基于深度學(xué)習(xí)的“好玩”數(shù)學(xué)課堂
——以北師大版“數(shù)學(xué)好玩”的《密鋪》為例

（晉江市池店鎮(zhèn)教委辦，福建 晉江 362212）

指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂，既要指向兒童全面、長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展，更要遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律。深度學(xué)習(xí)作為一種教學(xué)理解和教學(xué)設(shè)計(jì)模式，旨在通過(guò)整體的教學(xué)內(nèi)容分析，設(shè)計(jì)有助于學(xué)生深度思考的教學(xué)活動(dòng)，使體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程和富有深度思考的學(xué)習(xí)活動(dòng)真正發(fā)生。［1］

北師大版“數(shù)學(xué)好玩”中編排的《密鋪》，屬于綜合實(shí)踐課程，其目的是讓學(xué)生了解平面圖形密鋪的意義，探究平面圖形密鋪的因素，以及對(duì)平面圖形能進(jìn)行密鋪的理由有初步的了解。同時(shí)，在體驗(yàn)平面圖形密鋪的實(shí)踐活動(dòng)之中，獲得一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，初步培養(yǎng)空間概念以及猜測(cè)、驗(yàn)證和推理能力，使學(xué)生不斷深化理解數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)魅力，促進(jìn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。“好玩”的數(shù)學(xué)課堂，必是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的課堂，能給學(xué)生提供多維度的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生從中感受學(xué)習(xí)樂(lè)趣，提升學(xué)習(xí)效率。［2］

一、瞻前顧后，扣緊教學(xué)本質(zhì)

深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以圍繞數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容展開(kāi)，整體分析和理解這一內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)內(nèi)容特征和數(shù)學(xué)思想。細(xì)細(xì)研讀教材后，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課前，已有一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)：1.學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了三角形和四邊形，了解生活中常見(jiàn)的四邊形可以用于密鋪。2.二年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圖形”單元中的《欣賞與設(shè)計(jì)》，初步呈現(xiàn)了大量的類(lèi)似密鋪的素材，使學(xué)生體會(huì)復(fù)雜的圖形是由基本圖形組成的。3.三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的旋轉(zhuǎn)和平移，為密鋪提供了操作經(jīng)驗(yàn)。在本節(jié)課之后的知識(shí)里，也有相呼應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容：1.五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元中，學(xué)生了解了圖形之間可以相互轉(zhuǎn)換。2.在六年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的“圖形的運(yùn)動(dòng)”單元《欣賞與設(shè)計(jì)》一課中，課后練習(xí)中強(qiáng)調(diào)：“荷蘭藝術(shù)家埃舍爾巧妙地運(yùn)用平移和旋轉(zhuǎn)創(chuàng)作了大量圖形藝術(shù)作品。”

所以，瞻前顧后，聯(lián)系教材前后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，確定《密鋪》這節(jié)課的重難點(diǎn)為：運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)的原理，感受“密鋪”的神奇。教師作為教材的解讀者與操作者，應(yīng)在教學(xué)活動(dòng)之前理解教材、挖掘教材、整合教材，這是教師理解學(xué)科內(nèi)容、理解學(xué)生學(xué)習(xí)、整體設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)的過(guò)程。［3］

二、深入淺出，盤(pán)活“好玩”資源

陳省身認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一種科學(xué)工具，幫助人們掌握數(shù)字規(guī)律，鍛煉邏輯思維能力，把神秘變成常識(shí)，把復(fù)雜變成簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單既是思想，也是目的。真正“好玩”的數(shù)學(xué)課堂，能拓展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，使學(xué)生能夠深切地感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，有助于培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.關(guān)注生活，就地取材

教材上呈現(xiàn)的素材是各種墻面磚，其共同特點(diǎn)是“沒(méi)有空隙，也不重疊”。長(zhǎng)方形、正方形的密鋪十分直觀，可以不再作為后續(xù)學(xué)習(xí)的研究對(duì)象。因此，教師取材生活，在課前拍攝了豐富的以長(zhǎng)方形、正方形密鋪的地磚照片，讓學(xué)生體驗(yàn)密鋪的特點(diǎn)，并得到結(jié)論（長(zhǎng)方形、正方形都能密鋪），為學(xué)生提出其他圖形能否密鋪的猜想做好鋪墊。

