各向異性三維非對稱雙錐五模超材料的能帶結構及品質因數*

蔡成欣 陳韶賡 王學梅 梁俊燕 王兆宏

1) (河南工業大學糧食信息處理與控制教育部重點實驗室,鄭州 450001)

2) (河南工業大學河南省糧食光電探測與控制重點實驗室,鄭州 450001)

3) (河南工業大學信息科學與工程學院，鄭州 450001)

4) (西安交通大學電子科學與工程學院,物理電子與器件教育部重點實驗室,西安 710049)

五模超材料是一類可以解除剪切模量的人工固體微結構,具有類似流體的性質,在聲波調控中有著潛在的應用.聲學變換作為聲波調控的一種重要手段,在超材料聲學器件的設計中被廣泛使用.聲學變換的引入會壓縮均勻各項同性五模超材料.因此,需要研究各向異性對三維非對稱雙錐五模超材料帶隙及品質因數的影響.本文利用有限元方法,對各項異性三維非對稱雙錐五模超材料的能帶結構及品質因數進行了研究.研究結果表明,三維非對稱雙錐五模超材料單模區域的相對帶寬隨著各向異性的增大而減小,第一帶隙的相對帶寬增大到123%,品質因數增大到6.9倍.本研究可為聲學變換在三維非對稱雙錐五模超材料中的應用提供指導.

1 引 言

五模超材料是Milton與Cherkaey[1]提出的一類具有固體形態和“流體”特性的人工微結構極值材料.通過解除壓縮波和剪切波的耦合,使其周期性結構很難被壓縮,但卻很容易發生剪切形變[2].由這樣的結構單元周期排列構成的聲學超材料,可以實現類似“流體”的性質.五模超材料可調的模量各向異性、較小的填充率、寬頻等特點賦予五模超材料優越的水下聲波調控能力[3,4].

2006 年,Milton等[5]通過對傳統彈性動力學方程在曲線變換下的變化規律,提出了五模超材料用于彈性波隱身的可行性.2008 年,Norris[6]系統分析了慣性聲隱身與五模超材料聲隱身衣,提出了變換聲學理論在五模超材料中應用的可行性.2010 年,Scandrett等[7,8]和 Boisvert等[9]利用分層化的五模超材料提出了聲隱身衣的設計方法.理想的五模超材料是由窄直徑很小的雙錐單元連接構成的面心立方結構,結構穩定性較差.為了能夠得到穩定性相對較好的三維五模超材料,Kadic等[2]和Schittny等[10]加入實心小球來替代點連接,并利用侵入式激光直寫光刻技術與3D打印技術制作出了微米及毫米量級的三維實物結構.此后,研究人員開始對五模超材料的聲學與力學特性進行研究[11?15],設計出聲學超表面[16]、聲學波導[17]與聲學隱身衣[18,19]等多種二維五模超材料聲波調控器件.

基于變換聲學理論,五模超材料聲學隱身衣能夠避免慣性聲學隱身衣殼層內部質量奇異點的問題,這為五模聲學隱身衣的設計和制作提供了基礎[6].由于在二維情況下,聲波方程可以與麥克斯韋方程組一一對應,因此對五模超材料的研究多集中在二維結構器件的設計與實驗.2015年,張向東等[20]采用分層近似的方法,對圓柱形分層五模超材料聲學隱身衣的散射聲壓場進行了理論分析,并通過數值計算驗證了理論推導的正確性.2016年,陸智淼等[21]對基于五模超材料的聲學變換方程進行了研究,分析了影響五模超材料聲學隱身衣性能的因素及規律,結果表明合適的坐標變換方程能夠有效地改善隱身效果.同年,陳毅等基于準對稱映射梯度算法獲得了任意形狀的二維五模聲學隱身衣.此外,Chen等[19]還提出基于五模超材料的隱身地斗篷.

由于三維五模超材料結構的復雜性,目前對三維五模超材料的研究還比較缺乏.Chen和Chan[22,23]利用直流電導方程在坐標變換下的不變性,將聲波方程和直流電導方程建立了一一對應的關系,首次導出一般的三維變換聲學方程,給出了聲學坐標變換前后三維空間等效參數需要滿足的對應關系,為三維五模超材料聲學隱身衣的設計提供了可行的研究方法和理論基礎.在設計三維五模超材料隱身衣時,除了需要對外部聲波進行調控之外,還需要考慮對隱身衣內部聲波的抑制[13].聲學坐標變換下,五模超材料的周期性結構會被不同程度地壓縮,引起雙錐單元的結構參數發生變化,并對其能帶結構、品質因數和填充率產生作用,進而影響五模超材料對其內部聲波的控制[24,25].因此,本文基于有限元方法研究各向異性對三維非對稱雙錐五模超材料能帶特性及品質因數的影響,為變換聲學在三維五模超材料聲學器件的設計及應用提供參考.

