開放、探索問題

一、填空題

1.（2019年鹽城部分學校聯考）設α∈，則使函數y=xα的定義域為R且為奇函數的所有α的值為________________.

3.如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，.正三角形ADB以AB為軸運動.當CD=_______時，CD⊥平面ABC.

（第3題）

4.（2020年連云港市模擬卷）在△ABC中，已知則cosC的最小值是________.

5.若用長度分別為1，1，1，1，x，x的六根筆直的鐵棒，通過焊接其端點（不計損耗）可以得到兩種不同形狀的三棱錐形的鐵架，則實數x的取值范圍是________.

6.對于數列｛an｝，定義數列｛Δan｝滿足：Δan=an+1-an（n∈N*），定義數列｛Δ2an｝滿足：Δ2an=Δan+1-Δan（n∈N*），若數列｛Δ2an｝中各項均為1，且a21=a2010=0，則a1=________.

7.設無窮數列｛an｝具有以下性質：①a1=1；②當n∈N*時，an≤an+1.請給出一個具有這種性質的無窮數列｛an｝，使得不等式對于任意的n∈N*都成立：_______.

9.在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=，0是△ABC的內心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，動點P的軌跡所覆蓋的面積為________.

10.（2020年常州市模擬卷）設數列｛an｝的前n項和為Sn，且，若對于任意的n∈N*都有1≤x（Sn-4n）≤3恒成立，則實數x的取值范圍是________.

二、解答題

11.已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上任意一點到其焦點F的距離比到y軸的距離大1.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過點F的直線交拋物線于M，N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；

（3）求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”.求出體積為后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求該正四棱錐的側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求其所有側面面積之和的最小值”.

12.（2020年西安市模擬卷）在平面直角坐標系x0y中，已知橢圓T的方程為y2=1.設A，B，M是橢圓T上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角θ，使.

試探究下列各個量是否為定值；若是，請求出定值，否則，請說明理由：

（1）直線0A與0B的斜率之積；

（2）0A2+0B2.

13.設｛an｝是各項均為正整數的無窮數列.記a1，a2，…，ak（k∈N*）中的最大項為Mk，ak+1，ak+2，…中的最小項為mk.

（1）若mk-Mk=1，問：｛an｝是否為等差數列？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；

（2）若｛an｝是等比數列，且公比q≠1，求mk-Mk的最小值.