探討解析幾何問題，開展思路解法優化

楊永成

[摘? 要] 解析幾何作為高中數學的重點內容，常以壓軸題的形式進行考查，而往往一道優秀的考題背后蘊含著大量的信息，包括問題的分析思路和方法、多樣的優化視角，以及對思維的拓展作用. 文章以一道解析幾何綜合題為例，開展思路探究，解法優化，提出相應的學習建議.

[關鍵詞] 解析幾何;多解;最值;面積;多解;思考

走進考題

例題：已知橢圓C的解析式為+=1，與直線l的交點分別為P（x1，y1）和Q（x2，y2），連接OP和OQ，求得△OPQ的面積為，其中坐標原點為O，試回答下列問題.

（3）試分析在橢圓C上是否存在三點D，E和G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，請判斷△DEG的形狀;若不存在，請說明理由.

常規思路

本題目為解析幾何綜合題，主要研究直線與橢圓的位置關系，以及幾何圖形的面積，對學生綜合運用知識的能力有著較高的要求，下面簡要探究考題的常規思路.

1. 直接方程入手，常規分類討論

第（1）問求證x+x和y+y均為定值，代數式是由交點坐標構建的，因此可以聯立橢圓與直線的方程，結合△OPQ的面積來構建模型.考慮到直線l的斜率沒有設定，因此需要討論其斜率是否存在.

3. 借用（1）問結論，幾何定理討論

第（3）問分析橢圓上都否存在三點使得三角形滿足面積要求，同時判斷△DEG的形狀，可以采用“假設—驗證”的思路，假設存在這樣的三點，然后利用幾何定理做出判斷.

假設橢圓上存在三點D（x，y），E（x，y），G（x，y）滿足要求，結合（1）問的結論可解得x=x=x=，y=y=y=1，因此上述三點只可以在

，1

、

，-1

、

-，1

和

-，-1

中選取三個不同點，而這三點中兩兩連線必有一條經過原點，因此不可能有S△ODE=S△ODG=S△OEG=，故假設不成立，橢圓C上不存在這樣的三點D，E和G.

[?]另解優化

上述是關于以橢圓為核心的解析幾何問題的常規解析思路，也是學生較為熟悉的解析方法，相對而言構建思路清晰，但計算過程具有一定的難度，較為煩瑣. 下面將結合問題特點來變換解析思路，采用另類解法加以探究.

1. 問題（1）的另解探究

問題（1）求證代數式為定值，采用分類討論的方法對直線l斜率存在情形分別進行了分析，同時在化簡代數式時相對較為復雜，下面考慮采用三角形面積夾角公式，同時避開分類談論，具體過程如下.

結合相應的面積公式，可將△OPQ的面積表示為：S△OPQ=OP·OQ·sin∠POQ=··=·=·=，所以（x1y2-x2y1）2=6，即xy+xy=6+2xx·yy. 又知2x+3y=6，2x+3y=6，從而有（2x+3y）·（2x+3y）=36，所以（2x-6）（2x-6）=4xx，整理可得x+x=3，結合2（x+x）+3（y+y）=12可得y+y=2.

求證代數式的關鍵就是對三角形面積模型的處理，上述采用了線段夾角模型，從而避免了不必要的直線斜率存在性的討論. 另外構建三角形面積模型時還可以采用面積割補的方式，結合坐標系中的關鍵點來構建.上述對（x1y2-x2y1）2=6處理時采用了眾多的變形技巧，實則還可以通過三角換元的方式，這里不再贅述.

2. 問題（2）的另解探究

3. 關于問題解法的剖析

上述考題三小問分別求證代數式為定值、線段之積的最大值以及點存在性分析，是代數與幾何內容的綜合考查，上述簡要探究了問題的常規思路和另類解法，下面進一步剖析.

第（1）問是求證代數式為定值，構建基礎是直線與橢圓的交點，而核心則是三角形的面積模型. 兩種解法分別以直線斜率的存在性和三角形的線段夾角模型作為切入點開展問題探究，解法均具有各自的特點，前者思路清晰，分析條理，后者則規避了討論，可避免漏解.

第（2）問則呈現了三種解法，總體思路均是直接實現線段乘積的坐標化，在具體分析時根據具體情形進行了討論.包括把握其中的定值來簡化數式，聯立方程構建數式關系，均充分利用了數式簡化的方法技巧，解法具有普遍適用性，但在實際計算時需要結合條件及時化簡，同時考慮參數的取值范圍，確保結果可靠.

學習建議

解析幾何是高中數學的重難點，處理解析幾何問題中的直線與圓錐曲線的位置關系更是常考問題，掌握問題的通性通法和優化措施是十分重要的，考慮到問題的復雜性、解法的多樣性、過程的繁復性，下面提出幾點建議.

1. 關注題型，總結方法

解析幾何的問題類型一般具有鮮明的特點，同時解題思路的程序性很強. 分析近幾年的考題，可以發現綜合性問題主要集中在以下幾點內容：計算解析式、分析位置關系、求解弦長、研究最值、探索面積，以及論證存在性等.而對于每一類問題均具有一定的處理思路和解析策略，例如上述求證代數式為定值，通解方法就是聯立曲線方程，簡化數式求證;而研究最值則聯合相關點坐標來構建對應函數，結合函數或不等式性質求解. 因此在復習備考過程中需要對解析幾何的設問加以歸納總結，形成自我的解題思路.

2. 明確目標，逐層化簡

解析幾何問題的信息量一般較大，在解題時需要明確目標，結合條件來逐步化簡，可以采用“讀題譯句，思句化簡”的策略，即逐句讀題，思考其中的隱含信息，結合問題目標來逐層簡化. 因此讀題時需要根據題設條件來解讀圖像，整合數形信息，實現題目中的語言互化. 而一般的解析幾何問題主要研究圓錐曲線與直線的位置關系，因此可以采用如下步驟逐層剖析：

首先，聯合直線與圓錐曲線方程，通過消元來整合方程，分析判別式，根據韋達定理提取關系;

然后，利用曲線交點的坐標或坐標參數來表示問題所涉關系，并結合上述提取的關系式來對其綜合化簡;

最后，對轉化的問題進行純代數分析，如向量問題轉化為代數方程，幾何線段最值轉化為函數問題等，從而根據對應內容的性質來求解答案，并將答案還原到原問題中.