想象·描述·畫圖：培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的漸進(jìn)途徑

（閩清縣白中鎮(zhèn)普賢小學(xué)，福建 福州 350806）

對小學(xué)生而言，空間觀念就是他們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象所形成的一種能力，是學(xué)生對大腦中已有表象加工或改造的一種能力。［1］空間觀念是客觀事物在學(xué)生大腦中所留下的表象；空間表象是學(xué)生形成空間觀念的基本材料。空間觀念包括空間感（大腦中的三維映像或平面圖形的三維視覺化）、實(shí)物幾何化、空間幾何結(jié)構(gòu)的二維表示以及由此形成的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系等。［2］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》要求學(xué)生學(xué)會“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”“描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化”“依據(jù)語言的描述畫出圖形等”。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念離不開想象、描述和畫圖。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷想象、描述和畫圖過程，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)他們的空間觀念，使他們的空間觀念不斷得到發(fā)展和提升。

一、想象實(shí)際物體

想象是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要思維活動(dòng)之一。小學(xué)生的幾何思維主要體現(xiàn)在自身的直觀感受和已經(jīng)形成的圖形表象。由幾何圖形想象實(shí)際物體就成為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識的基本活動(dòng)之一?？臻g想象是一種直覺，是學(xué)生對客觀事物的空間形式所進(jìn)行的一種觀察、分析、抽象思考和構(gòu)造創(chuàng)新的心理過程，［3］是學(xué)生對物體形狀、結(jié)構(gòu)、大小和位置關(guān)系的想象。學(xué)生必須借助一定的經(jīng)驗(yàn)和具體材料進(jìn)行想象，想象才有據(jù)可依，才更為理性。借助表象進(jìn)行想象是小學(xué)生形成空間觀念的重要途徑之一。小學(xué)生可以根據(jù)幾何圖形想象客觀事物的具體形狀與大小，可以根據(jù)圖形之間的關(guān)系想象彼此之間的轉(zhuǎn)化過程，也可以根據(jù)展開圖想象幾何體的具體形狀，還可以根據(jù)不同角度所看到的視圖想象幾何體的具體形狀。

如教學(xué)“長方體和正方體”時(shí)，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書五年級下冊有這樣一道習(xí)題：把長26 厘米、寬18厘米的長方形紙，從四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長4 厘米的正方形(如圖1)，再折成一個(gè)無蓋的長方體紙盒。這個(gè)紙盒的容積是多少立方厘米？教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目所描述的信息想象實(shí)際物體的形狀和大小。學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考和小組交流，發(fā)現(xiàn)長方形紙的長邊剪去2 個(gè)小正方形后，剩下26－4－4=18 厘米，寬邊剪去2 個(gè)小正方形后，剩下18－4－4=10 厘米，這兩條邊相當(dāng)于長方體底面的長和寬，剪去小正方形的邊長相當(dāng)于長方體的高。這樣，長方體紙盒的容積就是18×10×4=720 立方厘米。

圖1

通過想象，學(xué)生可以積極、主動(dòng)、自覺地在二維展開圖和三維幾何圖形之間建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)二維圖形和三維圖形之間的相互轉(zhuǎn)換，在大腦中形成一個(gè)長18 厘米、寬10 厘米、高4 厘米的長方體表象，這不僅是他們的思考過程，也是他們借助表象展開心理操作的過程。在這樣的想象過程中，學(xué)生對長方體基本元素之間的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系有了清晰認(rèn)識，他們的空間觀念就會由感知逐漸上升為一種可以把握的能力。

二、描述運(yùn)動(dòng)變化

生活中有很多圖形的運(yùn)動(dòng)和變化現(xiàn)象，這些現(xiàn)象中總有一些是不變的。在圖形的運(yùn)動(dòng)和變化中發(fā)現(xiàn)變與不變是小學(xué)生發(fā)展空間觀念的關(guān)鍵，也是他們學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動(dòng)和變化內(nèi)容的價(jià)值所在。小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，“圖形的運(yùn)動(dòng)與變化”主要包括軸對稱圖形、圖形的平移和旋轉(zhuǎn)以及圖形的放大和縮小等幾個(gè)知識點(diǎn)。教學(xué)這些知識點(diǎn)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較和交流中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并描述圖形在運(yùn)動(dòng)過程中的變與不變、如何變以及圖形運(yùn)動(dòng)、變化前后各部分之間的對應(yīng)關(guān)系，幫助他們形成相應(yīng)的空間表象，使學(xué)生在探索和理解變與不變的過程中認(rèn)識圖形之間的關(guān)系、逐漸形成空間觀念。

