人教A版數(shù)學(xué)教科書“統(tǒng)計與概率”中的情境設(shè)置及啟示*

童曉玲 唐恒鈞

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、其他學(xué)科間的關(guān)聯(lián)是新世紀(jì)以來數(shù)學(xué)課程改革的一個重要理念[1]．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(以下簡稱“新課標(biāo)”)在基本理念中指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”[2]同時新課標(biāo)還指明，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．因此，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的情境設(shè)置的研究成為一個值得關(guān)注的問題．

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是計算機(jī)科學(xué)、人工智能的迅猛發(fā)展，人們獲取數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力都得到了很大的提升．統(tǒng)計與概率作為處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行決策的有效工具，被更廣泛地應(yīng)用到當(dāng)今社會中．中小學(xué)的統(tǒng)計與概率課程也在內(nèi)容上與現(xiàn)實生活聯(lián)系得更加緊密，常常是以現(xiàn)實問題為背景，以解決現(xiàn)實問題為目的．[3]因此，對“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的教科書情境設(shè)置的研究也具有了重要的現(xiàn)實意義．

1 研究設(shè)計

研究對象 以人民教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)教科書為載體進(jìn)行分析，主要選取了必修A版第二冊中第九章“統(tǒng)計”與第十章“概率”部分的內(nèi)容，對教科書中的章頭語、問題情境、探究、例習(xí)題、閱讀與思考以及信息技術(shù)應(yīng)用六個部分進(jìn)行情境設(shè)置的研究分析．

分析框架 從以下三個維度對教科書的情境設(shè)置進(jìn)行分析：情境的類型、情境的真實性程度、情境的目標(biāo)水平．

首先，情境的類型．?dāng)?shù)學(xué)情境是含有相關(guān)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的情境，同時也是數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景，它不僅能激發(fā)數(shù)學(xué)問題的提出，也能為數(shù)學(xué)問題的解決提供相應(yīng)的信息和依據(jù)[4]．新課標(biāo)指出,作為體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)四個方面之一的“情境與問題”，情境主要包括現(xiàn)實情境、科學(xué)情境、純數(shù)學(xué)情境等．其中，現(xiàn)實情境往往是指與學(xué)生個人生活、社會生活及未來職業(yè)生活等現(xiàn)實生活相關(guān)聯(lián)的情境；科學(xué)情境往往是以物理、化學(xué)等其他科學(xué)領(lǐng)域的問題作為情境，且與學(xué)生生活距離較遠(yuǎn)；純數(shù)學(xué)情境往往是指純粹數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，以數(shù)學(xué)的概念、命題等作為基本素材，而不具有其他現(xiàn)實生活或科學(xué)等類型的情境．

其次，情境的真實性程度．荷蘭學(xué)者弗賴登塔爾的現(xiàn)實數(shù)學(xué)思想就強(qiáng)調(diào)教學(xué)“應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗的現(xiàn)實之間去尋找聯(lián)系”，并指出：“只有源于現(xiàn)實關(guān)系，寓于現(xiàn)實關(guān)系的數(shù)學(xué)，才能使學(xué)生明白和學(xué)會如何從現(xiàn)實中提出問題與解決問題，如何將所學(xué)知識更好地應(yīng)用于現(xiàn)實世界．”[5]“基于問題的學(xué)習(xí)”也強(qiáng)調(diào)要將問題設(shè)置在具體的、源于或者貼近現(xiàn)實生活的真實情境中．在大數(shù)據(jù)時代，“統(tǒng)計與概率”這一領(lǐng)域的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)的是解決問題的應(yīng)用性．因此，從這一角度將情境分為真實性情境與非真實性情境(表1)．真實性情境的分析不限于學(xué)生熟悉的幾類現(xiàn)實生活情境，數(shù)學(xué)史中真實的數(shù)學(xué)實驗、真實的人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計等也屬于真實性情境．[3]

表1 真實性情境與非真實性情境

最后，情境的目標(biāo)水平．?dāng)?shù)學(xué)教科書設(shè)置情境的主要目的是為了更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．新課標(biāo)根據(jù)六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn)對學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平進(jìn)行了具體的描述，并將每一個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分成三個水平．以新課標(biāo)的上述描述為基礎(chǔ)，結(jié)合本研究的目標(biāo)，將教科書中情境的目標(biāo)水平區(qū)分為如下三個層次.水平1：能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則并解釋其含義；了解數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系；了解運算對象，并且可以結(jié)合具體的實際情境解釋相關(guān)抽象概念.水平2：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一 般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，確定運算對象和隨機(jī)現(xiàn)象；能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學(xué)方法解決問題. 水平3：能夠在綜合的情境中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的研究對象，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予以表達(dá)；在實際情境中，能夠把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想．[2]