2 三維非對稱雙錐五模超材料的各向異性及能帶結構

2.1 三維各向異性結構模型

三維各向同性非對稱雙錐五模超材料晶胞結構如圖1(a)所示,由十六個非對稱雙錐相交構成面心立方晶格.非對稱雙錐的寬直徑為D,窄直徑分別為d1和d2,高度為H,晶格常數為a.構造三維各向異性五模超材料有很多方式,其中最直接的方法就是: 選取一個原胞的窄直徑交點P為參考點,分別沿四個不同方向移動交點P來構造三維各向異性五模超材料,對應的各向異性晶胞結構如圖1(b)—圖1(e)所示,分別命名為模型1(X軸)、模型2(Y軸)、模型3(Z軸)、模型4(體對角線).當點P(0.25a,0.25a,0.25a)如圖1(a)所示時,三維五模超材料為各向同性的,其各向異性程度最低;當P點移動時,距離點 (0.25a,0.25a,0.25a)的位置越遠,其各向異性程度就越高.

圖1 (a)各向同性五模超材料晶胞與(b)?(e)各向異性五模超材料晶胞結構示意圖Fig.1.The unit cell structure of isotropy (a) and (b)?(e) anisotropic pentamode materials.

2.2 能帶結構及品質因數

各向異性的引入會對組成三維非對稱雙錐五模超材料原胞的基元結構參數H產生影響,使得原胞內原本相同的四個基元變得不同,從而影響原胞內部的本征振動形態.因此,各向異性會影響三維非對稱雙錐五模超材料的帶隙特性、單模區域、壓縮模量及剪切模量.為了系統地研究各向異性對三維非對稱雙錐五模超材料的能帶結構及五模特性的影響,利用有限元仿真軟件Comsol Multiphysics,在布洛赫邊界條件下對各向異性原胞進行數值計算.原胞結構參數為a=37.3 mm,H=16.15 mm,D=3 mm,d1=0.6 mm,d2=0.3 mm.組成材料的質量密度為1190 kg/m3、泊松比為0.4、楊氏模量 3 GPa.

圖2為P點沿空間對角線方向偏移0.25倍對角線長度時所對應的能帶結構圖,其中橫縱坐標分別對應整個簡約布里淵區邊界與頻率.第一帶隙(黑色區域)的下邊界(fl)與上邊界(fu)頻率分別為 9.017 與 10.466 kHz,對應的相對帶寬為0.149,頻率落在帶隙范圍內的壓縮波和剪切波的傳播均被抑制.單模區域(灰色區域)的下邊界與上邊界頻率分別為 0.457與2.333 kHz,相對帶寬為1.345.在單模區域頻率范圍內,壓縮波與剪切波將被解耦合,即只有壓縮波可以傳播,剪切波將被抑制.

圖2 P點沿空間對角線方向偏移0.25倍對角線長度時的能帶結構Fig.2.The band structure of pentamode material with

理想的三維五模超材料是難壓縮、易形變的固體人工微結構,其體積彈性模量B與剪切模量G具有較大比值.為了描述單模區域對應壓縮波與剪切波的解耦合能力,將體積彈性模量B與剪切模量G的比值定義為品質因數(figure of merit).品質因數越大,五模超材料解除壓縮波與剪切波耦合的能力就越好.對于各向異性三維非對稱雙錐五模超材料,彈性模量B與剪切模量G的值可由以下式子得到[26]:

3 數值仿真結果及討論

基于有限元方法,對于四種類型的三維各向異性非對稱雙錐五模超材料的原胞進行能帶結構數值計算,并對其第一帶隙、單模區域、品質因數的變化規律進行了系統研究,結果如圖3—圖7所示.

對于模型1,當P點沿X軸方向移動時,其第一帶隙與單模區域隨移動距離的變化如圖3所示.當OxP/a=0.25 時,五模超材料的原胞為各向同性的三維結構,這時P點的各向異性程度最小;當OxP/a=0.05 或 0.45時,各向異性程度最大.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率從 8.845 kHz 上升到 11.753 kHz,對應的上界頻率從 9.538 kHz 上升到 14.846 kHz,其相對帶寬從0.148增加到 0.233,大約增加了 57.4%.單模區域的下界頻率在0.457與0.601 kHz之間變化,對應的上界頻率在1.938與2.333 kHz之間變化,其相對帶寬從1.344減小到1.053,大約減小了21.6%.

