立足數(shù)學(xué)思想 涵育模型素養(yǎng)

（福州市長樂區(qū)洞江小學(xué)，福建 福州 350200）

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心與精髓。學(xué)生面對繁雜問題，無法靈活地調(diào)用已有的知識和生活經(jīng)驗(yàn)解決抽象的實(shí)際問題，究其原因是教師對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透及培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用模型思想的能力等方面的思想意識不夠到位。而數(shù)學(xué)思想中三個基本思想之一——模型思想，在提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)方面起到舉足輕重的作用。它是解決問題的核心，具有很高的應(yīng)用價值。因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)立足于數(shù)學(xué)思想方法，創(chuàng)設(shè)問題與情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，體驗(yàn)抽象的模型思維，幫助學(xué)生從不同的角度思考和解決問題，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、問題與情境：感知數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)

熟悉的生活情境是數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的基本保障。教師可以將學(xué)生熟悉的生活素材引入課堂，通過創(chuàng)設(shè)問題與情境，從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，從而初步感知模型思想。［1］例如，《求比一個數(shù)多（少）幾？》的減法模型構(gòu)建，可以先出示以下幾個問題：

（1）小東有35 枚郵票，小西有20 枚郵票，小東比小西多多少枚郵票？

（2）小勇?lián)炝?3 個貝殼，小英撿了31 個貝殼，小勇比小英少撿了幾個貝殼？

（3）哥哥和弟弟的體重分別是54 千克和38 千克，他們相差多少千克？

師：為什么這3 道題都用減法計(jì)算呢？

生：他們都是求“多多少”或“少多少”，所以用減法。

教師順勢引出大數(shù)、小數(shù)和相差數(shù)的概念，并出示“大數(shù)－小數(shù)=相差數(shù)”這一數(shù)量關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建“求比一個數(shù)多（少）幾？”的減法數(shù)學(xué)模型。通過擺一擺、畫一畫、圈一圈等直觀操作，引導(dǎo)學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)基本模型，為今后繼續(xù)學(xué)習(xí)探究加減法的變式模型、乘除法模型、路程模型、植樹模型、工程模型等數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。［2］

二、經(jīng)歷與體驗(yàn)：抽象數(shù)學(xué)模型思維

將生活中的實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型后再加以解釋與運(yùn)用，是有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。在教學(xué)中，教師要避免學(xué)生養(yǎng)成在解決問題時只會套用模型的習(xí)慣。只有真正內(nèi)化的數(shù)學(xué)模型，才能促進(jìn)學(xué)生思維的提升。因此，教師要結(jié)合具體情境，通過描述性語言、圖形語言及符號語言相結(jié)合的方式，解釋自己對所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的理解。［2］例如，四年級下冊構(gòu)建“乘法分配律”的數(shù)學(xué)模型，教師出示：“小西家的客廳長10m，寬5m，餐廳的長5m，寬3m。若以邊長為1m鋪地磚，一共要鋪多少塊？”學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：可以先分別求出客廳和餐廳各需要的塊數(shù)，再相加，得出算式：10×5+3×5=65（塊）。也可以將兩個房間合并成一個房間（變成一個大長方形），先算沿大長方形的長鋪，要10+3=13（塊），再算一共要鋪5 行（沿大長方形的寬鋪）所需要的塊數(shù)，得出算式：（10+3）×5=65（塊）。學(xué)生經(jīng)歷了兩次數(shù)量關(guān)系的分析過程，觀察發(fā)現(xiàn)客廳鋪了10 個5 塊，加上餐廳鋪了3 個5 塊，實(shí)際上鋪了13個5 塊。因此，可以建立等式：10×5+3×5=（10+3）×5。學(xué)生結(jié)合具體的生活情境，在多變的問題中抓住不變的知識本質(zhì)，初步感知并構(gòu)建乘法分配律的基本數(shù)學(xué)模型：a×c+b×c=(a+b)×c。

乘法分配律與其他運(yùn)算律相比，結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，意義更為隱蔽、抽象。在教學(xué)中，教師可以結(jié)合具體情境，通過描述性語言，幫助學(xué)生理解乘法分配律的現(xiàn)實(shí)意義；通過圖形語言和符號語言相結(jié)合的方式，幫助學(xué)生抽象出乘法分配律的直觀模型。［1］由乘法分配律基本模型，可以推導(dǎo)出乘法分配律的變式模型，如：a×b+c×b=(a+c)×b、b×a+b×c=b×(a+c)、c×a+c×b=c×(a+b)等。只有真正理解掌握了乘法分配律的本質(zhì)特征，才能在較復(fù)雜的問題情境中辨析關(guān)系，把握關(guān)鍵，解決問題。在小學(xué)階段，乘法分配律運(yùn)算模型的應(yīng)用非常廣泛，例如：

