基于馬爾科夫鏈的棉花價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)

孫磊 袁欣晨

摘要：本文根據(jù)棉花價(jià)格波動(dòng)趨勢(shì)分析歷史數(shù)據(jù)，并利用馬爾科夫鏈建立數(shù)學(xué)模型，來(lái)預(yù)測(cè)2020年棉花的月度和日度價(jià)格區(qū)間。結(jié)果表明：在正常情況下，用馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的棉花價(jià)格區(qū)間基本符合實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)變動(dòng)，且波動(dòng)較小的短期棉花價(jià)格指數(shù)變化更適合運(yùn)用馬爾科夫鏈來(lái)預(yù)測(cè)。

關(guān)鍵詞：棉花價(jià)格;馬爾科夫鏈;預(yù)測(cè)

一、棉花價(jià)格預(yù)測(cè)的意義

紡織業(yè)為我國(guó)的國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了強(qiáng)大的動(dòng)力，棉花作為重要的紡織原料，成為制約行業(yè)發(fā)展的關(guān)鍵因素，其采購(gòu)成本占用大量資金，棉花價(jià)格的波動(dòng)也影響棉紡織產(chǎn)品的價(jià)格和利潤(rùn)空間。棉紡織企業(yè)很關(guān)注棉花價(jià)格，如果能有效預(yù)測(cè)出棉花的價(jià)格區(qū)間，可以助力有關(guān)紡織企業(yè)作出科學(xué)的市場(chǎng)判斷和決策，為企業(yè)生產(chǎn)作科學(xué)指導(dǎo)。因此，針對(duì)國(guó)內(nèi)棉花價(jià)格預(yù)測(cè)的重要性也不言而喻，既可以控制產(chǎn)能，又可以進(jìn)行成本管控，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

二、馬爾科夫鏈模型的理論基礎(chǔ)

1.馬爾科夫鏈的定義

俄國(guó)數(shù)學(xué)家Markov最早提出馬爾科夫性的概念[1]，他提出在設(shè)定一定的條件下，系統(tǒng)或者隨機(jī)過(guò)程依賴于現(xiàn)有的狀態(tài)，未來(lái)狀態(tài)的發(fā)展趨勢(shì)只跟現(xiàn)有的狀態(tài)有關(guān)，與之前的情況無(wú)關(guān)聯(lián)，這樣的特性被稱(chēng)為馬爾科夫性。隨機(jī)過(guò)程中具有這樣的性質(zhì)被稱(chēng)為馬爾科夫過(guò)程，此過(guò)程具有3個(gè)典型的特點(diǎn)，分別是離散性、隨機(jī)性和無(wú)后效性，利用概率對(duì)隨機(jī)過(guò)程中時(shí)間預(yù)測(cè)的這種方法貫穿于馬爾科夫鏈研究過(guò)程。

2.馬爾科夫鏈的過(guò)程

馬爾科夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)隨機(jī)過(guò)程，設(shè)定一組{Xn，n=0，1，2，…}，這就是一組隨機(jī)變量，Xn是能夠任意取的一個(gè)數(shù)值，這被稱(chēng)為狀態(tài)。在這樣的條件下，這組隨機(jī)變量{Xn，n=0，l，2，…}的狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種狀態(tài)，變化的原因與之前的狀態(tài)無(wú)關(guān)，只與現(xiàn)在的狀態(tài)相關(guān)聯(lián)，每一個(gè)數(shù)值的變化只與前一個(gè)數(shù)值有關(guān)，這樣的一個(gè)變化過(guò)程被稱(chēng)為馬爾科夫過(guò)程[2]。馬爾科夫鏈中有一個(gè)隨機(jī)概率矩陣P，一組概率向量：X0，X1，X2，…與P相關(guān)聯(lián)，得出X1=PX0，X2=PX1，X3=PX2，…因此可以用一階差分方程來(lái)表示馬爾科夫鏈：

3.齊次馬爾科夫鏈、轉(zhuǎn)移概率

馬爾科夫鏈在時(shí)間和狀態(tài)上都是離散的性質(zhì)[3]。齊次馬爾科夫鏈過(guò)程簡(jiǎn)單概述為：設(shè)定一個(gè)馬爾科夫鏈在u這個(gè)時(shí)間點(diǎn)上所處的狀態(tài)為i，變化到u+t這個(gè)時(shí)間點(diǎn)處于的狀態(tài)i所關(guān)聯(lián)的轉(zhuǎn)移矩陣，與一開(kāi)始的時(shí)間點(diǎn)u沒(méi)有關(guān)聯(lián)。

設(shè)所處的狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j這一步的轉(zhuǎn)移矩陣稱(chēng)為Pij，則Pij=P{Xn+1=j|Xn=i}，i，j=0，1，2，…，依據(jù)線性代數(shù)理論，其轉(zhuǎn)移概率矩陣P：

4.馬氏性檢驗(yàn)

