多約束下小衛星的能量最優主動碰撞規避控制*

2020-07-15 12:57:44王國剛劉克平范林東

航天控制 2020年3期

王國剛戴路徐開劉克平李峰，范林東

1.長光衛星技術有限公司，長春130000 2.長春工業大學，長春130000

0 引言

由于商業小衛星公司迅速崛起，商業衛星迅速發展。快速增多的低軌衛星數量，增大了衛星間的碰撞風險系數。碰撞規避是防止低軌小衛星碰撞的有效手段和方法[1-4]。由于測控站的數量有限，如果幾顆衛星同時存在碰撞可能，那么僅通過地面同時對多顆衛星規避控制的壓力是極大的。

目前，衛星間的碰撞是必須考慮的重要問題[5-6]，文獻[7]針對航天器與空間目標距離較近的碰撞問題進行了研究，依靠星上測量設備，設計了近距離自主規避策略，但是未考慮測量設備的測量誤差。近距離規避碰撞，仍會存在碰撞的風險。文獻[8]根據衛星編隊的特點及碰撞規避的需要, 使用協同進化粒子群優化算法對重構問題采用既獨立又集中的求解方式,完成了編隊重構，但是計算時間相對較慢。文獻[9]提出一種基于特征點的快速解析碰撞預警方法，降低了對絕對測量信息的依賴，通過割線法和高斯方程求解燃料最省的碰撞規避，但是求的解均是近似解，會存在一定偏差。文獻[10]將碰撞概率密度函數在危險區域積分，獲得編隊衛星的碰撞概率，當碰撞概率大于安全閾值時，向衛星施加最小脈沖速度修正量，降低了碰撞概率，但是碰撞規避機動后未保持星座構型。文獻[11] 根據撤離后飛船、天宮以及伴星的相對運動關系研究了結合規避控制的飛船雙脈沖維持優化控制方案。文獻[12]提出了一種求解交會對接過程中最優碰撞規避機動方法，在保證碰撞概率降低到安全值的前提下，得到最優的碰撞機動沖量，采用機動方向和機動大小分布求解的策略計算沖量，適用于相距幾十公里以內的碰撞規避，而不適用于近距離的碰撞規避。文獻[13]針對航天器燃料最優編隊初始化、重構等機動展開研究，提出了一種燃料最優的解析控制方法，該方法形式簡單，計算量小，但燃料消耗量最優解取決于初始狀態誤差。

本文考慮了星座構形約束、測控資源約束和載荷約束，設計了衛星間近距離碰撞的規避控制策略，該策略不完全依靠測量設備，且不需要初始狀態誤差，采用最優控制理論，實現能量最優化碰撞規避控制。

1 問題描述

1.1 控制策略

兩顆衛星d和g正常在軌飛行，當t時刻，衛星d與衛星g相交于空間某一點時兩顆衛星發生碰撞，衛星d相對于衛星g的位置矢量為

ρ=r1-r2

(1)

式中：r1為衛星d的地心矢徑，單位為km，r2為衛星g的地心矢徑，單位為km，見圖1。

圖1 衛星間碰撞示意圖

當航天器的相對位置矢量ρ的模ρ小于目標軌道半徑時，滿足航天器相對運動方程[14]，表示為：

(2)

1.2 坐標變換

以上的運動方程及初始狀態和目標狀態條件均是在衛星質心坐標系下給出的，因此需要將衛星質心坐標系轉換到軌道坐標系，再轉到地球慣性坐標系進行控制。

從圖1可看出，衛星g在質心坐標系下繞Yd軸轉-φ，再繞Zd軸轉ζ，則衛星質心坐標系到軌道坐標系的轉換矩陣TD為：

(3)

式中：RZ(ζ)表示繞Zd軸的旋轉矩陣，RY(-φ)表示繞Yd軸的旋轉矩陣。

軌道坐標系轉到地球慣性坐標系的轉換矩陣TT為：

(4)

1.3 約束建模

1.3.1 載荷約束

遙感小衛星的載荷與高度密切相關，當軌道高度越高，載荷的分辨率將會下降，不滿足用戶需求；當軌道高度越低，衛星的軌道衰減越快，使用壽命大大減少。

假設成像載荷設計的分辨率為fl，分辨率允許偏差值為fp，可運行在軌道高度為H，則衛星軌道允許的高度為

(5)

軌道高度偏差就是載荷對軌道高度的約束，軌道半長軸滿足

H+ae≤Hp+ae

(6)

式中：ae為地球半徑，ae=6378.137km。

1.3.2 測控資源約束

首先確定可利用的測控站，盡量選擇在測控弧段內進行軌道規避調整，當可以預測到碰撞位置和時刻后，選擇可利用的測控站進行控制指令發送，執行規避控制。

(7)

碰撞時刻為t，則控制約束為

t-T>TL

(8)

式中：TL為規避控制提前時間，TL>6h，當最接近TL的測控站資源被占用，調用次接近TL的測控站資源，依次遞推，得出適合的測控站資源，當判斷出衛星間要發生碰撞時，提前T的時間進行碰撞規避控制。

