對稱鋪設碳纖維復合板振動特性等效建模

王嘉偉 黃震宇 紀琳 張勤河

摘要：以多層對稱鋪設的碳纖維復合板為研究對象，首先依據經典層合板建模理論建立鋪層材料參數與復合板剛度系數間的理論關系，推導出復合板等效剛度的簡化計算表達式，從而構建了單層和多層復合板的動態特性簡化模型。進而以固支邊界的16層矩形碳纖維復合薄板的動態特性模擬為例，通過對比簡化等效建模方法與傳統有限元多層建模方法的計算一致性，初步驗證了所提簡化計算方法的準確性和有效性，并在此基礎上分析比較了鋪層數量和面積對等效前后計算耗時的影響。最后通過數例仿真，就鋪層對稱性對等效模型計算有效性范圍的影響進行分析說明。該研究為進一步開展多層碳纖維板結構的聲振特性研究提供了有力的理論建模及分析預測工具。

關鍵詞：結構振動;碳纖維復合板;振動特性;等效建模;層合結構

中圖分類號：O327;TB334文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0533-07

DOI：10.16385/i.cnki.issn.1004-4523.2020.03.012

引言

碳纖維復合材料相比于傳統的金屬材料，具有重量輕、強度高等優異的力學性能，因此廣泛應用于航空、汽車等領域。碳纖維復合板的振動特性對于結構設計、性能評估以及后續的聲學特性研究具有重要的意義，因此，對于碳纖維復合板的建模計算成為一直以來的研究熱點和關注點之一。

碳纖維材料屬于正交各向異性材料，單層正交各向異性板振動研究采用Galcrkin法，研究纖維方向對固有模態的影響以及邊界條件對振動響應的影響。Park等用Ritz法對單層碳纖維復合板振動特性進行了理論和實驗研究，在低頻時兩者結果一致性較好。Sang等則在其基礎上研究了纖維方向對振動特性的影響。在單層基礎上，用Ritz法開展對多層碳纖維復合板振動特性的研究。工程應用中多使用相對于層合板中面鋪設角度對稱的對稱鋪層，可以保證因同方向上熱膨脹系數相同保持板的平直而不會出現翹曲。有學者基于Ritz法和經典層合板理論研究在簡支邊界和其他邊界條件下對稱復合材料層合板關鍵參數對固有模態的影響。Pei等采用錘擊實驗法研究纖維方向對多層單向碳纖維復合板固有模態和阻尼比的影響規律。同時研究人員對于如斜板、有孔板等特殊形式的碳纖維復合板振動特性也進行了研究。但是多層建模計算耗時長，因此需要進行等效和簡化。目前針對多層結構的等效和簡化主要存在兩種方式：第一種是計算多層復合材料的等效剛度，等效為單層勻質材料進行研究;第二種是將多層勻質材料復合結構（例如桁架芯三明治板）等效為單層各向異性材料進行研究。

在多層碳纖維復合板的建模過程中需要各層的材料參數，事實上用不同加工工藝壓制后的碳纖維板整體特性因加工工藝有差別難以用各層參數直接建模。依據標準D3039M-17通過拉伸測試等可獲得碳纖維復合板整體結構的材料參數，但以目前的建模方式無法對碳纖維復合板的振動特性進行具體計算，且根據各層材料參數建模計算耗時也較長。因此需要一個能通過整體結構材料參數研究多層纖維板的振動特性并縮短計算時長的等效模型。

本文以碳纖維對稱復合板為研究對象進行纖維復合材料振動特性的等效建模：首先基于經典層合板理論對碳纖維對稱復合板結構分別進行多層結構和等效單層結構建模;進而以固支邊界的16層矩形碳纖維復合薄板數例模型為例，分析比較了兩種模型計算結果的一致性，并在此基礎上對于鋪層數量和面積對等效前后計算耗時的影響進行對比分析;最后通過數例就鋪層對稱性對等效模型計算有效性范圍的影響進行了分析和說明。

1 等效單層模型的建立

1.1 基本假設

假定矩形板由N層纖維材料（正交各向異性）組成，在其中面建立笛卡爾直角坐標系δxyz，坐標原點位于層合板中面的邊角上，其整體坐標系厚度方向上的幾何表示如圖1所示。總厚度為H，每層厚度為h，第k層下表面在Z方向上的坐標為z_k，上表面的坐標為Z_k+1，每層的厚度相同。板在x方向的長度為a，在y方向的長度為b。對于圖2所示的單一正交各向異性層，定義纖維軸向為a，平面內垂直纖維軸向為β，平面外垂直纖維軸向為r（r方向與整體坐標系中的z方向重合），θ為層內纖維方向與x軸之間的夾角。