在正常狀態(tài)下，預(yù)測(cè)事物變化發(fā)展的狀態(tài)，要依靠現(xiàn)有的狀態(tài)和過(guò)去的狀態(tài)，來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的一個(gè)發(fā)展方向。大多數(shù)預(yù)測(cè)的方法多是依據(jù)這兩種狀態(tài)，比如區(qū)間估計(jì)、時(shí)間序列、方差分析等這些預(yù)測(cè)方法，都是需要掌握一定時(shí)間段內(nèi)的現(xiàn)在和過(guò)去的狀態(tài)，收集這兩種狀態(tài)所發(fā)生的數(shù)據(jù)資料，以此為基礎(chǔ)利用數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)作預(yù)測(cè)。但是馬爾科夫預(yù)測(cè)法只需要掌握現(xiàn)有的情況，不需要掌握過(guò)去的情況，就可以預(yù)測(cè)未來(lái)的情況，這種無(wú)后效性的特征被稱(chēng)為馬爾科夫性。馬爾科夫性這一典型特征能夠彌補(bǔ)其他預(yù)測(cè)方法的缺陷，一些無(wú)法解決的問(wèn)題得以解決，在運(yùn)用和理論上都具有其優(yōu)勢(shì)。

運(yùn)用馬爾科夫鏈模型分析預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題，首要的就是檢驗(yàn)隨機(jī)變量是否具有“馬氏性”。當(dāng)前大部分研究工作者在運(yùn)用此模型解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，可能忽略了要驗(yàn)證是否具有“馬氏性”，對(duì)于分析問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性來(lái)說(shuō)，這是不客觀的，得出的結(jié)論也是不科學(xué)的。

5.馬爾科夫鏈模型進(jìn)行價(jià)格預(yù)測(cè)基本步驟

預(yù)測(cè)過(guò)程如下：

（1）基于有序聚類(lèi)法，可以將歷史變量分隔成n 個(gè)狀態(tài)空間，可用數(shù)字表示;

（2）記錄狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣Fij和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Pij;

（3）列出邊際概率，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量x2，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若顯著，則符合馬氏性;

（4）把初始狀態(tài)向量帶入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算得到預(yù)測(cè)狀態(tài)，即預(yù)測(cè)價(jià)格所在區(qū)間;

（5）預(yù)測(cè)價(jià)格區(qū)間和實(shí)際價(jià)格對(duì)比分析，計(jì)算相對(duì)、絕對(duì)誤差，預(yù)測(cè)效果說(shuō)明。

三、棉花價(jià)格預(yù)測(cè)

1.數(shù)據(jù)選取與采集

本文將對(duì)在中國(guó)棉花協(xié)會(huì)網(wǎng)上搜集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用馬爾科夫鏈建模預(yù)測(cè)2020年的棉花價(jià)格走勢(shì)。根據(jù)研究?jī)?nèi)容共分為2個(gè)時(shí)間序列。時(shí)間序列1用于國(guó)內(nèi)棉花價(jià)格波動(dòng)轉(zhuǎn)移概率計(jì)算，選取選取2017年～2019年的國(guó)內(nèi) CC Index 3128B棉花月度價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)率（單位：元/噸，下同），共 36 組數(shù)據(jù);時(shí)間序列2用于國(guó)內(nèi)棉花日度價(jià)格轉(zhuǎn)移概率計(jì)算，選取2019年 12 月～2020年1月中上旬的國(guó)內(nèi) CC Index 3128B（單位：元/噸，下同）棉花當(dāng)日價(jià)格指數(shù)，如表2所示共31組數(shù)據(jù)。

2.基于馬爾科夫鏈的棉花月度價(jià)格波動(dòng)狀態(tài)預(yù)測(cè)

（1）建立棉花月度價(jià)格波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

對(duì)棉花月度價(jià)格增長(zhǎng)率進(jìn)行有序聚類(lèi)法分析處理（見(jiàn)表3），可將32組數(shù)據(jù)分為[-10%，-1%）、[-1%，0%）、[0%，1%）、[1%，5%）4個(gè)狀態(tài)空間，用數(shù)字“1”“2”“3”“4”表示這4種狀態(tài)。

運(yùn)用馬爾科夫鏈來(lái)預(yù)測(cè)棉花價(jià)格波動(dòng)的前提是進(jìn)行馬氏檢驗(yàn)，檢驗(yàn)隨機(jī)變量序列是否符合馬爾科夫鏈的性質(zhì)，符合后才能運(yùn)用馬爾可夫鏈建立數(shù)學(xué)模型分析和解決實(shí)際問(wèn)題。按照公式得出棉花月度價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)率的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，令Pij為第i狀態(tài)轉(zhuǎn)移至1狀態(tài)的概率，求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

給定顯著性水平α=0.05，查表可得分位點(diǎn)x2α（（m-1）2）=x2α（9）=16.919。由于x2=20.5858>x2α（（m-1）2），故根據(jù)定理 2 知2017年～2019年月度棉花價(jià)格指數(shù)序列滿足馬氏性。

2020年1月增長(zhǎng)率初始狀態(tài)向量為（0，0，1，0），根據(jù)公式（3） ，帶入狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算得到2020年1～6月度棉花價(jià)格走勢(shì)預(yù)測(cè)結(jié)果，見(jiàn)表7。