2 研究結(jié)果

根據(jù)以上框架，對人教A版數(shù)學(xué)教科書第九章“統(tǒng)計”和第十章“概率”部分的情境設(shè)置進(jìn)行分析，得到以下研究結(jié)果．

2.1 情境的類型

根據(jù)分析發(fā)現(xiàn)(表2)，有關(guān)統(tǒng)計與概率的兩章內(nèi)容中，現(xiàn)實情境達(dá)到145個(占72.5%)，其次是純數(shù)學(xué)情境，達(dá)到50個(占25%)，而科學(xué)情境僅有5個(占2.5%)．

表2 教科書中的情境類型

首先，就現(xiàn)實情境的設(shè)置而言，表現(xiàn)出以下方面：一是現(xiàn)實情境的具體類型以社會生活為主，個人生活次之．具體地，與學(xué)生個人相關(guān)的情境占29%，包括學(xué)生的身高、體重、性別、血型、近視情況以及考試成績等；社會生活情境占57%，包括用水用電量、天氣預(yù)報、足球賽、滿意度調(diào)查、擲骰子以及抽球摸獎等；職業(yè)生活情境占14%，如銷售情況、產(chǎn)品合格率、風(fēng)險決策以及收入水平等． 其次，現(xiàn)實情境涉及了統(tǒng)計與概率內(nèi)容的方方面面．新課標(biāo)認(rèn)為，概率的研究對象是隨機(jī)事件，為人們從不同角度認(rèn)識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法；統(tǒng)計的研究對象則是數(shù)據(jù)，其核心就是數(shù)據(jù)分析．因此，立足于學(xué)生的統(tǒng)計與概率學(xué)習(xí)的角度，就需要從現(xiàn)實情境出發(fā)，抽象出解決問題的通性通法，再回到現(xiàn)實生活中去解決問題．從情境的角度看，數(shù)據(jù)的主要來源是客觀現(xiàn)實世界，任何數(shù)據(jù)不僅包含數(shù)據(jù)、文字、符號、圖形等抽象信息，必然還包含了與現(xiàn)實情境有關(guān)的背景信息．這些因素都說明在“統(tǒng)計與概率”這一部分內(nèi)容中現(xiàn)實情境對于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性．再次，新教科書還涉及到信息技術(shù)在解決實際問題情境中的應(yīng)用，這是符合時代發(fā)展需要的．例如在給抽樣的712名學(xué)生進(jìn)行編號時，可以利用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)，或者利用電子表格軟件去模擬隨機(jī)實驗，統(tǒng)計學(xué)生的出生年月等．這種方法最大的優(yōu)點就是方便快捷，可以幫助學(xué)生更好地理解隨機(jī)事件以及隨機(jī)事件發(fā)生的概率．總體來講，教科書中情境的取材結(jié)合生活實際，更具有普遍性與基礎(chǔ)性．

另外，相較于數(shù)學(xué)課程的其他領(lǐng)域，純數(shù)學(xué)情境在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域出現(xiàn)的次數(shù)相對較少，主要出現(xiàn)在探究和習(xí)題部分．探究部分是通過數(shù)學(xué)情境去設(shè)計數(shù)學(xué)問題，比如對統(tǒng)計圖的識別或者從統(tǒng)計圖中提取信息．習(xí)題部分主要是出現(xiàn)在證明題和計算題，例如“已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，讓我們求交事件、并事件的概率”．

需要說明的是，教科書在探究部分的情境設(shè)置上出現(xiàn)了現(xiàn)實情境與數(shù)學(xué)情境兩種情境交織的現(xiàn)象．例如，在“事件的關(guān)系和運算”這一節(jié)的探究活動中有以下問題：在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，從而來定義許多隨機(jī)事件，如F=“點數(shù)為偶數(shù)”；G=“點數(shù)為奇數(shù)”……讓我們用集合的形式表示這些事件，同時借助集合與集合的關(guān)系和運算，發(fā)現(xiàn)事件之間的聯(lián)系．該探究活動雖然以“擲骰子”這個現(xiàn)實情境切入，但是后面要解決的問題是建立在已有數(shù)學(xué)抽象物的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．

最后，科學(xué)情境是出現(xiàn)次數(shù)最少的，而且只出現(xiàn)在概率這一章．科學(xué)情境涉及物理、生物、地理等學(xué)科．例如，在“有限樣本空間與隨機(jī)事件”這一節(jié)的例題和習(xí)題都出現(xiàn)了以下問題：已知A,B兩個原件分別組成串聯(lián)電路和并聯(lián)電路，觀察兩個元件正常或失效的情況．寫出試驗的樣本空間，以及事件M=“電路是通路”包含的樣本點．這個情境很好地將數(shù)學(xué)與物理結(jié)合了起來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的應(yīng)用．另外教科書在閱讀和思考部分還引用了生物學(xué)中著名的孟德爾遺傳定律，來加深學(xué)生對隨機(jī)模擬概率的理解．要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、拓展學(xué)生的知識面，就應(yīng)將數(shù)學(xué)學(xué)科知識與其他學(xué)科結(jié)合，交叉學(xué)習(xí)，使得各個領(lǐng)域不同知識之間相互啟發(fā)、互為補(bǔ)充．

