隨機行人荷載下結構動力可靠度分析

賈宇婷 楊娜 白凡 呂佐超

摘要：基于概率密度演化理論（PDEM），提出一種通過動力可靠度對簡支梁在隨機行人荷載下的響應進行評估的方法。選取步頻、步長、體重以及各行人的到達時間為隨機變量，確定性結構動力響應由顯式Newmark法計算給出，通過PDEM理論可以方便地計算出行人通過簡支梁時任意時刻響應的概率信息，以及不同舒適度閾值水平下跨中加速度的動力可靠度。算例驗證表明，簡諧荷載下分布參數體系的概率密度演化分析結果與統計結果吻合良好。通過對單人以及多人荷載下響應隨機演化過程的分析表明，行人荷載隨機性對結構響應具有顯著影響，建議利用動力可靠度對結構進行振動響應分析以及人致振動舒適度評價。

關鍵詞：行人荷載;隨機動力系統;概率密度演化方法;動力可靠度;舒適度

中圖分類號：TU312+。1;TU311.3文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0509-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.009

引言

隨著輕質、低阻尼材料的發展，以及現代人們對美學的要求，建筑結構逐漸向大跨、輕柔的方向發展，人群荷載下結構的振動響應也逐漸成為近年來的研究熱點。當振動加速度超過某一適用性限值時，就可能會引起人們的不良反應甚至恐慌。在適用性評價方面，中國規范僅對結構的自振頻率提出了限值要求，國內外規范普遍采用自振頻率閾值法和動力響應閾值法相結合，通過對某一響應指標值的限制達到舒適度要求。在行人荷載模型研究及動力響應計算方面，學者大都假定步行力為確定性的周期荷載，QIN等采用生物力學模型模擬單個行人荷載，研究了簡支梁與行走行人的精細化相互作用模型。陳雋等采用無線測力鞋墊實測步行荷載，對大跨結構豎向振動反應譜進行了研究。宋志剛等從社會力模型角度和人橋相互作用的機理出發探索了人橋相互作用的動力放大系數。人群荷載作為一種極為復雜的荷載形式，行人在結構中的分布以及個體的行走特征差異都會引起人群荷載的不確定性，從而造成結構響應的隨機性。

鑒于人群荷載的不確定性，考慮從概率的角度對人群荷載下結構的振動響應進行評估。近年來，李杰等提出了隨機結構反應的概率密度演化方法（Probability Density Evolution Method，PDEM），直接獲取隨機結構反應的概率密度函數及其隨時間變化的演化過程，這一基本思想為隨機結構動力響應分析和動力可靠度問題提供了新的途徑，并成功用于地震、波浪、高速鐵路等動力荷載下結構的隨機反應分析和可靠度計算中。

本文基于概率密度演化理論，提出一種結構在隨機人群荷載下動力可靠度的計算方法。該方法綜合考慮了行人質量、各行人到達時間以及步頻、步長的隨機分布，得到響應隨時間變化的概率密度函數，從而得到結構響應的動力可靠度，以及任意時刻響應相對于某一限值的超越概率，實現結構在隨機人群荷載下的振動響應評估。

1 人致振動響應的概率密度演化分析

隨機行人荷載下結構振動響應概率密度函數（PDF）分析主要分成兩部分，第一部分對結構在每一隨機變量組下進行確定性響應分析，其中變量組通過在隨機參數域內的選點技術得到;第二部分利用差分技術計算響應與隨機參數的聯合概率密度，并在安全域內積分得到結構動力可靠度。

1.1 確定性分析

評價人致振動通常以結構加速度響應為標準，根據概率密度演化理論，以加速度變化率Y（θ_q，t）作為確定性響應分析的待求未知量。

1.2 荷載響應的概率密度分析及可靠度評價

2 行人步行荷載隨機性特征

個體的行走特征以及行人在結構中的分布都存在一定的不確定性，本文考慮將行人步頻、步長、體重和各行人的上橋時間間隔作為隨機變量。

2.1 步頻、步長分布特征

對于行走特征參數分布，Zivanovi6提出應該考慮個體間和個體內部的差異性，個體間的差異性體現在每個人的步頻、步長存在差異，個體內部的差異體現在同一個人的每一步都是不同的。步頻和步長可以看作是兩個相互獨立的隨機變量，且服從均值和標準差的正態分布，如圖1所示。

