解析幾何簡化運算的技巧探究與思考

曾慶文

[摘? 要] 解析幾何問題的運算量較大，常給學生的解題造成困惑，因此解題時應盡可能地采用簡化運算的技巧，降低思維難度，提高解題效率. 文章深入探討定義法、設而不求、數(shù)形轉化、參數(shù)法簡化運算的思路，并開展相應的教學思考.

[關鍵詞] 解析幾何;簡化;含義;設而不求;數(shù)形轉化;參數(shù)法

高中數(shù)學常將曲線置于坐標系中，利用解析式來研究其性質，這也是解析幾何內容研究的重要方法. 其中的解析式可以為代數(shù)，也可以是函數(shù)、對數(shù)等，在研究曲線性質時具有一定的優(yōu)勢，但有時分析思路復雜、運算量過大，極大地影響解題效率，實則在解析問題時可以采用一定的簡化技巧，下面舉例探究.

關于簡化運算的技巧探究

解析幾何中簡化運算的技巧有很多，例如常見的定義法、設而不求、數(shù)形轉化、巧設參數(shù)等，實際運算時可以結合具體問題合理選用簡化技巧，在確保結果正確的前提下降低思維難度.

技巧一：回歸定義

定義是圓錐曲線的本質屬性，對于某些與曲線屬性相關的解析幾何問題可以考慮采用定義法來轉化問題，構建思路.實際解題可以結合曲線圖像，在曲線定義的基礎上開展性質、結論探究.

例1：已知橢圓C的解析式為+=1，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，直線l經過點F1且傾斜角為60°，與橢圓C的交點為A和B，如果FA=2FB，則橢圓C的離心率為__________.

分析：本題目為求橢圓離心率的填空題，常規(guī)解法是聯(lián)立橢圓與直線的方程，然后結合其中的等量條件進行轉化. 但按照該思路求解的運算量過大，此時可以考慮回歸橢圓定義，結合平面幾何知識簡化運算.

評析：本題巧妙地利用了橢圓的定義，結合其中的幾何性質構建了相應的等量關系，從而轉化出橢圓的離心率，有效地降低了計算量.定義法在求解周長、面積、最值等問題中均有著廣泛的應用，在實際學習時需要歸總橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的核心定義，

技巧二：設而不求

設而不求是簡化運算的常用技巧，尤其適用于解析幾何中曲線與直線的相交問題. 實際求解時設出交點坐標、聯(lián)立方程后，可以不求交點坐標，而利用整體思想，利用韋達定理進行整體化簡，從而達到簡化過程的效果.

例2：已知橢圓C的解析式為4x2+9y2=36，過點P（0，3）的直線l與橢圓相交于點A和B，若以線段AB為直徑的圓剛好經過坐標原點，則直線l的表達式為_______.

分析：求直線l的表達式需要對直線的斜率進行討論，斜率不存在時顯然不滿足條件. 若設直線表達式為y=kx+3后與橢圓方程聯(lián)立，所得的方程為復雜的一元二次方程，直接求交點坐標較為復雜，此時可以采用設而不求的方法，利用韋達定理關于“根與系數(shù)”的關系來構建數(shù)式，通過整體代換來求解斜率，需注意對方程的判別式進行分析.

解：設直線l的表達式為y=kx+3，與橢圓的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立橢圓與直線的方程，整理可得（9k2+4）x1+54kx+45=0，有兩個解，則Δ>0，即（5k2）-4×45（9k2+4）>0. 根據(jù)韋達定理可得x1+x2=-，x1·x2=. 分析可知OA⊥OB，則x1·x2+y1·y2=0，變形可得y1·y2=，所以有+=0，可解得k=±（均滿足條件），則直線l的表達式為y=±x+3.

評析：上述求直線斜率時充分采用了設而不求、整體代換的簡化方法，從而避免了解方程的復雜運算. 該方法同樣適用于求解中點弦、交點弦問題中，為確保答案正確、無漏解，在求解時需要注意兩點：一是對方程判別式合理分析;二是關注直線的斜率是否存在.

技巧三：數(shù)形轉化

數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想，在求解解析幾何問題時也可以采用數(shù)形轉化的簡化技巧，對于某些問題把握其中的幾何特性，從圖形固有的特征或采用運動的觀點分析其中的變化規(guī)律，可直接提取其中的等量關系，簡化過程.

例3：已知☉A的解析式為x2+（y-2）2=，橢圓C的解析式為x2+4y2=4，點P和Q分別是☉A和橢圓C上的動點，則PQ的最大值為__________.

分析：本題為圓錐曲線中的雙動點問題，若按照常規(guī)的設點分析，必然運算量過大，此時可以采用數(shù)形轉化的簡化技巧，利用圖形來分析其中的隱含條件.

