培養平面向量語言能力的目標與手段

沈 健

(江蘇省太倉高級中學 215411)

數學語言能力的培養是數學教育的重要任務之一，它是數學素養的關鍵因素.平面向量(以下不特別說明，向量均指平面向量)有著豐富的圖形內涵和縝密的運算特征，因此它是除解析法之外，聯系代數和幾何最有效的工具，它能把抽象問題直觀化，充分體現了數形結合思想.向量的數學價值及向量學習價值的體現，必須以向量語言為載體，以向量語言能力的培養為目標.

1 向量語言和向量語言能力

1.1 向量語言的內涵

圖1

向量語言是描述向量的概念、關系、運算和規律，且具有特定形式的一種數學語言.這里的特定形式主要包括文字形式和符號形式.如在描述兩向量a,b的共線關系時，可以有以下不同的形式：①文字形式：向量a,b共線； ②符號形式：a∥b或者a=λb(b≠0,λ∈R且唯一)；③圖形形式：如圖1.

從語言的內涵來看，向量語言有表示抽象概念的，如0表示零向量；有表示關系的，如a=-b表示兩向量互為反向量；有表示向量運算的，如a·b表示兩向量作數量積運算；有表示規律的，如λa=aλ表示實數與向量的積滿足交換律.以上諸例體現出向量語言形式的多樣性和內涵的豐富性，它是描述向量內容的工具，是向量思想方法建立的載體.

1.2 向量語言能力

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)[1]在課程目標中明確闡述了在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養，提高從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題的能力；同時在主題三“幾何與代數”說明中提出，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力.

《標準》對向量語言能力的要求是非常明確的，而對于利用向量推理論證、運算求解、關系處理、用向量的方法處理實際問題等一系列的與向量有關的能力，必須建立在一定水平的向量語言能力之上，它是形成和提高其他能力的基礎和必備條件.向量的語言能力應該包括以下不同的幾個方面：①對向量抽象符號意義理解的能力；②對向量語言內涵挖掘的能力；③向量語言的各種形式之間的轉化能力；④把向量語言轉化其他數學語言的能力；⑤利用向量語言進行推理論證、運算求解的能力；⑥在向量思想方法的指導下利用向量語言解決問題的能力.向量語言能力的形成，有助于對向量知識的理解和深化，有助于學生思維能力的培養和提高，有利于培養學生的數學基本素質.

2 向量語言能力的培養目標

針對向量語言能力的不同側面，在學生原有知識結構和認知規律的基礎之上，向量語言教學應該注重以下幾個方面：①了解向量豐富的實際背景，經歷從具體問題抽象出向量概念和符號的過程，理解向量符號的內涵，建立符號感；②在實際問題背景中，理解幾種向量運算的運算法則、運算律及其幾何意義，并能用向量語言的坐標形式進行各種向量運算；③能嫻熟地在向量語言的各種形式間相互轉換；④能夠將向量語言轉化為圖形、坐標、方程等其他可操作的數學語言，形成語言轉化意識；⑤通過向量語言的學習和使用，體會向量語言的簡潔性、準確性、多樣性及深刻的內涵性和廣泛的應用性，從而形成用向量的思想方法思考和解決問題.

3 向量語言能力培養的手段

3.1 理解概念內涵，諳熟符號表達

深刻理解概念、法則、規律的內涵，諳熟它們的符號表達形式，是向量語言能力形成和提高的基礎及保證.符號以及符號構成的表達式是向量語言的主要表述形式，幾乎所有的向量內容都有其固定的符號描述.所以對相關符號的意義的理解是使用向量語言、形成向量語言能力的基礎.在教學過程中，應注意以下兩個問題.

②注意形式相近易混淆的向量語言.向量語言中有很多形式相近的內容，在學習過程中必須要在透徹理解有關內容的基礎上加以明確區分，若不然肯定會影響語言能力的形成和發展，它往往是阻礙語言能力發展的一個重要的障礙.比如兩向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b?x1y2-x2y1=0，而a⊥b?x1y1+x2y2=0，很多學生容易混淆兩種位置關系的等價條件，像這樣易混的語言形式應強化區分，以保證向量語言的準確使用.

3.2 重視向量語言的理解和轉化

由于向量語言具有高度的抽象性，所以在具體應用時，必須轉化為具體、形象的可操作性語言.這是向量語言能力的關鍵因素.而轉化建立在對向量語言含義有深刻理解的基礎之上.以下列舉一些向量語言與圖形、坐標及方程語言間的常見轉化[2].

(3)以線段AB為直徑的圓過點P?(xA-xP)(xB-xP)+(yA-yP)(yB-yP)=0.

