最速降線問題

摘 要：笛卡爾坐標系也叫作直角坐標系可以由直角三角形Rt△ABC相互垂直的兩條直角邊沿長線確定。直角三角形Rt△ABC中兩個銳角分別是α和β，假設坐標系（a）由α和β確定，讓直角三角形Rt△ABC做放大和縮小，從坐標變換的角度論述了坐標系（a）與笛卡爾坐標系的關系。

關鍵詞：勾股定理;坐標變換;光

我們如何認識光，1925年法國物理學家德布羅意提出所有物質都具有波粒二象性的理論。由于愛因斯坦對光的思考，提出廣義相對論;由人們對黑體輻射的思考，1900年普朗克引入能量量子化理論，愛因斯坦提出光量子假說解決光電效應問題，隨后建立量子力學。廣義相對論和量子力學是現代物理學的兩大基石。她們和光有著千絲萬縷的關系。

我不禁要問光是事物產生的根源嗎。我們如何認識自己，以銅為鏡，可以正衣冠;以人為鏡，可以明得失;以史為鏡，可以知興替;這是唐太宗的名言。人法地，地法天，天法道，道法自然，出自老子的《道德經》。

在空間平面內存在兩點A和B，B是要比A低的。然后有一個小球想從A滑到B去，假設我們只考慮重力，不計摩擦力的情況下現在讓你設計一條路徑，在什么樣的路徑才能夠保證小球從A到B的時間最短呢？

約翰伯努利對最速降線問題的解非常巧妙：如果使分成的層數n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質點的運動便趨于空間A，B兩點間質點運動的真實情況，此時折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線（最速降線）。而折線的每一段趨向于曲線的切線，因而得出最速降線的一個重要性質。任意一點上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點落下的高度的平方根的比是常數，具有這樣性質的曲線就是擺線，它是一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡。

【例1】

（1）光的反射

（2）光的折射

光在介質1中傳播的距離s1=AO，速度vA，時間t1=s1vA;光在介質2中傳播的距離s2=OB，速度vB，時間t2=s2vB;函數T=s1vA+s2vB存在最值。

光從空間的一點到另一點，是沿著光程為極值（最小、最大或常量）的路程傳播的，這是費馬原理。約翰伯努利正是受此啟發解出擺線方程。

設水平移動距離記為dx，豎直移動距離記為dy，斜邊記為ds;滿足勾股定理即（ds）2=（dx）2+（dy）2，擺線方程dx=yD-ydy，（D是豎直移動最大距離）。

參考文獻：

[1]鐘玉泉.《復變函數論》第四版.

[2]歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋.《數學分析》第三版.復旦大學數學系.

作者簡介：

王淑斌，山東省青島市，太平洋恩利食品有限公司。