柯西不等式的推廣及其應用

高建全 蔡肖楠

【摘 ?要】隨著新課程改革的不斷推進，素質教育在我國的發展效果顯著，高中數學作為高中學習階段中最重要的學科之一，其創新教學的觀念也逐漸被教師所采納，柯西不等式是高中數學課程中比較重要的不等式結構之一，如何讓學生更好的理解和掌握柯西不等式成為了當前教師所要探索的方向。本文基于高中數學為背景，探討分析柯西不等式的推廣及其應用，并提出了幾點觀點和建議，希望為相關的高中數學教育從業者提供一些思路和方向。

【關鍵詞】柯西不等式;推廣;應用

引言

柯西不等式作為高中數學學習的經典公式之一對學生的高中數學的學習起到了承上啟下的作用，這個經典不等式的應用不僅讓學生對于之前學習的平均值不等式中進行鞏固，還能為后續學習的三角不等式和排列不等式打下了良好的學習基礎，也培養提升了學生的思維創新能力和自主探究學習能力，除此此外，柯西不等式的運用和推廣在學生解決數學中經典題型都起到了很大的作用和幫助，因此，教師在高中數學教學中應注重柯西不等式的推廣和應用。

1.柯西不等式的應用

1.1柯西不等式的基本形式

在高中教學中，數學定理如同牛毛一般多，學生在學習不同定理公式的同時要對每個公式定理透徹了解，只有這樣，對于數學問題的解答才會更加容易、方便和快捷，柯西不等式的教學是眾多知識點中最重要的知識點之一，它在高中數學課本中呈現出幾種不同的表現形式，分為一般形式：“（∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2等號成立條件：a1：b1=a2：b2=…=an：bn，或ai、bi均為零二維形式”和二維形式，其中二維形式是高中數學課本中常給學生展現的形式，柯西不等式中二維形式又分為代數形式：“若a，b，c，d都是實數，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時，等號成立”、向量形式：“設α，β是兩個向量，則│α.β│≤│α││β│，當且僅當β是零向量或存在實數k，使α=kβ時，等號成立”以及三角形式：“設x1，x2，y1，y2∈R那么√（x12+y12）+√（x22+y22）≥√[（x1-x2）2+（y1-y2）2]，當且僅當P1（x1，y1），P2（x2，y2），O（0，0）三點貢獻且P1，P2再原點O兩旁”。還有其他多種表現形式隨著數學學習過程的不斷加深進行不斷演進，通過不同形式的運用數學的各個領域中以更方便快捷的方式解決數學問題。

1.2柯西不等式在數學教學中的應用

在高中數學課堂教學中，柯西不等式可以幫助學生來解決某些函數最值或者證明一些不等式，所以使用率非常高，教師可以通過各種不同的柯西不等式的變換形式來滿足答題需求。由于柯西不等式這個數學概念相比較其他不等式較為復雜，教師在高中數學課堂教學活動中摒棄傳統的教學理念，積極學習新型的教學模式，在課程教學中要注重與學生之間的互動，盡管素質教育在各個高校相繼展開，效果也非常顯著，但是仍有個別教師在教學中忽視了學生作為數學課堂的主體，忽視了與學生之間的良好互動，導致學生學習柯西不等式興趣的喪失，因此在真正的實踐教學中，教師應當引導學生觀察每個例題所存在的條件和規律，并在此基礎上運用柯西不等式不同的變換形式對各個題型的解題步驟做到及時的歸納總結，要求學生把所有的方法總結到一個數學筆記本中，方便日后隨時翻閱。

例如在證明恒等式的時候，利用柯西不等式可以將其取等號的充分必要條件從而實現解決題目的目的。已知a√1-b2+b√1-a2=1去求證a2+b2=1.

證明：由柯西不等式中得出

a√1-b2+b√1-a2≤{a2+（1-a2）}{b2+（1-b2）}=1，

當且僅當b/√1-a2=√1-b2/a時，上式取等號，

所以得出ab=√1-a2·√1-b2，a2b2=（1-a2）（1-b2），

于是得出結論a2+b2=1，在此過程中，教師的教學步驟要放緩慢，針對學生對問題的疑難困惑及時的解答，不要讓學生的問題留到課下，教師再講恒等式這類題型多引導學生使用柯西不等式來解答，更方便、更快捷的計算出答案。

柯西不等式對于無理方程的解題也有所幫助，有些學生面對無理方程會一籌莫展，教師可以引導學生把無理方程運用柯西不等式轉化為不等式。然后再結合原方程把不等式轉換成等式，最后在可以判斷這個公式為等式的時候將柯西不等式取等號的特性加以利用，從而得到與原方程一樣答案的無理方程，進而整個方程式都會清晰明了簡單化，學生也因而得出原方程的答案解，在此過程中，教師應當一步步引導，一環扣一環的學習，培養學生自主學習、自主探究的能力。將各個學過的知識重組，實現新型且有創意的解題思路。

例如：習題中要求解方程√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2=2+1/x（x+1）.