2.2 行人到達時間和體重分布

Matsumoto等提出行人到達步行橋的時間服從參數為λ的泊松分布，λ表示單位時間在結構單位寬度內的行人數量，即可以認為行人上橋的時間間隔服從指數分布

根據中國2010年國民體質監測公報，中國人的體重服從均值為62.8kg，標準差為10.9kg的正態分布，本文采用這一行人體重分布，表示為W-N（62.8，10.9²）。

3 數值計算過程

4 方法驗證

為驗證方法的有效性，類似于單人單步的簡諧荷載形式，分別采用Newmark法與概率密度演化方法計算簡支梁在跨中作用單一簡諧荷載時的動力響應。

某簡支梁跨長11m，橫截面寬1.25m，高0.35m。梁的材料屬性為：剛度EI=2×10⁸N·m²，單位長度的質量m=1.364×10³kg/m，梁的模態阻尼比為ξ=0.3%，如圖2所示。在跨中作用簡諧荷載F（t）=A·10²。sinnt，其中振幅A服從均勻分布U（50，350）N，荷載持時為20s。

利用Newmark法計算，當A分別取50，100，150，200，250，300，350N時，得到跨中加速度、位移響應分別如圖3（a）和（b）所示;圖4為采用概率密度演化方法得到的以概率密度為Z軸的動力響應PDF演化曲面。

兩種方法得到的0-20s動力響應峰值計算結果對比如表1所示。兩者響應差值均較小，說明PDEM理論適用于分布參數體系承受簡諧荷載，且相比于Newmark確定性響應分析，基于PDEM理論的方法可直接計算出任意時刻、任意響應大小的發生概率。

5 行人荷載隨機性影響分析

分析上述簡支梁在隨機單人荷載和隨機人群荷載下的振動響應，其中隨機人群荷載又分為考慮行人上橋時間隨機性和不考慮其隨機性兩種工況。步行特征隨機變量的概率分布信息如表2所示。

5.1 單人荷載

通過基于PDEM理論的人致振動響應概率分析，可得到任意時刻行人荷載下結構跨中加速度響應的概率密度分布。

行人從t=時刻開始作用于簡支梁上一端，利用顯式Newmark法和差分法求解加速度響應變化率。以簡支梁前三階響應作為Y（θ，t），代入式（8）-（12）計算響應概率密度演化及結構動力可靠度。

對于單人荷載情況，采用選點技術對步頻、步長及體重選取代表點，進行隨機動力響應分析，得到響應隨時間變化而形成的PDF演化曲面如圖5所示。

圖6表示典型時刻結構響應的概率密度函數，分別對應時刻2.1，3.5，4.0和7.0s?？梢钥闯?，在各步行特征隨機變量均服從正態分布時，簡支梁各時刻響應并不一定服從正態分布，如t=3.5s時簡支梁響應為非傳統分布類型。

EN03人行橋設計標準認為，人行橋的舒適度是否滿足要求應根據人行橋設計等級和使用者希望達到的舒適度共同決定。給出不同舒適度限值標準下的動力可靠度，如圖7所示，可以看出隨著閾值“Threshold”降低，可靠度值逐漸下降，且可靠度值隨時間變化呈現階梯狀的單向下降過程，符合吸收邊界條件使可靠度值“單向流失”的現象。

5.2 多人荷載

本文考慮兩種人群荷載工況，一種為各行人上橋時間為確定量，將行人步頻、步長、體重作為人群荷載模型隨機變量;另一種設行人開始作用于簡支梁的時間間隔為隨機變量，且服從指數分布，同時考慮步頻、步長、體重以及行人到達時間的隨機性。分別對簡支梁跨中加速度響應以及動力可靠度進行分析：

