解析幾何簡化運(yùn)算的技巧探究與思考

曾慶文

[摘? 要] 解析幾何問題的運(yùn)算量較大，常給學(xué)生的解題造成困惑，因此解題時(shí)應(yīng)盡可能地采用簡化運(yùn)算的技巧，降低思維難度，提高解題效率. 文章深入探討定義法、設(shè)而不求、數(shù)形轉(zhuǎn)化、參數(shù)法簡化運(yùn)算的思路，并開展相應(yīng)的教學(xué)思考.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;簡化;含義;設(shè)而不求;數(shù)形轉(zhuǎn)化;參數(shù)法

高中數(shù)學(xué)常將曲線置于坐標(biāo)系中，利用解析式來研究其性質(zhì)，這也是解析幾何內(nèi)容研究的重要方法. 其中的解析式可以為代數(shù)，也可以是函數(shù)、對數(shù)等，在研究曲線性質(zhì)時(shí)具有一定的優(yōu)勢，但有時(shí)分析思路復(fù)雜、運(yùn)算量過大，極大地影響解題效率，實(shí)則在解析問題時(shí)可以采用一定的簡化技巧，下面舉例探究.

關(guān)于簡化運(yùn)算的技巧探究

解析幾何中簡化運(yùn)算的技巧有很多，例如常見的定義法、設(shè)而不求、數(shù)形轉(zhuǎn)化、巧設(shè)參數(shù)等，實(shí)際運(yùn)算時(shí)可以結(jié)合具體問題合理選用簡化技巧，在確保結(jié)果正確的前提下降低思維難度.

技巧一：回歸定義

定義是圓錐曲線的本質(zhì)屬性，對于某些與曲線屬性相關(guān)的解析幾何問題可以考慮采用定義法來轉(zhuǎn)化問題，構(gòu)建思路.實(shí)際解題可以結(jié)合曲線圖像，在曲線定義的基礎(chǔ)上開展性質(zhì)、結(jié)論探究.

例1：已知橢圓C的解析式為+=1，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)F1且傾斜角為60°，與橢圓C的交點(diǎn)為A和B，如果FA=2FB，則橢圓C的離心率為__________.

分析：本題目為求橢圓離心率的填空題，常規(guī)解法是聯(lián)立橢圓與直線的方程，然后結(jié)合其中的等量條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 但按照該思路求解的運(yùn)算量過大，此時(shí)可以考慮回歸橢圓定義，結(jié)合平面幾何知識簡化運(yùn)算.

評析：本題巧妙地利用了橢圓的定義，結(jié)合其中的幾何性質(zhì)構(gòu)建了相應(yīng)的等量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化出橢圓的離心率，有效地降低了計(jì)算量.定義法在求解周長、面積、最值等問題中均有著廣泛的應(yīng)用，在實(shí)際學(xué)習(xí)時(shí)需要?dú)w總橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的核心定義，

技巧二：設(shè)而不求

設(shè)而不求是簡化運(yùn)算的常用技巧，尤其適用于解析幾何中曲線與直線的相交問題. 實(shí)際求解時(shí)設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)、聯(lián)立方程后，可以不求交點(diǎn)坐標(biāo)，而利用整體思想，利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體化簡，從而達(dá)到簡化過程的效果.

例2：已知橢圓C的解析式為4x2+9y2=36，過點(diǎn)P（0，3）的直線l與橢圓相交于點(diǎn)A和B，若以線段AB為直徑的圓剛好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的表達(dá)式為_______.

分析：求直線l的表達(dá)式需要對直線的斜率進(jìn)行討論，斜率不存在時(shí)顯然不滿足條件. 若設(shè)直線表達(dá)式為y=kx+3后與橢圓方程聯(lián)立，所得的方程為復(fù)雜的一元二次方程，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)較為復(fù)雜，此時(shí)可以采用設(shè)而不求的方法，利用韋達(dá)定理關(guān)于“根與系數(shù)”的關(guān)系來構(gòu)建數(shù)式，通過整體代換來求解斜率，需注意對方程的判別式進(jìn)行分析.

解：設(shè)直線l的表達(dá)式為y=kx+3，與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立橢圓與直線的方程，整理可得（9k2+4）x1+54kx+45=0，有兩個(gè)解，則Δ>0，即（5k2）-4×45（9k2+4）>0. 根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=-，x1·x2=. 分析可知OA⊥OB，則x1·x2+y1·y2=0，變形可得y1·y2=，所以有+=0，可解得k=±（均滿足條件），則直線l的表達(dá)式為y=±x+3.

評析：上述求直線斜率時(shí)充分采用了設(shè)而不求、整體代換的簡化方法，從而避免了解方程的復(fù)雜運(yùn)算. 該方法同樣適用于求解中點(diǎn)弦、交點(diǎn)弦問題中，為確保答案正確、無漏解，在求解時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是對方程判別式合理分析;二是關(guān)注直線的斜率是否存在.

技巧三：數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，在求解解析幾何問題時(shí)也可以采用數(shù)形轉(zhuǎn)化的簡化技巧，對于某些問題把握其中的幾何特性，從圖形固有的特征或采用運(yùn)動的觀點(diǎn)分析其中的變化規(guī)律，可直接提取其中的等量關(guān)系，簡化過程.

例3：已知☉A的解析式為x2+（y-2）2=，橢圓C的解析式為x2+4y2=4，點(diǎn)P和Q分別是☉A和橢圓C上的動點(diǎn)，則PQ的最大值為__________.