在建立層合板理論模型之初，首先對層合板引入以下理想假定條件：

1）鋪層之間黏結無縫隙，黏結層厚度忽略不計，各層之間變形連續;

2）各鋪層厚度均勻，且變形量遠小于結構尺寸;

3）鋪層厚度方向的正應力δ_z相較于δ_x，δ_y較小，可忽略不計。

經典層合板理論對應的位移場函數為

假定變形前垂直于中面的線段在板變形后仍垂直于變形后的中面且長度不變。

1.2 本構方程

由假定3），可忽略剪切變形的影響而僅考慮面內彎曲變形，那么，每層正交各向異性材料結構的應力應變關系為

由于層壓結構是由多個正交各向異性鋪層構成的，每層的纖維坐標系與整體坐標系并不一定重合，其C_ij應轉化為全局坐標上的C_ij，第k層在整體坐標系中的應力-應變關系為

依據假定條件1）和2），在微小應變條件下，每層結構可視為具有相同的應變量，因此整體結構所受的應力可視為每層結構所受應力的疊加，從而對于整體結構而言，應力-應變關系即公式（3）可表示為

1.3 運動方程

對于對稱鋪層結構，依據假定條件1），當不考慮層間耦合作用，且忽略剪切作用的影響，僅考慮面內彎曲變形時，板的運動方程可表達為

由公式（11），（12）可知，在邊界條件、結構參數不變的情況下，多層纖維板的固有模態和振動響應與剛度系數D_ij有關。若要多層正交各向異性結構建模與等效單層正交各向異性結構建模得到相同的固有模態和振動響應結果，則需兩種模型結構的剛度系數相同，即

假定多層結構總層數為N，對于對稱鋪層結構，關于中面相對稱的鋪層的剛度系數D_ij相同，因此僅需將一半結構的應力-應變關系矩陣疊加，取疊加結果的2倍為最終結果即可。因此假定多層結構中面在x軸正方向上的鋪層為第1層，公式（5）中應力-應變關系矩陣中各元素的表達式為

由上述理論分析過程可見：在復合板振動響應的一般計算中，剛度系數是通過在每個頻率點處進行逐層積分計算并疊加獲得的，而利用公式（8）和（14）是先進行簡單的疊加計算而后進行單層積分完成，因此，本等效計算方法能夠有效降低計算難度并提高計算效率。尤其是在建立有限元模型時，多層建模由于每層材料厚度極小，導致整體單元數巨大，采用等效建模方法可大大減少整體單元數量，且層數越多縮減幅度越大。關于計算時長的對比將在下節中的數例分析中體現。

2 等效簡化模型的有效性驗證及應用分析

2.1 數例計算及說明

本節以16層矩形碳纖維復合薄板模型為例，對于等效簡化模型的計算準確性和有效性進行初步的仿真驗證。板的邊界條件假定為四端固支，尺寸（以下默認長度單位都為mm）長×寬×高為400mm×300mm×3.2inm，每層材料參數及厚度均相同，即：E_α=116.35GPa，E_β=6.49GPa，v_αβ=0.29，G_αβ=3.85GPa，P=1450kg/m³，h_k=0.2.纖維鋪設排布為（45°/-45°/0°/90°/90°/0°/-45°/45°）_symmetry而由公式（14）計算得到的等效單層正交各向異性板模型的材料參數分別為E_x=38.6GPa，E_y=40.82GPa，v_xy=0.365，G_xy=19.32GPa，p=1450kg/m³。

在固支邊界條件下，公式（10）中x，y方向上的振型函數表達式分別為：

板上選取激勵點（x_e，y_e）和響應點（x_r，y_r）的位置分別為（100，160）和（316，74）。由板的各層材料參數和由公式（14）獲得的等效單層材料參數，分別計算多層纖維板和等效單層正交各向異性板的固有頻率以及板在激勵點與響應點位置處的輸入導納。同時使用商業軟件COMSOL 5.3aSolid模塊建立兩種板的有限元仿真模型，分別進行固有模態以及頻率響應函數的計算，計算結果對比如下。

表1和圖3，4中分別為多層纖維板有限元模型、等效單層纖維板的有限元模型以及多層和等效單層理論模型的計算結果，可見：四種模型的振動響應計算結果基本一致，從而較好地體現了該等效建模方式的有效性，尤其對于有著10層以上鋪層數的碳纖維復合板結構，該建模方式具有直接的理論借鑒意義。