解：∵√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2，

=√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2.

證明：由柯西不等式得出

√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2≥x/x+1+x+1/x，

即√x2+1/x2·√1/（x+1）2+（x+1）2≥2+1/x（x+1），

∴√x2+1/x2·√（x+1）2+1/（x+1）2≥2+1/x（x+1）

當上是取等號時有x（x+1）=1/x（x+1）成立，

∴x2+x+1=0（無實根）或x2+x-1=0

∴x=-1+√5/2經檢驗，原方程的根為x=-1+√5/2

教師在講授柯西不等式的應用這一課題時，要提前明確課程目標，完善課程計劃，確保到每個學生學會理解、掌握和使用柯西不等式在每個例題中的應用，教師還應該根據學生基本的學習情況和數學認知能力來對課程計劃規范的計劃，在高中數學教學課程活動中，除了以往的教師機械性教知識，學生機械性的學知識的傳統教學模式外，還要融合不同的教學模式，以激發學生學習探究柯西不等式的興趣，在上述幾個例題分析中，教師可以通過小組合作探究的形式，讓學生將問題和想法充分的表達出來，共同完成利用柯西不等式來解決數學中各種相關的問題。

2.柯西不等式的推廣

柯西不等式除了在高中數學不同領域的應用，還可以推廣到任意的內積空間，從復雜的不等式推廣到另一個特殊的不等式，從實數還可以推廣到復數，以至于推廣到更廣的范圍，解決更多的數學問題。教師在教授關于柯西不等式推廣中復數的推廣學習中，首先引導學生從實數出發，因為實數是數學的基礎，不等式構建在實數的基礎上才富有意義，在此基礎上教師可以向學生提問關于復數或者向量方面的相關問題，例：有關復數或者是向量等之間的關系是如何衡量的？以小組為單位思考這個問題并積極回答問題，讓學生自主得出結論關于測量復數和向量大小的首要選擇的便是測量長度

單位，并緊接著啟發學生思考：那如何進行柯西不等式的推廣呢？教師在學生討論之間可以在一旁解答學生對知識的不解，經過學生積極的思考和討論再加上教師在一旁的引導便可得出結論：在解決相關問題時只需要把柯西不等式數值的平方轉換成復數的模的平方就可以大幅度提高解題速度。例如：復數z=x+iy，定義長度|z|=√x2+y2，假若設ai，bi為任意復數（i=1，2，...，n），那么等式成立的充分必要條件就是ai=λbi（i=1，2，...n）。

除此復數的推廣之外，柯西不等式在代數數學中中得以運用，例如：對于任意向量a，b有|（a，b）|≤|a||b|，當且僅當a和b線性相關時，等號則予以成立，即矢量內積小于等于矢量長度之積。柯西不等式的推廣中比較有影響力的赫爾德不等式和閔可夫斯基不等式也對數學發展起到了重要作用，盡管這個在高中教材中沒有涉及，教師可以以科普知識、科普創始人等有趣的方式向學生展示，創設一個有趣寬松的學習氛圍，激發學生的學習興趣，點燃學生的學習熱情，讓學生了解掌握并熟練運用柯西不等式的推廣應用，培養學生良好的數學意識，鍛煉學生的思維創造能力和動手時間能力，為學生日后全面發展奠定良好的基礎，也為學生以后數學學習生活中提供方便和快捷。

3.結束語

綜上所述，柯西不等式的運用和推廣不止為高中數學的學習也為當前數學在世界的發展都起到了一定的貢獻，發揮著不可比擬的影響力，在上述的柯西不等式運用和推廣的例子中可以了解到柯西不等式的靈活性和變通性很強，但也要基于現實實際的情況進行不同的構建假設，不同問題不同分析，根據不同的基本概念實施各種形式的解題方法，柯西不等式作為高中數學必備的基本公式之一，為學生在解決各種類型的問題都提供了很大的幫助，同時也提升了學生自主探究學習的能力，培養了學生的思維擴散創新的能力和大膽思考、探索問題的正確意識，目前來看，柯西不等式也很難解決有些問題，因此，關于柯西不等式的推廣和應用還需要教師不斷的進行探討和分析，以便創造出更多的解題思路貢獻給學生，讓學生全面發展。

參考文獻

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作者簡介：

高建全（1980.08--），男，漢族，河南泌陽人，講師，本科，研究方向為數學分析。

蔡肖楠（1991.11--），女，漢族，河南開封人，中小學二級教師，本科，研究方向為小學數學。