解：根據(jù)題干信息繪制圖2，設點Q的坐標為（x0，y0）. 由圖可知PQ=PA+AQ，其中PA與圓的半徑相等，為定值，因此AQ取得最大值時PQ獲得最大值.點A（0，2），AQ=，結合x2+4y2=4可得AQ=（-1≤y0≤1）. 分析可知當y0=-時，AQ取得最大值，所以PQ的最大值為+.

評析：數(shù)形轉化的簡化技巧有兩大優(yōu)勢：一是可使抽象的問題直觀化，降低思維難度;二是有利于把握圖形特性，挖掘隱含條件. 上述就是利用數(shù)形轉化確定了其中的定值規(guī)律，直接將雙動點問題轉化為了常規(guī)的單動點問題，極大地降低了運算難度.

技巧四：巧設引參

參數(shù)法是簡化解析幾何運算常用的技巧方法，特別是對于其中的最值問題、不等式問題、斜率問題，合理引參可以將其中的核心關系聯(lián)系在一起，從而激活思路，取得事半功倍的解題效果.

例4：已知點A和B是橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點，點P位于橢圓上且不與A和B重合，AP=OA，設直線OP的斜率為k，證明k>.

分析：求證跟OP的斜率有關的不等式k>，常規(guī)的方法是將直線OP設為一般方程，即y=kx，取點P為（x0，y0），然后聯(lián)立整理，可得一元二次方程，后續(xù)通過變形分析來完成證明，但該過程的運算量較大. 此時可以考慮引入橢圓的參數(shù)方程，將點P的坐標參數(shù)化，直接利用點坐標求出相關斜率，完成證明.

解：根據(jù)橢圓標準方程推知其參數(shù)方程為x=acosθ，y=bsinθ，（θ為參數(shù)），可設點P坐標為（acosθ，bsinθ）（0≤θ≤2π），線段OP的中點Qcosθ，sinθ. 因為AP=OA，所以AQ⊥OP，所以kAQ·k=-1，所以bksinθ+acosθ=-2a，分析可知2a≤<，所以k>，得證.

評析：上述求證斜率取值范圍時引入了橢圓參數(shù)方程，避開了復雜的聯(lián)立方程，根據(jù)隱含條件直接分析斜率取值.需要注意在等價變形、縮放過程中確保原題條件不變、取值范圍不變.

關于簡化運算的解后思考

“多思少算”是解析幾何問題求解中倡導的思想，上述針對解析幾何問題深入探究了四種常用的簡化運算的技巧，實則就是根據(jù)問題特征來調整分析思路，下面開展解后思考.

1. 把握問題特性，理解問題本質

把握特性、理解本質是簡化運算技巧選定的基礎，也是后續(xù)構建解題思路的意義所在. 例1中的離心率是描述曲線特性的要素，理解其幾何意義是定義法簡化過程的基礎;而例2采用的設而不求則是充分把握了一元二次函數(shù)中“根與系數(shù)的關系”;例3的數(shù)形結合則是從圓的特性入手，把握了半徑的定值特性實現(xiàn)了問題降維. 因此，教學中需要教師引導學生注重讀題，關注問題特征，挖掘問題本質，多思少算簡化求解.

2. 開展多解探究，重視總結歸納

上述四道例題呈現(xiàn)了四種簡化運算的技巧，實則是與問題的多解特性有關，上述問題的常規(guī)思路也是高中數(shù)學需要學生充分掌握的通性通法，因此開展問題多解探究是十分重要的. 通過多解探究可以深刻認識問題，同時方法的對比中可以獲得類型問題的優(yōu)化策略.例如上述例4在設定點坐標時可以使用橢圓的標準方程，也可以使用參數(shù)方程，顯然后者更有利于求解與斜率相關的問題. 因此開展解題教學中需重視分析解題方法，引導學生養(yǎng)成勤思考、多總結的學習習慣.

3. 滲透思想方法，提升數(shù)學素養(yǎng)

簡化運算的方法技巧中蘊含著大量的數(shù)學思想，例如上述“設而不求”中的整體思想，“數(shù)形轉化”中的數(shù)形結合思想，“巧設引參”中的參數(shù)和方程思想，實際上方法背后的數(shù)學思想才是其精髓所在，也是學習簡化運算技巧的重點.因此在教學中需要合理滲透思想方法，引導學生關注方法背后的思想內涵，逐步養(yǎng)成以思想為指引，開展問題探究的習慣.由于數(shù)學思想較為抽象，教學中可以結合教材內容進行，使學生掌握思想方法的分析策略.

總之，上述闡述的四種方法技巧具有一定的代表性，在實際解題時需要指導學生靈活使用，但需謹防過度思維，造成不必要的錯誤. 在教學中要大力提倡“多思少算”，引導學生重視問題分析，領悟簡化運算技巧的思想內涵，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).