離散數學課程教學目標的細化與課程內容整合

周曉聰 喬海燕 李綠周

[摘 要] 針對離散數學課程主題多、內容抽象，從而使得課程教學內容選材目的不明確，課程內容之間以及與計算機專業其他課程聯系不夠緊密等問題，提出應該圍繞培養學生離散建模能力這一核心目標，對計算機專業的離散數學課程教學目標做進一步的細化，并基于細化的教學目標對課程內容進行整合，強化課程內容各主題之間的聯系以及與程序設計課程之間的聯系。

[關鍵詞] 離散數學;課程教學目標;課程內容整合

一、引言

離散數學是計算機類專業的核心基礎理論課程，包括數理邏輯、集合論、圖論、組合數學、數論、抽象代數多個主題，是計算機類專業許多核心課程，如數據結構、編譯原理、數據庫原理、人工智能等的先導課程[1]。

離散數學課程由于涉及多個主題，因此不同教材、不同學校和教師在課程內容選取方面存在很大差異。雖然傳統上大家都認為數理邏輯、集合論、圖論和代數系統是離散數學的核心模塊，但是課程中是否還應該包含證明方法、算法、數論或者組合數學等則存在分歧，而且即使是數理邏輯、集合論、圖論或代數系統這些核心模塊，到底應該講授哪些內容也沒有明確的標準。這不僅使得教師在選擇教材時有些困難，也使得學生覺得課程內容比較“散”，很難抓住課程的重點，加上課程內容本身也比較抽象，更降低了學生的課程學習興趣[2，3]。

為解決這個問題，需要進一步思考離散數學課程的教學目標，并對教學目標進行細化，使得課程內容的選材能夠緊緊圍繞教學目標進行，并在此基礎上對課程教學目標達成度進行量化評價，以適應新工科形式下課程教學質量的監控[4]。

離散數學課程的核心目標是培養學生的離散建模能力[5]，應對該教學目標做進一步的細化，將離散數學的課程內容更緊密地結合在一起，并強化與計算機學科其他專業課程的聯系。在細化課程教學目標的基礎上，還要量化評價課程目標達成度。

二、課程目標細化

在新工科建設背景下從工程教育的角度探討課程的教學目標，就是要從工科專業畢業學生所要制作產品的構思、設計、實現和運行所需要的知識和技能出發，思考課程講授的知識和培養的能力在信息技術產品的生命周期中所能發揮的作用。信息技術產品，包括軟件產品、硬件產品或軟硬件結合產品的構思、設計、實現和運行的生命周期過程中最核心的內容是離散模型的構建與轉換。信息技術產品必然涉及計算機的應用，因此信息技術產品的構思和設計必然是對所要解決工程問題的離散建模，實現和運行是將這樣的離散模型轉換為在計算機平臺上實現和運行的軟件或硬件。按照教育部高等學校計算機科學與技術專業教學指導委員會編著的《高等學校計算機科學與技術專業人才專業能力構成與培養》中對計算思維能力的能力點描述，其中最基本的能力也是離散模型的構建與運行[6]。

如果說離散建模能力是計算機類專業學生制造信息技術產品所需要的最基礎的能力，那么離散數學課程則是培養學生離散建模能力的基礎課程，因此應當將培養學生離散建模能力作為離散數學課程的核心教學目標[5]。

為了將離散數學課程教學內容進行整合，使得教師在選擇教材和教學內容方面目標更為明確，需要圍繞這一核心教學目標做進一步的細化。離散數學課程首先應為建立離散模型提供包括邏輯語言、集合語言、算法語言、圖論語言和代數語言在內的離散數學語言描述離散模型，其次應初步樹立學生的離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化的計算機專業意識，并培養學生運用關系思維、邏輯思維、計算思維、量化思維和遞歸思維等思維方式去建立離散數學模型的初步能力。

