函數不等式類問題解題方法小結

李慧珍

[摘? 要] 不等式類問題是高考以及各模擬考試的考查熱點，它能夠綜合反映學生對于數學知識的理解深度、運用熟練度，以及對問題條件的轉化和聯想能力，建立在函數知識和方法上的不等式證明計算問題日益受到命題專家的青睞. 合理進行放縮以及構造函數是解決問題的重點，卻也是學生思維的難點. 文章總結了五種構造函數的方法并通過具體的例題加以說明.

[關鍵詞] 函數不等式類問題;整體代換;主元思想;放縮

不等式類問題是高考以及各模擬考試的考查熱點，它能夠綜合反映學生對于數學知識的理解深度、運用熟練度，以及對問題條件的轉化和聯想能力. 近年來建立在純不等式知識上的證明題或計算題已經逐漸減少，但這并不意味著不等式類問題熱度的降低，相反地，建立在函數知識和方法上的不等式證明計算問題（下稱函數不等式類問題）日益受到命題專家的青睞. 函數不等式類問題往往會以證明不等式的形式考查學生對于函數、導數以及不等式知識的掌握程度，以及對問題條件轉化和化歸的能力，學生需要熟練掌握解題技巧，靈活運用放縮、構造等手段簡化問題，由此才能更好地解決函數不等式類問題，合理進行放縮以及構造函數是解決問題的重點，卻也是學生思維的難點.本文中筆者總結了五種構造函數的方法并通過具體的例題加以說明，借此與各位讀者探討函數不等式類問題的題型和高效解決方法.

作差法直接構造函數

如果不等式兩邊是形式較為簡單或者性質熟悉的基礎表達式，我們可以通過移項作差直接構造函數，再通過研究新構造的函數的單調性和極值證明原不等式.

教學例題1：試證明：lnx≤x-1.

問題解答：令f（x）=lnx-x+1，則f ′（x）=-1=. 易知當x∈（0，1）時，f ′（x）>0，f（x）遞增;x>1時，f ′（x）<0，f（x）遞減.所以f（x）max=f（1）=0，即f（x）≤f（1）=0，lnx≤x-1，即證.

評注：本題是一道能體現作差法過程及思想的典型案例，作差法的優勢在于函數構造過程簡單，步驟清晰易懂，它適用于復雜度不高的不等式證明. 另外，本題的結論lnx≤x-1也是很多更復雜證明的基礎步驟之一，教師可以帶領學生進一步挖掘其幾何意義，即函數y=lnx在點（1，0）處的切線y=x-1恒在原圖像之上（切點處重合）.

等價轉化，間接構造函數

有些時候原題直接給出的不等式不容易證明，我們需要對其進行等價變形，再處理轉化后的不等式.

教學例題2：已知函數f（x）=lnx-x+1，試證明：1<

問題解答：當x∈（1，+∞）時，lnx>0，所以證明1<1），則g′（x）=lnx>0（x>1），所以g（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以g（x）min>g（1）=0 ，即xlnx-x+1>0（x>1），即證.

評注：原題給出的待證不等式1<1的條件下我們可以將其轉化為不帶分式的lnx

靈活轉化，消元法構造函數

上面兩種方法針對的例題具有一個特點，即不等式兩邊都是關于同一個變量的表達式，而某些問題中不等式兩邊的變量不統一，我們需要利用整體代換等方法先消元，再構造函數.

1. 整體代換，齊次式的消元構造

評注：當不等式兩邊的自變量不相同時，我們需要通過消元才能更好地構造函數，當表達式形式為齊次式時，我們常利用構造比值式，再整體代換的方法完成消元.

2. 非齊次式的消元構造情況

非齊次式的處理相較于齊次式更加復雜一些，總體的思路可以分為兩大步，即先消元再構造.

教學例題5：已知f（x）=a--lnx（a∈R）與橫軸有兩個不重合的交點，其橫坐標分別為x1，x2（x12.

問題解答：易知a=+lnx1=+lnx2，即=ln. 設=t（t>1），則x2=tx1，lnt=，則x1=，所以x1+x2=x1+tx1=（t+1），x1+x2-2=. 又t>1，則lnt>0，所以問題轉化為證明函數g（t）=-lnt>0（t>1），g′（t）=>0，所以可得g（t）>g（1）=0，即證.

確立主要變元

主元思想對于解決多變量不等式問題有時能夠起到化繁為簡的關鍵作用，所謂主元思想，即將一個變量視作研究對象而將其他變量先視作常數，以簡化問題的思想方法.

教學例題6：已知f（x）=lnx，試證明：f（b）-f（a）>（0

問題解答：即證明ln>（00），可得g′（x）=+=. 易知x>a時，g′（x）>0，即g（x）在（a，+∞）上單調遞增，則代入x=b可得g（b）>g（a），即ln->0，即證.

評注：本題的不等式涉及了兩個變量a，b，我們將b確立為了主要變元，而將a暫時視作常數，接下來我們只需要構造一個關于b的函數即可. 當然由于本題中a，b在表達式中的地位相近，所以我們也可以將a作為主元. 如果在句子中變量之間的地位差別較大，我們一般選擇形式涉及結構較為簡單的變量作為主元，例如若表達式為，顯然如果將b設為主元，求導研究函數的過程將會變得很復雜，于是變量a是更好的選擇.

放縮法轉化常見不等式構造函數

常用不等式有時也能成為幫助我們解決問題的有力工具，在解題過程中我們可以通過放縮等轉化方式，將復雜的陌生的不等式轉化為簡單的常見的不等式結論，例如教學例題1、2中涉及的不等式就可以應用于很多不等式證明計算中.

教學例題7：已知f（x）=ex-ax+a有兩不相等的零點x1，x2（x1

問題解答：要證明f ′（）<0，即證明e-a<0，又ex1-ax1+a=0，

ex2-ax2+a=0，相減可得a=，則問題轉化為證明不等式e<. 根據均值不等式可知e0），則g′（t）=2e2t-2tet-2et=2et（et-t-1），易知et>0. 再構造h（t）=et-t-1，則h′（t）=et-1>0（t>0），所以h（t）>h（0）=0，所以g（t）>g（0）=0，即證.