2.關(guān)注數(shù)學(xué)，優(yōu)化素材

基本圖形只要經(jīng)過(guò)平移，就能設(shè)計(jì)出美麗的圖案。教師根據(jù)學(xué)生實(shí)際知識(shí)基礎(chǔ)，創(chuàng)造性使用教材，設(shè)計(jì)動(dòng)畫(huà)《神奇的騎士圖》（見(jiàn)圖1）。學(xué)生乍看，只感覺(jué)是密鋪，繼續(xù)觀察便能發(fā)現(xiàn)其中的變與不變：白色部分和藍(lán)色部分形狀大小都一樣，只是方向不一樣。隨后，還原基本圖形平移成騎士圖的過(guò)程，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是神奇的、好玩的。教學(xué)內(nèi)容的豐富，課堂結(jié)構(gòu)的合理，來(lái)自教師對(duì)課程內(nèi)容、教材內(nèi)容及學(xué)生生活實(shí)際的整合加工。［4］

圖1

三、從頭到尾，思考實(shí)踐合一

課堂教學(xué)，不能僅限于簡(jiǎn)單的對(duì)話交流，而要多讓學(xué)生探索數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)。教師要積極搭建數(shù)學(xué)活動(dòng)平臺(tái)，以問(wèn)題為載體，融入數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

《密鋪》屬于綜合實(shí)踐課程，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)綜合與實(shí)踐做出深刻而簡(jiǎn)單的詮釋?zhuān)础皵?shù)學(xué)探究”和“數(shù)學(xué)建模或數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用”，要讓學(xué)生比較清晰地經(jīng)歷有目的的實(shí)踐過(guò)程：1.選題——選擇研究問(wèn)題。（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）2.開(kāi)題——告訴學(xué)生該做什么，怎么做，結(jié)果可能是什么，困難是什么，怎樣克服等。（提出問(wèn)題）3.做題——解決問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際調(diào)整策略等。（分析問(wèn)題）4.結(jié)題——以各種形式報(bào)告結(jié)果。（解決問(wèn)題）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的“從頭到尾”的思考過(guò)程。皮亞杰兒童認(rèn)知發(fā)展理論的研究發(fā)現(xiàn)，四年級(jí)的學(xué)生正在從數(shù)學(xué)的具體運(yùn)算發(fā)展為形式運(yùn)算的過(guò)程，這個(gè)階段的學(xué)生更加注重抽象思維，但是思維活動(dòng)也會(huì)受到具體內(nèi)容的制約。因此，教師不僅僅需要向?qū)W生講解教科書(shū)上的內(nèi)容，也要鼓勵(lì)學(xué)生在生活中探索發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。所以，教師設(shè)計(jì)三次猜想，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“從頭到尾”的過(guò)程。

（一）三次猜想，步步提升

1.第一次猜想。觀察完地磚后，教師提問(wèn)：“關(guān)于密鋪，你還能提出什么問(wèn)題？”激起學(xué)生的發(fā)散思維。學(xué)生提問(wèn)：“還有其他什么圖形可以密鋪？”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)過(guò)的圖形進(jìn)行猜想、驗(yàn)證，得出第一個(gè)結(jié)論：三角形、四邊形都能密鋪。

2.第二次猜想。第二次猜想由第一個(gè)結(jié)論引發(fā)：“密鋪的原因是什么？”在學(xué)生充分的討論猜想后，教師適時(shí)介入，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)單，供學(xué)生操作實(shí)踐。第二次猜想里，學(xué)生操作和思考并行，得到第二個(gè)結(jié)論：三角形和四邊形密鋪的原因是一樣的，即拼接點(diǎn)處各個(gè)角的和是360°。

3.第三次猜想。基于之前的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快提出第三個(gè)猜想：“所有的平面圖形都能密鋪嗎？”教師不再提供學(xué)具，而是呈現(xiàn)教材中的正五邊形和正六邊形。學(xué)生的第三次猜想開(kāi)始上升到思維的層面，他們不再動(dòng)手操作，而是運(yùn)用想象和推理進(jìn)行“密鋪”。

三次猜想，將研究不斷深入，拓展學(xué)生思維的深度，讓學(xué)生深度參與課堂學(xué)習(xí)。“猜想、驗(yàn)證、結(jié)論”，又引出新的猜想，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題，主動(dòng)探求知識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成就感，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，從而主動(dòng)探求知識(shí)，產(chǎn)生一個(gè)良性循環(huán)。

（二）多元拓展，開(kāi)闊視野

教師可通過(guò)問(wèn)題不斷追問(wèn)。“不能密鋪的五邊形，再添上什么圖形就能密鋪呢？”引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)想象，培養(yǎng)空間觀念。在教學(xué)中，展示大量埃舍爾的作品，在滲透數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美的熏陶，開(kāi)闊學(xué)生的視野。課末，將平面上的密鋪拓展到立體空間上的密鋪。“如果把多個(gè)正五邊形的邊緊緊挨在一起，就能密鋪成足球。”豐富學(xué)生的思維素材，讓學(xué)生充分感受密鋪的奧妙。