語言、思維和意識既有區別也有聯系，但這是哲學家討論的事情，這里只是想強調語言是一種表達與交流的工具，思維則是一種活動與過程，而意識則是一種觀念與態度。對于一個離散數學模型而言，粗略地說，它不僅包括構成模型的元素和元素之間的構成結構，也包括模型為完成某種功能或解決某個問題而實施的操作或說行為。模型元素和模型結構是模型靜態的一面，而模型行為是模型動態的一面。最后，一個模型之所以是完成某種功能或解決某個問題的模型，它的結構和行為必然要滿足某種約束。因此，具體來說，圍繞離散建模所需要的語言就是用于描述模型元素、結構、行為和約束的詞匯或符號體系，所需要的思維方式則指引人們如何去得到模型的元素、結構、行為和約束，而所需要的意識則決定人們以怎樣的價值觀念去看待得到的模型元素、結構、行為和約束，也即以怎樣的方式去描述模型元素、結構、行為和約束才是人們心目中“好”的模型。

因此，熟練掌握邏輯語言、集合語言、算法語言、圖論語言和代數語言等離散建模語言是離散數學課程的核心知識性目標，而初步具備離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化的專業意識，能初步運用關系思維、邏輯思維、計算思維、量化思維和遞歸思維去構建離散模型是離散數學課程的能力性目標。這些語言、思維和意識的講授、運用和培養緊扣離散數學課程的教學目標，也是將離散數學課程教學內容緊密結合在一起的紐帶。

這些離散數學語言為描述離散模型的元素、結構、行為和約束提供了一些基本方法，以及基于基本方法描述更復雜的模型元素、結構、行為和約束的復合方法。

邏輯語言用于描述模型的約束，其核心詞匯是“命題”和“真值”，它提供的邏輯運算和量詞用于從原子命題構造復合命題，表達模型的約束。集合語言用于描述模型的元素與結構，核心詞匯是“集合”“函數”與“關系”，提供了集合、函數和關系的運算以描述模型中復雜的元素和結構。算法語言用于描述模型的行為，核心的詞匯是“指令”“輸入”和“輸出”，提供了順序、分支和循環三種控制結構從基本操作（指令）構造復雜的操作以描述模型的復雜行為。圖論語言可用于可視化地描述模型的結構，核心詞匯是“頂點”“邊”和“關聯”，提供了對頂點與邊之間的關聯進行約束，以及在頂點和邊上附加結構的方式用于描述模型的復雜結構。代數語言可用于描述模型的結構與約束，核心詞匯是“運算”“代數”和“同態”，代數的構造可用于刻畫模型的復雜結構，代數同態以及運算所滿足的規律可用于刻畫模型及模型之間滿足的約束。

在這些離散數學語言中，邏輯語言、集合語言和算法語言是核心，可以說，任何離散模型的描述都離不開邏輯、集合和算法。圖論語言和代數語言是拓展，圖論語言豐富了模型結構的描述方式，并使得模型的結構可更具體地、形象地展示，代數語言則可提升模型結構描述的抽象層次，使得可以更深層次地思考模型元素之間的關系，以及模型與模型間的關系。

關系思維、邏輯思維、計算思維、量化思維和遞歸思維指導人們如何理解、組織和運用離散數學語言去構建模型。在對應用問題進行建模時，這些思維方式的運用可以幫助或指導人們能更好地找到建模的切入點，并使得自己的思考更為周密、嚴謹。

關系思維強調建模時要抓住事物之間的關鍵關系。實際上，模型的結構就是模型元素之間某種關系的總和。邏輯思維是關系思維的深化，強調對模型的性質與約束應該使用嚴謹的邏輯語言表達，并要認真考察它們之間的邏輯關系，特別是命題之間的推理關系。計算思維強調要關注模型的可實現性，模型元素及其結構應該是離散化表示并且能在計算機中存儲，模型動態行為應該有明確的算法，在確定模型基本操作的基礎上使用算法語言嚴謹地描述。量化思維強調要關注模型的規模以及模型動態行為的效率。對于離散模型，量化思維是一種重要的思維方式，因為這時模型的元素和行為是離散化的，計算模型元素個數及行為的步驟數不僅可行，而且對于使用計算機進行求解也十分重要。遞歸思維強調要關注模型在結構或行為方面的自相似性，思考如何將大規模的模型結構或行為歸結為小規模的模型結構或行為，從而簡化或者更自然地描述模型結構或行為。