如教學(xué)“圓柱和圓錐”時(shí)，學(xué)生經(jīng)常常常會遇到把平面圖形旋轉(zhuǎn)成立體圖形的習(xí)題，如：把一塊底是6 厘米、高是8 厘米的直角三角形硬紙板分別繞它的兩條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，能形成兩個(gè)大小不同的圓錐。你能分別算出它們的體積嗎？解決問題時(shí)，學(xué)生可以通過小組合作的方法旋轉(zhuǎn)一面直角三角形小旗，觀察小旗在旋轉(zhuǎn)過程中什么變了、什么沒有變。經(jīng)過觀察、思考和小組交流，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的小旗（不考慮小棒）會形成一個(gè)圓錐體，小旗的一條直角邊（小棒所在的邊，不是小棒全長）不變，是圓錐的高，小旗的另一條直角邊變成了圓錐的底面半徑。也就是說，硬紙板繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周會分別形成底面半徑8 厘米、高6 厘米以及底面半徑6 厘米，高8 厘米的圓錐。學(xué)生能這樣描述圖形的運(yùn)動(dòng)變化，就能很快用公式分別求出它們的體積是π×6×6×8÷3=96π 立方厘米、π×8×8×6÷3=128π 立方厘米。

教師引導(dǎo)學(xué)生借助已有表象描述物體的運(yùn)動(dòng)和變化過程是幫助他們形成空間觀念的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生通過有效操作，在大腦中逐漸形成三維映像，實(shí)現(xiàn)二維平面圖形的三維視覺化，他們對圖形的運(yùn)動(dòng)形成初步映像后再用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述，就能實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)性理解，就能從中發(fā)現(xiàn)一些解決問題的有用信息，就能在解決問題的過程中充分感悟描述圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程對自己發(fā)現(xiàn)解題思路、形成空間觀念的獨(dú)特作用。

三、畫圖表示信息

學(xué)生依據(jù)信息畫幾何圖形也是空間觀念的重要表現(xiàn)形式之一。畫幾何圖形主要包括畫常見平面圖形以及彼此之間的關(guān)系圖、畫簡單圖形的位置、運(yùn)動(dòng)與變化情況等。根據(jù)相關(guān)信息畫圖是學(xué)生的思維與外部語言、操作技能協(xié)同作用的結(jié)果，是學(xué)生借助表象和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思考”的過程。雖然數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)沒有要求小學(xué)生畫立體圖形，但如果他們能根據(jù)題目中的信息畫出相應(yīng)的示意圖，就會對順利解決問題產(chǎn)生很大的促進(jìn)作用。

如教學(xué)“長方體和正方體”時(shí)，學(xué)生常常會遇到這樣的一道習(xí)題：如果把一個(gè)長方體的高增加2 厘米，它就會變成一個(gè)正方體，并且正方體的表面積會比原來增加56 平方厘米。你能求出這個(gè)長方體的體積嗎？如果憑空想象，學(xué)生解決問題就會比較困難。如果學(xué)生能根據(jù)習(xí)題所描述的數(shù)學(xué)信息正確畫出示意圖，就能化難為簡，就能迅速、正確地解決問題。學(xué)生可以先畫一個(gè)長方體，然后把高增加2 厘米，變成正方體（如圖2）進(jìn)行觀察（也可以先畫出一個(gè)正方體，然后把高減少2 厘米，得到原來的長方體）。學(xué)生從圖中不難發(fā)現(xiàn)，長方體變成正方體，高增加2 厘米，表面積增加部分就是虛線表示的前、后、左、右4 個(gè)小長方形面積，56 平方厘米就是4 個(gè)相同小長方形的面積之和，從而求出小長方形的長（即正方體的棱長）是56÷4÷2=7 厘米，長方體的體積是7×7×（7－2）=245 立方厘米。

圖2

畫圖表示數(shù)學(xué)信息不但能幫助學(xué)生正確理解題意，而且能幫助學(xué)生整體把握問題、迅速發(fā)現(xiàn)問題解決的思路。［4］教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試畫圖，使學(xué)生在掌握長方體表面積、體積和長方形面積知識的基礎(chǔ)上，正確理解表面積增加的含義，為順利解決問題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生通過畫圖把表面積增加的表象視覺化，使幾何事實(shí)得到真實(shí)再現(xiàn)。學(xué)生的空間觀念就會在實(shí)物幾何化中逐漸得到發(fā)展。

總之，想象能幫助學(xué)生建立物體表象，描述是對數(shù)學(xué)信息的客觀敘述，畫圖是對數(shù)學(xué)信息的直觀展示。想象、描述和畫圖是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的漸進(jìn)途徑。明確這些途徑，教師培養(yǎng)和發(fā)展小學(xué)生的空間觀念就會事半功倍。