表6 2020年1月～2月棉花價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)

與實(shí)際波動(dòng)對(duì)比結(jié)果

單位：元/噸

月份實(shí)際價(jià)格 預(yù)測(cè)狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)預(yù)測(cè)概率絕對(duì)誤差相對(duì)誤差

1 13827[0%，1%） 4.87% 45.45% 673 4.37%

2 13418[0%，1%） -2.96% 33.99% -409 3.46%

表7 2020年1月～8月度棉花價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果表

時(shí)間 預(yù)測(cè)狀態(tài)預(yù)測(cè)狀態(tài)

1 2 3 4

2020.1[0%，1%） 27.27% 18.18% 45.45% 9.09%

2020.2[0%，1%） 29.16% 23.42% 33.99% 13.43%

2020.3[0%，1%） 28.83% 25.19% 31.78% 14.21%

2020.4[0%，1%） 28.64% 25.62% 31.45% 14.29%

2020.5[0%，1%） 28.58% 25.71% 31.42% 14.29%

2020.6[0%，1%） 28.57% 25.71% 31.43% 14.29%

（2）棉花價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果分析

棉花價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果表明，2020年1月～8月棉花價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)率都以大概率落在[0%，1%）區(qū)間內(nèi)，棉花價(jià)格波動(dòng)長(zhǎng)期趨于穩(wěn)定，呈緩慢上升態(tài)勢(shì)，實(shí)際情況也表明棉花價(jià)格指數(shù)緩慢回升，棉花2020年2月價(jià)格13418元/噸較2019年12月價(jià)格13154元/噸，2個(gè)月總體上升2%，符合預(yù)測(cè)結(jié)果。由此表明，2020年棉花價(jià)格將緩慢地增長(zhǎng)，長(zhǎng)期看來(lái)會(huì)以每月[0%，1%）的速率上升，預(yù)測(cè)的結(jié)果有參考意義。

3.基于馬爾科夫鏈的棉花每日價(jià)格預(yù)測(cè)

（1）建立棉花日度價(jià)格狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

對(duì)棉花日度價(jià)格進(jìn)行有序聚類(lèi)法分析處理（見(jiàn)表8），可將31組數(shù)據(jù)分為[Min，13100）、[13100，13400）、[15000，16000）、[16000，Max）4個(gè)狀態(tài)空間，用數(shù)字“1”“2”“3”“4”表示這4種狀態(tài)。

給定顯著性水平α=0.05，查表可得分位點(diǎn)χx2α（（m-1）2）=x2α（9）=16.919。由于x2=65.7918>x2α（（m-1）2），故根據(jù)定理 2 知2017年～2019年月度棉花價(jià)格指數(shù)序列滿足馬氏性。

2020年1月15日棉花當(dāng)日價(jià)格為13949元，處于第四區(qū)間[16000，Maxprice），帶入初始狀態(tài)向量（0，0，0，1），根據(jù)公式（2-4） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Pij計(jì)算得到對(duì)未來(lái)8日棉花價(jià)格的走勢(shì)預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表11所示。

（2）棉花日度價(jià)格預(yù)測(cè)結(jié)果分析

結(jié)果表明（見(jiàn)表11），預(yù)測(cè)的棉花價(jià)格處于[13700，max）區(qū)間，與實(shí)際情況基本相符，預(yù)測(cè)值絕對(duì)誤差較小，相對(duì)誤差也均小于0.5%。說(shuō)明馬爾科夫鏈對(duì)于日度價(jià)格的預(yù)測(cè)基本準(zhǔn)確，從價(jià)格指數(shù)波動(dòng)范圍來(lái)分析，棉花月度價(jià)格指數(shù)波動(dòng)大，棉花日度價(jià)格指數(shù)波動(dòng)比較平穩(wěn)，結(jié)果表明波動(dòng)較小的短期棉花價(jià)格指數(shù)變化更適合運(yùn)用馬爾科夫鏈來(lái)預(yù)測(cè)。

四、結(jié)論

利用馬爾科夫鏈建模分析2020年棉花價(jià)格指數(shù)走勢(shì)情況，結(jié)果表明用馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)受歷史數(shù)據(jù)影響較大，波動(dòng)較小的短期棉花價(jià)格指數(shù)變化更適合運(yùn)用馬爾科夫鏈來(lái)預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)的價(jià)格在正常情況下是比較平穩(wěn)的，然而棉花這種期貨價(jià)格存在太多不確定因素，受人工成本、自然災(zāi)害、相關(guān)政策影響較大，也受?chē)?guó)際事件影響，例如：2019年6月，由于中美貿(mào)易戰(zhàn)，導(dǎo)致棉花價(jià)格大幅下降，2020年1月，受疫情影響大量生產(chǎn)口罩也使棉花價(jià)格有所回升。

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作者簡(jiǎn)介：1.孫磊，供職于南通市農(nóng)機(jī)化技術(shù)推廣中心，碩士。

2.袁欣晨，蘇州大學(xué)碩士研究生;研究方向：紡織材料與經(jīng)濟(jì)。