關系思維和邏輯思維顯然是人們在構建模型時最常用的思維，而計算思維、量化思維和遞歸思維則是計算機專業學生構建離散模型時重要的思維方式，它們注重模型的計算機實現及其效率等問題。

離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化是在構建離散數學模型時應該樹立的計算機專業意識，引導人們去構建有利于計算機自動實現的“好”模型。正如《普通高等學校本科專業類教學質量國家標準》計算機類專業質量標準中所指出的，培養學生樹立這些專業意識是計算機專業基本的畢業要求之一。

離散化意識引導人們在建模時將復雜的問題進行分解，從而清晰地羅列和枚舉模型的元素、結構、行為和約束。模塊化意識引導人們在建模時思考模型元素間關系的緊密程度，盡量將要考慮的范圍局部化，從而更好地把握住復雜的問題。層次化意識引導人們在對復雜問題進行分解時應該逐步求精和細化，從而形成不同的抽象層次。公理化意識引導人們在繁雜的模型元素、結構、行為或約束中找到最基本的構件，并思考是否存在利用基本構件構造復合構件以描述復雜的模型元素、結構、行為和約束的規則。系統化意識引導人們將模型的元素、結構、行為或約束從某種角度進行系統化的思考，形成有機整體，從而不遺漏、不重復，使得模型能在某種程度上全面地刻畫要解決的問題。

可以說，這些專業意識的核心在于引導人們如何對復雜的問題進行建模，離散化、模塊化、層次化體現了利用計算機求解問題時自頂向下分解逐步求解的基本思想，公理化和系統化則進一步提升人們對復雜問題的全面把握和深刻理解。

三、課程內容整合

傳統上離散數學包含多個主題，不同的離散數學教材選取的內容有較大的差異，多數離散數學教材給出的不同主題的知識內容之間聯系也不夠緊密，使得學生在學習時不僅難以抓住課程內容的重點，也無法將課程內容構建成完整的知識體系。

基于《普通高等學校本科專業類教學質量國家標準》的計算機類專業質量標準和工程教育專業認證對計算機類專業畢業生的畢業要求，特別是新工科背景下對離散數學這樣的計算機專業基礎課程的要求，應該以培養學生的離散建模能力作為離散數學課程的核心教學目標，并進一步細化為課程教學應使學生能熟練掌握邏輯語言、集合語言、算法語言、圖論語言和代數語言等離散建模語言，初步具備離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化的專業意識，并能初步運用關系思維、邏輯思維、計算思維、量化思維和遞歸思維構建離散模型。

基于上述細化的課程教學目標，可以對課程內容進行更好的整合。具體來說，課程內容選材的目的可以更明確，標準可以更清晰，課程內容之間的聯系可以更緊密，與其他課程，特別是程序設計課程之間的聯系也可以更密切。

將課程教學目標細化為讓學生熟練掌握邏輯語言、集合語言、算法語言、圖論語言和代數語言等離散建模語言，這使得在課程內容選材方面目的更為明確，即離散數學課程的知識內容主要是作為描述離散模型的語言，并圍繞模型元素、結構、行為和約束如何表達和分析進行展開。例如，邏輯語言的核心是用于表達模型約束的命題以及它的真值如何確定，因此離散數學課程的命題邏輯和謂詞邏輯部分都要圍繞這個核心來選材，像邏輯的形式化演算系統，特別是它的元性質的討論就不應該屬于離散數學課程討論的內容;集合語言的核心是用于表達模型元素的集合、表達模型結構的關系和函數，以及如何確定集合的元素和不同集合元素之間的對應，因此就不需要探討公理集合論;算法語言的核心是用于表達模型行為的基本操作及其控制結構，因此在課程中應明確給出描述算法控制結構的方法，并在給出具體算法時明確算法的基本操作;圖論語言的核心是使用頂點、邊及它們之間的關聯關系表達模型的結構，因此在討論樹、平面圖、歐拉圖、哈密頓圖等特殊圖的時候應該從如何給頂點、邊、關聯關系附加更多的約束和結構從而豐富模型結構的表達角度來進行;代數語言的核心是代數運算及其性質以及代數之間的同態，因此群、環、域具體的代數系統至多作為代數系統的例子而不應該對它們本身的理論做過多的闡述。總之，離散數學課程應該從將邏輯、集合、算法、圖論和代數這些主題的相關知識作為表達與交流語言的目的去選材，而無須過于深入地探討這些主題本身的理論。