1.3.3 星座構形約束

對于商業遙感星座，重訪和覆蓋是客戶最為關心的能力，相位分布情況直接影響重訪能力，因此，相位分布的保持尤為重要，若同一個軌道面上的衛星高度相差較大，幾天時間就會超出允許相位差，因此控后盡量回到原來的高度或百米級的高度差。

假設速度增量為u，衛星角速度為n，則半長軸變化量Δa為

(9)

衛星軌道周期為T，軌道控制后周期為Th，則每天的相位漂移速度為

(10)

(11)

2 碰撞規避控制設計

2.1 控制策略

對于碰撞規避，通過改變相對半長軸控制量來實現星間的安全飛行。假設兩顆衛星，一顆為在軌正常運行的目標衛星，另一顆規避衛星不斷靠近目標衛星，采用主動控制策略，假設規避衛星從A點到B點的軌跡路徑上的任意一點到目標衛星的距離為r(t)，目標衛星的安全球半徑為rs，則定義規避衛星在軌跡路徑上與安全球的距離為

Δr(t)=r(t)-rs

(12)

式中：為規避衛星在軌跡路徑上與安全球的距離，單位為m；將安全球半徑為rs的最小值Δr(t)min作為判斷是否發生碰撞的準則，判斷準則如下：

(13)

式中：rs=rs1+rΔ，rΔ為預留距離，單位為m；rs1表示規定的安全距離，單位為m。

當Δr(t)min>0時，規避衛星與目標衛星不會發生碰撞；當Δr(t)min=0時，規避衛星與目標衛星存在碰撞的風險；當Δr(t)min<0時，規避衛星與目標衛星會發生碰撞。

2.2 最優規避控制設計

(14)

(15)

式中：A為系數矩陣，B為常數矩陣，表達式為

控制終端狀態為

X(tf)=Xtf

(16)

式中：X(tf)表示tf時狀態，Xtf表示狀態值，tf表示時間，給定時間tf，選取能量優化指標J為

(17)

根據極小值原理，選取哈密頓函數H為：

(18)

式中：λ1，λ2，λ3，λ4，λ5和λ6均為協調因子，vx，vy和vz分別表示Xd軸，Yd軸和Zd軸的相對速度，n為目標軌道平均角速度，[ux,uy,uz]T為速度增量，單位為m/s，則協態方程為：

(19)

可求解得

(20)

式中：μi(i=1,2,…,6)表示待定常數，t表示時間，nt表示t時間內轉動的角度。

根據極小值原理，最優控制應使哈密頓函數H達到極小，即

(21)

將式(20)～(21)帶入式(2)中，可得

(22)

規避衛星的初始條件和終端條件如下

(23)

式中：X(0)表示0時刻的狀態，X(tf)表示tf時狀態，x0，y0和z0分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的初始位置，vx0，vy0和vz0分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的初始速度，xtf，ytf和ztf分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的終端位置，vxtf，vytf和vztf分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的終端速度。

由于Zd軸的運動是獨立的，因此將式(23)帶入式(22)中，可得

(24)

式中：S為sin(nt)縮寫，C表示cos(nt)縮寫，tf表示終端時間。

由于Xd軸和Yd軸存在耦合，通過解微分方程，利用初始條件和終端條件求得一次代數方程組為：

(25)

S=sin(ntf)，C=cos(ntf)。

通過式(25)可求得μ1，μ2，μ3和μ4，則衛星最優速度增量為

(26)

通過衛星最優速度增量和方向，衛星以最優條件下的運動軌跡進行碰撞規避。

3 算例分析

3.1 仿真輸入

1)選擇二體遞推模型進行遞推；

2)軌道初始值和控制策略參數見表1和表2；

表1 衛星初始軌道參數

表2 控制策略參數

3)最小安全距離設置為300m，小于300m時即發出預警，并進行碰撞規避。

根據有效載荷，星座構形約束、測控資源約束等數學模型，可知:

當有效載荷分辨率為1m，其軌道高度為500km，允許分辨率上限為1.002m，則允許調整的軌道高度不高于501km；

當規避星軌道有2顆衛星，以180°等相位分布，允許相位偏置7°，當調整50m時，相位差飄出0.059(°)/d，則118d飄出應用需求允許范圍，因此允許調整的軌道高度范圍為±50m以內；

可用的測控站為長春站、三亞站和喀什站，啟控時刻盡量選擇在可利用的較近的測控弧段內。

3.2 數值仿真

采用Matlab進行數值仿真，仿真時間12h，設置目標星安全距離為300m，兩顆衛星2019.2.20 03:59:45開始發生碰撞，采用2種控制方法進行碰撞規避，通過常規PD控制策略與最優控制策略的消耗和能量進行對比，證明最優控制策略的優勢，燃料最優規避控制策略仿真和常規PD控制規避控制策略仿真見圖2～3。