初等行變換化矩陣為行最簡形的方法與技巧

王炳濤

（山東交通學院威海校區基礎教學部 山東·威海 264209）

0 引言

線性代數是大學數學中一門重要的公共基礎課，在自然科學和社會科學領域有著廣泛應用，其中的概念和思想方法是理工類和經管類專業學生的必備知識和重要數學工具。由于該課程教學課時少，教材內容抽象，題目運算量大，方法靈活多變，導致學生掌握程度偏低，在后續的專業課學習中不能學以致用。[1]

在線性代數中，矩陣的行最簡形是對矩陣作初等行變換之后得到的一類特殊矩陣，它凸顯了原有矩陣的核心性質[2]。利用初等行變換將矩陣化為行最簡形是非常重要的方法，貫穿整個線性代數理論體系，可以說，只要能熟練掌握化行最簡形的方法就能解決線性代數中大部分的計算問題。在教學過程中筆者發現，大部分學生能記住行最簡形矩陣的特點，但是在利用初等行變換化行最簡形時卻非常吃力，步驟過多，正確率很低，究其原因主要是學生對一般的操作流程掌握不足，理解不充分，并且過多過早的使用分數，導致運算量大，出錯率高。本文給出化矩陣為行最簡形的一般流程，并提供一種避免出現分數的化簡技巧，能大大提高學生化簡的效率，降低出錯率。

1 預備知識

1.1 行最簡形矩陣的特點

行最簡形矩陣具有以下三個特點：

（1）如果存在全零行，則全零行都位于矩陣非零行的下方；

（2）從上到下，各非零行的首非零元（從左邊數第一個非零元素，也稱為主元）左邊零元素的個數在嚴格增多；

（3）各行首非零元都為1，并且這些首非零元1所在列其余元素都為零。

例如，以下矩陣都為行最簡形矩陣：

如果矩陣只滿足上述（1）（2）條，也稱為行階梯形矩陣。顯然行最簡形矩陣是特殊的行階梯形矩陣，因此一般情況下要將矩陣化為行最簡形就要先將其化為行階梯形。行階梯形矩陣的特點可簡單描述為：從上到下，首非零元的列標在嚴格增大并且首非零元下方元素為零。從行最簡形矩陣的特點我們知道，化成行階梯形后還需要把各行首非零元上方元素化為零，最后把各行首非零元化為1即可。

1.2 矩陣的三種初等行變換

為便于讀者理解，我們給出矩陣的三種初等行變換：

2 初等行變換化矩陣為行最簡形的方法與技巧

2.1 初等行變換化矩陣為行最簡形的基本步驟

根據以上分析，我們將初等行變換化矩陣為行最簡形的步驟總結如下：

（1）用對換變換使得矩陣的全零行在非零行的下方，各非零行按照其首非零元的列標從小到大排序，首非零元列標相同的行相鄰；

（2）從第一個非零行開始依次向下，將各行首非零元下方同列的元素用倍加變換化為0，變換過程中若出現全零行應換到非零行下方；

（3）從最后一個非零行開始依次向上，將各行首非零元上方同列的元素用倍加變換化為0；

（4）用倍乘變換把各非零行的首非零元化為1。

上述步驟可簡單概括為“先把行排序，逆時針化零，主元同化一”。這個步驟與求解線性方程組的高斯消元法異曲同工，一定可以把矩陣化為行最簡形，但是若嚴格用這個步驟化行最簡形運算量較大，并非最優方法。

2.2 初等行變換化矩陣為行最簡形的幾點技巧

化行最簡形的過程中要想減少運算量提高正確率，必須對步驟適當做出調整，具體如下：

第一，在利用首非零元將某些元素化零之前，可以先把首非零元化為1，這樣就能避免在變換過程中出現分數或者過早的出現分數；

第二，將首非零元化為1后，在利用這個1將下方同列的元素化零時也可以同時把其上方同列的元素化零；

第三，在利用首非零元將下方同列的元素化零時可以不必先將首非零元化為1，而是借助最小公倍數，有時也很方便。

3 算例

本節通過給出四個具體算例來說明初等行變換化矩陣為行最簡形的方法和技巧，首先給出一個一般情形下的算例。

然后根據前述變換原則執行以下步驟：

可以看到，例1在化簡過程中前兩行首非零元通過對換變換就能得到1，第三行首非零元通過簡單的倍乘變換也容易得到1，但是還有很多矩陣的首非零元并不能輕易用對換變換和倍乘變換化為1，而要采用倍加變換才可以做到，我們給出下邊的例子。

解：法一 先用對換變換將矩陣的行排序，原矩陣化為

此時應先把第一行首非零元3用倍加變換化為1，步驟如下

然后用同樣的思路把第二行首非零元9化為1，步驟如下

法二先化0后化1，從行排序后開始給出后續步驟[5]

本例法一在將首非零元化為1時采用的是倍加變換，法二沒有先將首非零元化為1，而是借助最小公倍數的思想利用首非零元把下方同列元素化為零，最后再把首非零元化為1，顯然法一比法二更簡便，也更容易掌握。下邊給出常見情形的算例，進一步說明上述化行最簡形矩陣的步驟和技巧。

本例在變換過程中，我們觀察到第三步矩陣的第三行只要同除以2就能將首非零元化為1，這樣做略微簡單，但是有一定偶然性，不具有一般性，因此我們建議按照上述步驟來化最簡形矩陣。

分析：本例容易觀察到，第一列元素的最大公約數為25，利用第一行的首非零元25就很容易把下方同列元素化為0，因此第一步不需要把第一行首非零元化為1，事實上，如果先將其化為1，步驟就會很繁瑣。

本題具體步驟省略，答案如下，僅供參考，

4 結束語

本文詳細闡述了利用初等行變換將矩陣化為行最簡形的具體方法和化簡技巧，給出了幾個典型例題來說明所述方法和技巧，希望能給學習該課程的高校學生和講授該課程的教師一點啟發和幫助。