動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)

賀春平

此類問題是涵蓋了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合性問題（一般情況有行程問題（路程=速度×?xí)r間）、函數(shù)問題、解直角三角形問題、面積等），對于初中學(xué)生而言，函數(shù)問題就很難了，有穿插了那么多的知識(shí)點(diǎn)，因此，學(xué)生只要見到“動(dòng)點(diǎn)”二字就產(chǎn)生恐懼，首先從心里上就敗下了陣，還怎么談解決問題呢？在此，針對此類問題談一談自己的一點(diǎn)見解：認(rèn)真審題梳理清楚所涵蓋知識(shí)點(diǎn)、判斷轉(zhuǎn)折點(diǎn)、“動(dòng)態(tài)”問題“靜態(tài)”思考、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、列出分段函數(shù)解析式。我們通過下面的例題來作具體講解、分析：

例1：（2018山東濰坊）如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，，? 動(dòng)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)沿折線BCD運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)停止，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記△BPQ的面積為S平方厘米，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（??? ）

解析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P速度是1厘米/秒，動(dòng)點(diǎn)Q速度是2厘米/秒，所以點(diǎn)Q速度是點(diǎn)P速度的2倍;又因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長是4厘米，如圖1所示：所以可以得出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C位置，比較可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)），BP和△BPQ的高都在變化;當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)），此時(shí)BP變化，而△BPQ的高不在變化，就等于菱形ABCD的高，由此可以判斷當(dāng)點(diǎn)P與AB中點(diǎn)O重合（點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合）時(shí)為△BPQ面積的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。轉(zhuǎn)折點(diǎn)判斷出來后，我們沒有必要考慮P、Q所在運(yùn)動(dòng)線段的具體位置，我們大概的取一個(gè)點(diǎn)（即轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)思考），然后構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題即可。

如圖2：在CD上任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P速度是1厘米/秒，動(dòng)點(diǎn)Q速度是2厘米/秒，所以P、Q在t（0

如圖3：在BC上取點(diǎn)C為點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P速度是1厘米/秒，動(dòng)點(diǎn)Q速度是2厘米/秒，所以P、Q在t（2

，由此我們可以判斷這是一個(gè)分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)

知識(shí)，其圖象是D答案。

變式：求BP與動(dòng)點(diǎn)Q移動(dòng)的軌跡所構(gòu)成的封閉幾何圖形面積y與t之間的圖象。

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所圍成的封閉幾何圖形是△BPQ，時(shí)間 t的范圍

是0

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到了CD上，此時(shí)所圍成的封閉幾何圖形為梯形CQPB（過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N，則CN是梯形的高）;所以由BP和折線BCQ構(gòu)成的封閉幾何圖形面積為

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，那么點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，此時(shí)BP=0.

Y與t的函數(shù)圖象如右圖所示：