對于模型2,當P點沿Y軸方向移動時,各向異性五模超材料的第一帶隙與單模區域隨移動距離的變化如圖4所示.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率在8.017—11.27 kHz之間變化,對應的上界頻率在 8.421—14.852 kHz之間變化,其相對帶寬從0.147增加到0.328,大約增加了123%.單模區域的下界頻率從0.457 kHz上升到 0.632 kHz,對應的上界頻率從 2.333 kHz 減小到1.448 kHz,其相對帶寬從1.344減小到0.881,大約減小了34.4%.單模區域相對帶寬在各向異性程度最大處明顯下降的主要原因是由于第一帶隙相對帶寬增大,單模區域的頻率范圍受到壓縮.

圖3 模型 1 的第一帶隙與單模區域的 (a)上下界頻率;(b) 相對帶寬Fig.3.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 1.

圖4 模型 2 的第一帶隙與單模區域的 (a)上下界頻率;(b) 相對帶寬Fig.4.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 2.

圖5 模型 3 的第一帶隙與單模區域的 (a)上下界頻率;(b)相對帶寬Fig.5.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 3.

圖6 模型 4 的第一帶隙與單模區域的 (a)上下界頻率;(b) 相對帶寬Fig.6.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 4.

圖7 各向異性對非對稱雙錐五模超材料品質因數的影響Fig.7.The influence of anisotropy on the figure of merit of asymmetric double-cone pentamode materials.

對于模型3,當P點沿Z軸方向移動時,各向異性五模超材料的第一帶隙與單模區域隨移動距離的變化如圖5所示.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率從8.839 kHz上升到11.764 kHz,對應的上界頻率從9.527 kHz上升到14.847 kHz,其相對帶寬從0.148增加到0.236,大約增加了59.4%.單模區域的下界頻率在0.438—0.562 kHz之間變化,對應的上界頻率在 1.941—2.333 kHz之間變化,其相對帶寬從1.344減小到1.101,大約減小了18.1%.

對于模型4,當P點沿對角線方向移動時,各向異性五模超材料的第一帶隙與單模區域隨移動距離的變化如圖6所示.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率在 4.701—10.034 kHz之間變化,對應的上界頻率在 4.992—17.794 kHz之間變化,其相對帶寬從0.147增加到0.256,約增加了74.1%.單模區域的下界頻率在 0.322—0.923 kHz之間變化,對應的上界頻率在 1.217—2.333 kHz之間變化,其相對帶寬從1.344減小到0.449,大約減小了 66.6%.在處,第一帶隙的拓寬對單模區域的上界產生了較強的影響,使單模區域的上界頻率下降,同時其下界頻率上升,從而單模區域相對帶寬在此處下降比較明顯.

“流體”特性是非對稱雙錐五模超材料的主要特性之一,而品質因數是衡量這種性質的重要參數.各向異性對五模超材料品質因數的影響如圖7所示,由于三維非對稱雙錐五模超材料的各向異性變化是沿著四個不同的方向,因此對原胞內四個雙錐基元高度的影響是不同的,即不同方向上的各向異性對三維非對稱雙錐五模超材料能帶結構的影響也不相同.當P點沿X軸與Y軸方向變化時,其品質因數最大值約為251;當P點沿Z軸變化時,其品質因數最大值約為1730;當P點沿對角線方向變化時,其品質因數最大值約為327.相對于各向同性三維非對稱雙錐五模超材料,各向異性三維非對稱雙錐五模超材料的品質因數可以增加近6.9倍.

4 結 論

通過調節基元窄直徑連接點P的位置,構建了四種各向異性三維非對稱雙錐五模超材料模型.由于不同方向上的各向異性變化對非對稱雙錐結構基元參數的影響不盡相同,其能帶結構與品質因數也會受到不同程度的影響,本文給出了各向異性程度與三維非對稱雙錐五模超材料帶隙特性、單模區域與品質因數的關系.與各向同性三維非對稱雙錐五模超材料相比,各向異性三維非對稱雙錐五模超材料第一帶隙的相對帶寬可被有效地拓寬,品質因數可增大6.9倍.研究結果可為基于三維非對稱雙錐五模超材料的聲學器件設計提供參考.由于各向異性的引入,使得三維非對稱雙錐五模超材料的結構更為復雜,樣件加工的需求進一步提高,整體穩定性也有所降低,因此對具有較高穩定性且易加工的新型三維五模超材料原胞結構還需進一步研究探索.