分析：本題為圓錐曲線中的雙動點(diǎn)問題，若按照常規(guī)的設(shè)點(diǎn)分析，必然運(yùn)算量過大，此時(shí)可以采用數(shù)形轉(zhuǎn)化的簡化技巧，利用圖形來分析其中的隱含條件.

解：根據(jù)題干信息繪制圖2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x0，y0）. 由圖可知PQ=PA+AQ，其中PA與圓的半徑相等，為定值，因此AQ取得最大值時(shí)PQ獲得最大值.點(diǎn)A（0，2），AQ=，結(jié)合x2+4y2=4可得AQ=（-1≤y0≤1）. 分析可知當(dāng)y0=-時(shí)，AQ取得最大值，所以PQ的最大值為+.

評析：數(shù)形轉(zhuǎn)化的簡化技巧有兩大優(yōu)勢：一是可使抽象的問題直觀化，降低思維難度;二是有利于把握圖形特性，挖掘隱含條件. 上述就是利用數(shù)形轉(zhuǎn)化確定了其中的定值規(guī)律，直接將雙動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為了常規(guī)的單動點(diǎn)問題，極大地降低了運(yùn)算難度.

技巧四：巧設(shè)引參

參數(shù)法是簡化解析幾何運(yùn)算常用的技巧方法，特別是對于其中的最值問題、不等式問題、斜率問題，合理引參可以將其中的核心關(guān)系聯(lián)系在一起，從而激活思路，取得事半功倍的解題效果.

例4：已知點(diǎn)A和B是橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P位于橢圓上且不與A和B重合，AP=OA，設(shè)直線OP的斜率為k，證明k>.

分析：求證跟OP的斜率有關(guān)的不等式k>，常規(guī)的方法是將直線OP設(shè)為一般方程，即y=kx，取點(diǎn)P為（x0，y0），然后聯(lián)立整理，可得一元二次方程，后續(xù)通過變形分析來完成證明，但該過程的運(yùn)算量較大. 此時(shí)可以考慮引入橢圓的參數(shù)方程，將點(diǎn)P的坐標(biāo)參數(shù)化，直接利用點(diǎn)坐標(biāo)求出相關(guān)斜率，完成證明.

解：根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推知其參數(shù)方程為x=acosθ，y=bsinθ，（θ為參數(shù)），可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ）（0≤θ≤2π），線段OP的中點(diǎn)Qcosθ，sinθ. 因?yàn)锳P=OA，所以AQ⊥OP，所以kAQ·k=-1，所以bksinθ+acosθ=-2a，分析可知2a≤<，所以k>，得證.

評析：上述求證斜率取值范圍時(shí)引入了橢圓參數(shù)方程，避開了復(fù)雜的聯(lián)立方程，根據(jù)隱含條件直接分析斜率取值.需要注意在等價(jià)變形、縮放過程中確保原題條件不變、取值范圍不變.

關(guān)于簡化運(yùn)算的解后思考

“多思少算”是解析幾何問題求解中倡導(dǎo)的思想，上述針對解析幾何問題深入探究了四種常用的簡化運(yùn)算的技巧，實(shí)則就是根據(jù)問題特征來調(diào)整分析思路，下面開展解后思考.

1. 把握問題特性，理解問題本質(zhì)

把握特性、理解本質(zhì)是簡化運(yùn)算技巧選定的基礎(chǔ)，也是后續(xù)構(gòu)建解題思路的意義所在. 例1中的離心率是描述曲線特性的要素，理解其幾何意義是定義法簡化過程的基礎(chǔ);而例2采用的設(shè)而不求則是充分把握了一元二次函數(shù)中“根與系數(shù)的關(guān)系”;例3的數(shù)形結(jié)合則是從圓的特性入手，把握了半徑的定值特性實(shí)現(xiàn)了問題降維. 因此，教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生注重讀題，關(guān)注問題特征，挖掘問題本質(zhì)，多思少算簡化求解.

2. 開展多解探究，重視總結(jié)歸納

上述四道例題呈現(xiàn)了四種簡化運(yùn)算的技巧，實(shí)則是與問題的多解特性有關(guān)，上述問題的常規(guī)思路也是高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生充分掌握的通性通法，因此開展問題多解探究是十分重要的. 通過多解探究可以深刻認(rèn)識問題，同時(shí)方法的對比中可以獲得類型問題的優(yōu)化策略.例如上述例4在設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)可以使用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可以使用參數(shù)方程，顯然后者更有利于求解與斜率相關(guān)的問題. 因此開展解題教學(xué)中需重視分析解題方法，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成勤思考、多總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

3. 滲透思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

簡化運(yùn)算的方法技巧中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)思想，例如上述“設(shè)而不求”中的整體思想，“數(shù)形轉(zhuǎn)化”中的數(shù)形結(jié)合思想，“巧設(shè)引參”中的參數(shù)和方程思想，實(shí)際上方法背后的數(shù)學(xué)思想才是其精髓所在，也是學(xué)習(xí)簡化運(yùn)算技巧的重點(diǎn).因此在教學(xué)中需要合理滲透思想方法，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方法背后的思想內(nèi)涵，逐步養(yǎng)成以思想為指引，開展問題探究的習(xí)慣.由于數(shù)學(xué)思想較為抽象，教學(xué)中可以結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行，使學(xué)生掌握思想方法的分析策略.

總之，上述闡述的四種方法技巧具有一定的代表性，在實(shí)際解題時(shí)需要指導(dǎo)學(xué)生靈活使用，但需謹(jǐn)防過度思維，造成不必要的錯(cuò)誤. 在教學(xué)中要大力提倡“多思少算”，引導(dǎo)學(xué)生重視問題分析，領(lǐng)悟簡化運(yùn)算技巧的思想內(nèi)涵，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).