾條紋傾角進行求解，迭代10次，測量結果如表1所示。

由表1可知，傳統算法和快速求解算法的測量結果完全一致，而且和模擬角度均小于0.002°。排除圖像離散化過程引入的測量誤差，兩種算法均可精確求解莫爾條紋傾角，測量誤差小于0.002°，證明了快速求解算法的測量精度。

Table 1 Results with different algorithms

2.2 物理實驗

采用實驗室基于泰伯-莫爾條紋技術研制的長焦距測量儀對500J釹玻璃激光器激光材料熱效應等效熱焦距參量進行測量。測量算法以長焦距測量儀測量軟件為基礎，采用Visual Studio 2008編碼實現，計算機為CPU Intel i3處理器（主頻3.5GHz）及內存4GB的工控機。通過對比兩種測量算法的測量時間驗證快速求解算法的測量速度，并驗證測量算法對等效熱焦距參量的測量的有效性。CCD采集的莫爾條紋見圖4。

Fig.4 Moiréfringe

采集任意狀態下12幅莫爾條紋圖，采用傳統頻域迭代算法和快速求解算法對條紋傾角進行求解，測量時間如表2所示。

由表2可知，采用傳統算法完成一次測量平均測量時間為15.0s，采用快速求解算法完成一次測量平均測量時間為0.4s，前者測量時間是后者的38倍，直接說明快速求解算法測量速度相對于傳統算法得到很大的提高，驗證了快速求解算法的測量速度。

對實驗室500J釹玻璃激光器在完成單次脈沖發射過程中激光材料熱效應等效熱焦距參量進行測量，測量間隔時間設置為0.5s，測量結果分布曲線見圖5。

由圖5可知，等效熱焦距參量隨時間快速變化，在脈沖發射后10s內，等效熱焦距參量由-158.4m快速減小到-3400m然后變為2400m后再次快速減小到293.3m；10s以后等效熱焦距變換相對緩慢，逐漸減小至130m后逐漸增大，到50s時增大到165m。從測量結果知，采用快速求解算法將測量時間間隔設置為0.5s得到的測量結果很好地反映了脈沖發射后等效熱焦距參量的變化過程，從而證明了快速求解算法對激光材料熱效應等效熱焦距參量測量的適用性。

Table 2 Measurement time results with different algorithms

Fig.5 Result curve of thermal focal length

3 結 論

針對基于泰伯-莫爾條紋長焦距測量技術在測量激光材料熱效應等效熱焦距時對測量速度的需求，提出了一種莫爾條紋傾角快速求解算法，并對該算法的原理和流程進行了分析，整體上減少了算法復雜度，提高了莫爾條紋傾角的測量速度。建立了仿真實驗，通過與模擬傾角和傳統測量算法測量結果進行對比驗證了快速求解算法的測量精度。建立物理實驗，采用相同配置計算機，在保證測量精度的前提下傳統測量算法平均測量時間為15s，快速求解算法的平均測量時間為0.4s，測量速度提高了38倍，證明了該算法的測量速度。對實驗室500J釹玻璃激光器在完成單次脈沖發射過程中激光材料熱效應等效熱焦距參量進行了測量，測量結果證明快速求解算法滿足等效熱焦距參量的測量需求。