最速降線問題

摘 要：笛卡爾坐標(biāo)系也叫作直角坐標(biāo)系可以由直角三角形Rt△ABC相互垂直的兩條直角邊沿長線確定。直角三角形Rt△ABC中兩個(gè)銳角分別是α和β，假設(shè)坐標(biāo)系（a）由α和β確定，讓直角三角形Rt△ABC做放大和縮小，從坐標(biāo)變換的角度論述了坐標(biāo)系（a）與笛卡爾坐標(biāo)系的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：勾股定理;坐標(biāo)變換;光

我們?nèi)绾握J(rèn)識(shí)光，1925年法國物理學(xué)家德布羅意提出所有物質(zhì)都具有波粒二象性的理論。由于愛因斯坦對(duì)光的思考，提出廣義相對(duì)論;由人們對(duì)黑體輻射的思考，1900年普朗克引入能量量子化理論，愛因斯坦提出光量子假說解決光電效應(yīng)問題，隨后建立量子力學(xué)。廣義相對(duì)論和量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)的兩大基石。她們和光有著千絲萬縷的關(guān)系。

我不禁要問光是事物產(chǎn)生的根源嗎。我們?nèi)绾握J(rèn)識(shí)自己，以銅為鏡，可以正衣冠;以人為鏡，可以明得失;以史為鏡，可以知興替;這是唐太宗的名言。人法地，地法天，天法道，道法自然，出自老子的《道德經(jīng)》。

在空間平面內(nèi)存在兩點(diǎn)A和B，B是要比A低的。然后有一個(gè)小球想從A滑到B去，假設(shè)我們只考慮重力，不計(jì)摩擦力的情況下現(xiàn)在讓你設(shè)計(jì)一條路徑，在什么樣的路徑才能夠保證小球從A到B的時(shí)間最短呢？

約翰伯努利對(duì)最速降線問題的解非常巧妙：如果使分成的層數(shù)n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)便趨于空間A，B兩點(diǎn)間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)情況，此時(shí)折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線（最速降線）。而折線的每一段趨向于曲線的切線，因而得出最速降線的一個(gè)重要性質(zhì)。任意一點(diǎn)上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點(diǎn)落下的高度的平方根的比是常數(shù)，具有這樣性質(zhì)的曲線就是擺線，它是一個(gè)圓沿一直線緩慢地滾動(dòng)，則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡。

【例1】

（1）光的反射

（2）光的折射

光在介質(zhì)1中傳播的距離s1=AO，速度vA，時(shí)間t1=s1vA;光在介質(zhì)2中傳播的距離s2=OB，速度vB，時(shí)間t2=s2vB;函數(shù)T=s1vA+s2vB存在最值。

光從空間的一點(diǎn)到另一點(diǎn)，是沿著光程為極值（最小、最大或常量）的路程傳播的，這是費(fèi)馬原理。約翰伯努利正是受此啟發(fā)解出擺線方程。

設(shè)水平移動(dòng)距離記為dx，豎直移動(dòng)距離記為dy，斜邊記為ds;滿足勾股定理即（ds）2=（dx）2+（dy）2，擺線方程dx=yD-ydy，（D是豎直移動(dòng)最大距離）。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.《復(fù)變函數(shù)論》第四版.

[2]歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋.《數(shù)學(xué)分析》第三版.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.

作者簡介：

王淑斌，山東省青島市，太平洋恩利食品有限公司。