在確立課程內容選材的主要目的是展示邏輯、集合、算法、圖論和代數如何作為數學語言去描述離散模型之后，對于課程具體內容的選材標準應該是內容是否有利于培養學生的關系思維、邏輯思維、量化思維、計算思維和遞歸思維等離散數學思維方式和樹立學生的離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化等計算機專業意識。例如，邏輯公式之間的等值、推理（蘊含）關系、代數之間的同態，以及邏輯運算、集合運算、關系運算、函數運算、遞歸與遞推等都體現了關系思維;基本的證明方法和歸納證明思想等對如何進一步運用邏輯思維非常有幫助;基本計數方法是培養學生量化思維的主要途徑;構造驗證邏輯推理有效性的形式證明序列對于培養學生的模塊化、層次化、公理化和系統化的專業意識也非常有用。最后，離散數學許多內容都涉及算法，或者使用計算機程序幫助學生學習離散數學知識都有助于培養學生的計算思維，與此同時，教師在討論這些內容時也要特別注意引導學生樹立離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化等專業意識。

對課程教學目標的細化也有利于強化各主題之間的聯系。將離散數學的核心主題作為離散數學建模語言進行講授，并且從是否有利于培養學生的離散數學思維方式和計算機專業意識本身選材就使得這些主題的知識內容通過離散數學模型的描述、建模過程與分析等結合在一起。進一步，從培養學生離散思維方式的角度可以進一步地挖掘各主題之間的聯系。例如，利用關系思維，可從代數同態的角度探討邏輯運算與集合運算之間的聯系，而對于集合、關系和函數的性質可讓學生討論如何使用嚴謹的邏輯語言表示;對于證明方法，包括歸納證明的討論應該注重與邏輯，特別是驗證推理有效性的形式證明序列的構造相聯系。總之，在離散數學的各個主題，可都注重邏輯語言、集合語言、算法語言、圖論語言和代數語言的應用，從而將各個主題的知識更加有機地聯系在一起。

最后，對課程教學目標細化的探討也有助于強化離散數學課程內容與其他計算機專業課程，特別是程序設計課程之間的聯系。離散數學課程一般在本科一、二年級開設，對于這時的計算機專業學生而言，程序設計課程是他們最重要的專業課程，因此強化離散數學課程與程序設計課程之間的聯系既可行又必要。一方面，離散數學課程中計算思維的培養顯然有助于程序設計課程的學習，算法、證明的書寫與程序的編寫一樣需要注重自頂向下分解逐步求解，以及離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化意識的運用，進一步，針對邏輯思維、計算思維、遞歸思維等的培養最好能以程序的理解、分析和設計作為例子，使得學生能運用離散數學知識更好地理解程序的設計與運行。另一方面，離散數學課程也需注重算法的實現以及可視化演示，幫助學生形象地、直觀地學習離散數學知識，提高學生的課程學習興趣。

四、結語

離散數學是計算機專業的核心基礎課程，但是傳統上離散數學包含多個主題，課程內容多而雜，而且它們之間的聯系比較松散。對課程目標進行細化有助于明確課程內容選材的目的和標準。將新工科背景下離散數學課程的核心目標應定位為離散建模能力的培養，并進一步細化為讓學生熟練掌握邏輯語言、集合語言、算法語言和代數語言，并培養學生運用關系思維、邏輯思維、量化思維、計算思維和遞歸思維的能力，樹立學生離散化、模塊化、層次化、公理化和系統化的計算機專業意識。

基于細化的教學目標，我們對離散數學課程內容的選材目的和標準，以及如何加強離散數學課程內容之間的聯系和離散數學課程與程序設計課程之間的聯系進行了探討。下一步，將基于對離散數學課程教學目標和課程內容選材目的和標準的探討，編寫在新工科背景下以培養學生離散建模能力為目標的離散數學教材，并進一步探討如何將課程教學目標進行量化，以定量地評價教材使用效果和課程教學目標的達成度。

參考文獻

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