某服裝商城出售一款套裝，每件上衣325 元，__，買16 套這樣的套裝需要多少元？列式為（325+175）×16，那么橫線上的信息應(yīng)該是（ ）。

A.褲子的價格比上衣貴175 元

B.每條褲子175 元

C.每雙鞋子175 元

此題的設(shè)計(jì)意圖在于檢測學(xué)生在具體情境中，對乘法分配律模型本質(zhì)特征的認(rèn)識。假設(shè)選項(xiàng)A 是正確的，那么結(jié)果則表示褲子的總價，而選項(xiàng)C 則與本題無關(guān)，因此正確答案應(yīng)該是B。其中，325 和175 分別表示上衣和褲子的單價，算式325+175 表示一套這樣的套裝的價格，算式（325+175）×16 表示16 套這樣的套裝的總價。在教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)基本數(shù)學(xué)模型的變式情境，激勵學(xué)生主動思考，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的思維習(xí)慣，逐漸增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的意識，不斷積累豐富的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，有效提升分析、比較、歸納、概括、抽象、推理等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、形象與抽象：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型方法

課堂教學(xué)借助數(shù)形結(jié)合，將形象思維和抽象思維巧妙結(jié)合，化復(fù)雜為簡單，化抽象為具體，分散思維難度，利用形的直觀去尋找數(shù)與數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，利用數(shù)的抽象去探索圖形與圖形之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)形象與抽象的統(tǒng)一，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，教師出示：“6 個點(diǎn)一共可以連多少條線段？8 個點(diǎn)呢？”隨著問題的拋出，學(xué)生一開始無法構(gòu)建相應(yīng)的圖形及其數(shù)量關(guān)系。教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化繁為簡的思想方法尋找解題思路：可以從一個點(diǎn)、兩個點(diǎn)、三個點(diǎn)等開始，嘗試著邊畫邊尋找規(guī)律。（見圖1）

圖1

學(xué)生通過畫圖、質(zhì)疑、分析列表中的數(shù)據(jù)特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)：兩個點(diǎn)可以連1 條線段，從第3 個點(diǎn)開始，增加第3個點(diǎn)時就增加2 條線段，增加第4 個點(diǎn)時就增加3 條線段……同理可得，6 個點(diǎn)就增加5 條線段，8 個點(diǎn)就增加7 條線段。

師追問：剛才我們通過畫圖發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，那么10 個點(diǎn)，20 個點(diǎn)，n 個點(diǎn)能連多少條線段呢？還需要通過畫圖來解決嗎？

生1：從圖表中發(fā)現(xiàn)，3 個點(diǎn)中任何一個點(diǎn)和另外兩個點(diǎn)都能連2 條線段，那么3 個點(diǎn)就可能連6 條線段，因?yàn)槊織l線段都重復(fù)連了一次，因此6 要除以2，得出能夠連3 條線段；以此類推，10 個點(diǎn)就可以和另外9 個點(diǎn)連成90 條線段，由于都重復(fù)連了一次，所以90 除以2 等于45 條；20 個點(diǎn)和另外19 個點(diǎn)連成380條，因?yàn)槎贾貜?fù)連了一次，所以380 除以2 等于190 條。n 個點(diǎn)就可以連成n 乘n 減1 的差的積再除以2。

生2：每增加一個點(diǎn)，這個點(diǎn)就可以與原有的點(diǎn)連成線段，新增線段的條數(shù)與原來點(diǎn)的個數(shù)相等。通過分析推理得出n 個點(diǎn)所連成線段的條數(shù)：1+2+3+4+……+（n-1)。通過化簡得出：n（n-1)÷2。

教學(xué)案例中，學(xué)生在畫圖尋找規(guī)律過程中，體驗(yàn)到直觀圖形便于觀察其中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系。通過列表中的數(shù)據(jù),抽象出其中的規(guī)律，從而得出“同一平面內(nèi)若干個點(diǎn)能連成多少條線段”的答案。同樣的問題，從不同的角度思考，有不同的解題方法，從而實(shí)現(xiàn)深度思考。學(xué)生經(jīng)歷了由形象到抽象的自我建模過程，在觀察、比較、分析、抽象、概括、推理等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)模型無處不在，每一個實(shí)際問題都能夠找到跟其相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。教師要善于創(chuàng)設(shè)情境，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，以問題引領(lǐng)促思考，借助直觀促想象，化形象為抽象，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型思想是解決問題的關(guān)鍵，增強(qiáng)建模意識，總結(jié)建模經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。