一類函數方程的求解

巴英

摘要：本文致力于用常微分方程解決一類函數方程，程序是先通過函數方程和附加條件建立常微分方程，然后解常微分方程，從而獲得函數方程的解。一定程度上，這種方法顯得有規律可循，相比較而言容易掌握一些。

關鍵詞：函數方程;常微分方程;通解;特解;初值問題

1引言

函數方程并沒有約定俗成的解法，不同的函數方程很可能運用的解決技巧不同，這給函數方程的求解帶來很多困難，也使得數學工作者總歸只能局部地解決函數方程，而且這之中，越是初等的方法越繁瑣。于是，我們期待能夠獲得相對簡約化、一般化、規律化的方法。

2 化函數方程為常微分方程

只需附加給函數一個在定義域內某點（多數是原點）可導的條件，就基本上可以推證函數在任意點都可導，這樣便可以建立常微分方程。接下來，便是利用已有的常微分方程知識求解新建立的常微分方程，從而獲得函數方程的解。

附注2 同一方法可以反復出現，已經說明了方法本身具有一定的一般性 ，而且可以多維度縱向延申。

3 結束

數學史上，任何一個科目的發展都離不開滴水穿石的積累，最終都是百納海川的結果。函數方程求解的征途注定是充滿曲折和千變萬化的，也許未來幾十、上百年方能邁出有意義的一步，但其中利用常微分方程求解一定是一顆最璀璨的星星。

參考文獻：

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