5.2.1 到達時間確定

假設行人間隔指定時間上橋，如圖8所示。取單人步頻、步長和體重為隨機變量，并認為采用選點技術對變量隨機取值所得到的概率密度演化函數，包含了人與人之間特征參數差異所造成的影響。

基于PDEM理論以及提出的隨機人群荷載模型，得到在指定時間上橋的人群作用下，簡支梁跨中加速度響應PDF演化曲面如圖9所示。

圖10為多人作用下結構反應典型時刻的概率密度曲線，分別對應時刻3.5，4.0，7.0和10.0s?？梢钥闯?，跨中加速度響應PDF較單人作用復雜，t=3.5s時為雙峰值，且不同于正態分布、對數正態、指數分布和Gama分布等傳統概率分布形式，響應是隨時間變化的復雜的隨機演化過程。

圖11為各加速度限值條件下的動力可靠度，可靠度值隨時間變化同樣呈現出階梯型的下降過程。且在t=13s后趨于穩定，即在第5人上橋之后4s，響應不會再出現相對于各限值的新的超越峰值，結構在阻尼作用下響應逐漸減小;且閾值越大可靠度趨于穩定的時間越早，即限值越大響應的超越概率相對越小。

5.2.2 到達時間隨機

單位時間內的到達人數服從泊松分布，即認為人群到達簡支梁的時間間隔服從指數分布式中 λ表示單位時間內的到達人數，假設λ=0.5.

圖12為t=5s到t=25s響應PDF演化曲面，可以看出，在行人逐漸離開后，簡支梁將發生自由振動，且在阻尼的作用下響應逐漸降為0.由圖12（b）可以看出，t=5-25s處響應的概率取值不斷增大，即隨著自由振動衰減，隨機變量對響應的影響逐漸減小，響應隨機性降低。

圖13表示行人到達時間為隨機變量時，各典型時刻的結構響應概率密度曲線，分別對應時刻5.0，6.0，6.5，9.0，15.0和20.0s。相比于圖6單人作用，簡支梁跨中加速度響應PDF曲線分布范圍更廣，人群荷載下響應的不確定性更大;同樣地，相比于圖10行人開始作用于結構的時間為確定量，人群荷載隨機變量的增多使得響應的不確定性更顯著。

圖14為不同加速度限值條件下的結構動力可靠度，在相同閾值“Threshold=0.05”，多人作用的動力可靠度相比于圖7單人作用，下降速度更快。在相同閾值“Threshold=0.10”，增加行人到達時間隨機變量后，結構動力可靠度穩定值R=0.3165，小于圖11特定時間多人作用時的穩定值R=0.4474，響應不確定性增加導致結構動力可靠度穩定值減小。

6 結論

本文基于PDEM理論提出一種計算隨機人群荷載下結構動力可靠度的方法，將其應用于結構隨機振動評估中，并得到以下結論：

（1）綜合考慮了多重隨機人群荷載參數對結構動力響應及可靠度的影響，參數包括行人步頻、步長、體重以及各行人的到達時間，得到結構響應PDF演化曲面，可直觀分析任意時刻、任意響應大小的發生概率，以及響應相對于不同閾值的超越概率;

（2）相比于人群荷載，單人荷載下各典型時刻的PDF曲線分布更集中，動力響應的不確定性更小;人群荷載下動力響應是隨時間變化的更為復雜的隨機演化過程，將行人開始作用于結構的間隔時間設為隨機變量時，各典型時刻的PDF曲線較不考慮間隔時間隨機性時離散性更大，響應的不確定性也更大;

（3）不同閾值條件下的結構動力可靠度均呈現階梯狀下降過程，且閾值越大曲線趨于穩定的時間越早;相比于單人荷載，同一閾值下，多人作用的動力可靠度呈現出更陡的下降過程;增加隨機變量個數動力可靠度的穩定值減小。

考慮步頻、步長、體重，以及行人到達時間等參數隨機性的荷載模型更接近實際步行荷載，有必要對結構在隨機人群荷載下的振動響應以及舒適度問題進行研究。