以上轉化說明向量語言具有豐富的內涵，但在具體應用的時候，適當的形式變化是十分有必要的.由于向量語言是抽象簡潔的(這也是向量語言美的體現)，往往給理解帶來麻煩，此時可以將其轉換為圖形語言，便于理解向量語言所描述的數量和位置關系，進而把問題直觀化.同時，向量語言有廣泛的應用性.做為工具，它最重要的價值體現在，用數的方法處理幾何圖形問題.可見，將向量語言轉化為坐標和方程語言是十分必要的，這有利于進一步用解析法處理幾何問題.

3.3 注重向量語言的表達

數學表達能力是數學語言能力的最直接的體現，華羅庚先生曾教育中學生在數學表達上要“想得清楚，說得明白，寫得干凈”[3].在教育實踐中我們發現，向量語言表達得準確與否是影響解題能力的關鍵.如在向量運算的教學中，對于實數與向量的積一定不能簡稱為向量的數量積，它們是明顯不同的兩個概念.再如，向量a在向量b上的投影與射影，一字之差卻有著質的區別.投影是個數量，而射影卻是幾何圖形.對于這些概念的語言描述，應該做到準確描述，正確使用.另外，還有些問題也值得關注：增減條件、不設先用、以圖代算、語意含糊等[3].對于這些問題，可以針對平時課堂發言、課后作業和考試練習中暴露出的問題及時糾正，認真講評，保證言必有據， 培養學生良好的語言習慣，促進表達能力的提高；經常要求學生口述某些數學內容， 如公式、結論以及推導過程，以促進學生學習、記憶、理解、應用向量語言.

3.4 強化向量語言的應用意識

平面向量的圖形內涵及其豐富的運算性質決定了向量語言具有廣泛的適應性，它可以滲透到中學數學的各個主干知識中去.除此之外，它在物理中也有體現.以下僅就題目設置與向量語言的關系舉例說明.

·三角中的向量語言

說明 用向量語言描述三角形中元素的特征.

·函數中的向量語言

例2(2006·湖北理16題)設函數f(x)=a·(b+c)，其中向量a=(sinx,-cosx)，b=(sinx, -3cosx)，c=(-cosx,sinx)，x∈R.(1)求函數f(x)的最大值和最小正周期；(2)將函數f(x)的圖象按向量d平移，使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的d.

說明 向量語言構造函數，考查函數圖象的變換，解決問題的關鍵是合理使用向量語言.

·數列中的向量語言

說明 以函數為背景，用向量語言和向量的方法構造數列.

·不等式中的向量語言

說明 巧妙地構造向量，讓a+2b具有明確的向量意義，使抽象的不等式證明變得直觀.

·解析幾何中的向量語言

A.9 B.6 C.4 D.3

說明 用向量語言確定曲線上點的位置時，關鍵是深刻理解向量語言的內涵，將其轉化為點的特征.

·線性規劃中的向量語言

圖2

說明 本題以平面向量為載體，在考查平面向量運算法則的同時，著重考查在給定區域內的點的線性表示問題.由于題型設計新穎，且所給圖形不一般，所以處理起來難度較大.

·物理中的向量語言

教材中在引入向量的概念時就列舉了大量的物理中的力、速度、加速度等實際背景，在向量運算的引入時分別用了力的合成和分解以及功為背景.所以在物理中使用向量語言是自然的，這也是數學應用的體現，是學科整合的要求.現列舉一例來說明問題.

圖3

例8如圖3,在加速行駛的火車上固定一個斜面，斜面的傾角為θ，有一物體置于斜面上.若火車加速度小于某一值a0， 物體就會下滑.設物體質量為m，物體與斜面間的摩擦因數為μ，求a0.[4]

解設物體的重心為點O，以過點O與斜面平行的直線為x軸，與斜面垂直的直線為y軸建立坐標系.設重力為G，斜面對物體的支持力為N，摩擦力為f，慣性力為F，則|G|=mg, |f|=|N|μ, |F|=ma0.由平衡原理列方程：

說明 借助向量語言，利用向量的思想方法解決物理問題.

3.5 注意向量語言能力形成的幾種障礙

向量語言能力的提高是循序漸進的過程，應該有計劃、有步驟，由簡單到復雜，由低級到高級，由靜止到運動組織教學.需要學生通過讀向量、寫向量、說向量、閱讀理解、交流討論等方式，逐步提高正確運用向量語言的能力.在這個過程中，以下幾種常見的語言障礙值得我們注意.

·向量語言轉換障礙 它是指學生在不同表達形式的向量語言之間，或在向量語言和其他形式的數學語言進行轉換時產生了困難.如前所述，在向量的教學過程中，應該加強語言間轉化的訓練，形成較強的語言轉化能力是向量語言能力的核心問題.

·向量語言操作障礙 它是指學生在運用向量語言進行推理 、運算的過程中出現錯誤的現象.例如，很多學生通常會犯a·b=a·c?b=c和a·b=0?b=0或a=0的錯誤.這首先說明了對向量基本運算的理解不夠透徹，其次也體現了對向量語言本質的內涵的理解不夠.