2.2 計算耗時對比

為了進一步探討該等效建模方式所具有的計算優越性，本節采用商業軟件COMSOL 5.3a Solid模塊，先后建立了多層和等效單層纖維板有限元模型，針對纖維板鋪層層數和纖維板面積對兩種模型計算耗時的影響進行對比分析。所用計算機工作站內存為128GB，處理器是Inter i7-6800K CPU@3.40GHz。

首先保持纖維板面積為400×300mm²不變，每層厚度h_k=0.2mm，從4層開始逐漸增加鋪層層數至16層，得到兩種模型計算耗時比與鋪層層數的關系曲線，如圖5（a）所示。由圖可見，等效單層建模相較于多層建模計算時長縮短倍數在4層時為11倍，到了增加16層時為90倍。這是由于傳統多層建模方法的單元數隨鋪層層數的增加而增加，因此，計算時長也隨之增加;相比之下等效單層建模單元數不變，計算時長與層數無關，因而耗時能夠基本保持不變。

圖5（b）表示在纖維板層數為4層、每層厚度h_k=0.2mm的條件下，鋪層面積由400×300mm²逐漸增大所對應的兩種模型計算耗時比的關系曲線。結果表明，等效單層建模相較于多層建模計算時長縮短倍數維持在12倍左右。這是由于兩種模型單元數量均呈指數增長，所以等效多層和等效單層建模計算時長均隨面積增大而增加，盡管如此，等效簡化模型依然表現出了良好的計算優勢。

3 應用局限性分析

鋪層角度排布對多層纖維板的整體固有模態以及振動響應有著重要的影響，合理的排布才能滿足強度和穩定性要求。為了進一步了解本等效建模方法的計算精度受鋪層排布角度的影響關系，本文以下內容針對三種特殊鋪層的數例進行了仿真計算對比，以說明新建模方法的適用鋪層范圍。

數例采用長×寬尺寸為400×300mm²的矩形薄板，每層厚度和材料參數均相同，具體為：E_α=116.35GPa，E_β=6.49GPa，v_αβ=0.29，G_αβ=3.85GPa，p=1450kg/m³，h_k=0.2mm;三種纖維排布方式分別為θ=（0°/90°/0°/0°/90°/0°），（0°/45°/-45°/-45°/45°/0°）和（0°/45°/90°/90°/45°/0°）。采用兩種建模方式的有限元計算的固有頻率和振型對比情況如表2-4所示。

仿真計算結果表明：當多層纖維板的±45°鋪層數量不一致或±土45°總鋪層數量與0°和90°的總鋪層數量不一致時，兩種建模方式間有著較大計算差異。這是由于等效單層模型將多層纖維板等效為單層正交各向異性板，當多層纖維板的±45°鋪層數量不一致或±45°總鋪層數量與0°和90°的總鋪層數量不一致時，板總體表現為各向異性而非正交各向異性，因此在這兩種情況下本文的等效方法的計算精度降低。但由于上述兩種特殊情況并不符合實際工程中對于復合板的強度和穩定性要求，在實際工程中極少遇到，因此，實際碳纖維板的鋪層角度排布一般均能夠滿足本等效方法的計算有效性要求。

另外需要指出的是：本文所提出的簡化建模理論是以理想假定條件下的復合薄板動態特性為主要研究對象，即：不考慮復合板局部動態特性間的差異、不考慮復合材料非線性、不考慮材料特性及邊界條件的不確定性等。因此，該等效建模方法對于實際工程結構的有效性和適用性程度尚有待于進一步的理論發展及實驗驗證。

4 結論

本文以經典層合板理論為出發點，研究探討了對稱鋪設纖維復合板振動特性簡化等效模擬的新理論方法，依據經典層合板建模理論中鋪層材料參數與復合板剛度系數間的理論關系，推導出了復合板等效剛度的簡化計算表達式，從而能夠在保持剛度系數不變的情況下，將對稱鋪設碳纖維復合板建模簡化為單層纖維板建模。解析和有限元數例計算均表明：模型等效前后計算得出的固有模態和振動響應均有著較好的一致性，且新模型亦能夠有效適用于工程中常用的10層以上的對稱鋪設纖維復合板的振動特性模擬。同時，通過鋪設層數和鋪設面積對于新模型計算時長的影響的數例研究，初步展示了新模型優良的計算性能。最后，對于新模型的應用條件及適用范圍以數例計算的形式進行了簡要闡述和說明。本研究為進一步開展多層碳纖維板結構的聲振特性研究提供了有力的理論建模及分析預測工具。