2.2 情境的真實性程度

“實際問題既是概率論與統(tǒng)計學(xué)的來源又是它們的歸宿．”[6]通過對統(tǒng)計與概率兩章內(nèi)容的情境真實性分析發(fā)現(xiàn)，真實性情境占48.4%．

表3 教科書中情境的真實性程度

具體到領(lǐng)域內(nèi)容上，統(tǒng)計部分是非真實性情境大于真實性情境，而在概率部分真實性情境出現(xiàn)的次數(shù)更多．教科書中很大一部分情境在呈現(xiàn)數(shù)據(jù)時都用了“某地”“甲”“乙”“某公司”這一類詞語，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)與問題情境互動性不強(qiáng)，缺少代入感．因此在設(shè)置情境時，還應(yīng)多采用一些真實性情境以便能更好地引起學(xué)生的真實感，使學(xué)生沉浸到學(xué)習(xí)中．例如第九章總復(fù)習(xí)題部分有這樣一個問題：學(xué)生通過計步儀器記錄下了自己100天每天走的步數(shù)，通過數(shù)據(jù)計算平均數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差并根據(jù)數(shù)據(jù)描述學(xué)生自己的運動情況．這樣的情境就很貼合學(xué)生的日常生活，而且每一位學(xué)生都有所體會．在此情境下教學(xué)可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的參與感，體會數(shù)據(jù)特征，而且可以讓學(xué)生感受到統(tǒng)計方法在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用．

2.3 情境的目標(biāo)水平

根據(jù)新課標(biāo)提出的學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量水平，對教科書中三種不同情境的目標(biāo)水平進(jìn)行分析，結(jié)果如表4．

表4 教科書中情境的目標(biāo)水平

從表4中可以看出三種情境均達(dá)到了學(xué)業(yè)質(zhì)量的三種不同水平，只是有所側(cè)重．教科書在情境的設(shè)置上，側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的前兩個水平．在對教科書進(jìn)行分析的過程中，發(fā)現(xiàn)探究還有例題的現(xiàn)實情境設(shè)置主要是處于水平1(約占55%)，目的是讓學(xué)生在熟悉的情境中了解隨機(jī)現(xiàn)象以及簡單的概率或統(tǒng)計問題，掌握基本的統(tǒng)計方法．而課后的練習(xí)題大多處于水平2(約占35%)，不管是在熟悉的現(xiàn)實情境下還是通過特意設(shè)計的數(shù)學(xué)情境，主要是讓學(xué)生可以針對具體問題選擇離散型隨機(jī)變量或者連續(xù)型隨機(jī)變量來刻畫隨機(jī)現(xiàn)象、理解統(tǒng)計意義、解釋統(tǒng)計結(jié)果、發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律．處于水平3的情境相對較少(約占10%)，主要體現(xiàn)在習(xí)題的拓廣探索和閱讀思考部分．例如統(tǒng)計班里所有學(xué)生的鞋號，選擇合適的統(tǒng)計圖進(jìn)行描述，分析特點并估計所在學(xué)校全體學(xué)生鞋號的分布.這是一道估計總體性質(zhì)的綜合題目，用樣本空間的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征或性質(zhì)，具有一定的開放性．這可以培養(yǎng)學(xué)生針對不同情境問題，綜合或者創(chuàng)造性地運用統(tǒng)計知識，構(gòu)造統(tǒng)計模型解決問題的能力．通過分析，我們可以發(fā)現(xiàn)情境在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的水平上各有側(cè)重，這對以后在教學(xué)過程如何更好地利用情境是有幫助的．

3 若干啟示

(1)均衡情境的類型.情境的設(shè)置要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)教學(xué)情境的多樣性，使得情境既有利于教師的創(chuàng)造性教學(xué)，也有利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)．現(xiàn)實情境一般與學(xué)生的生活有著密切的聯(lián)系，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并降低學(xué)習(xí)難度．統(tǒng)計學(xué)作為一門收集、整理和分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方法科學(xué)，其目的就是探索數(shù)據(jù)的內(nèi)在數(shù)量規(guī)律性，以達(dá)到對客觀事物的科學(xué)認(rèn)識．從這個角度來看，教科書情境的設(shè)置還應(yīng)該關(guān)注科學(xué)情境．一方面可以還原科學(xué)實驗中數(shù)據(jù)的收集和處理過程，另一方面也體現(xiàn)了統(tǒng)計學(xué)應(yīng)用的廣泛性，加強(qiáng)學(xué)生對于這門學(xué)科的理解和應(yīng)用．同時，新課標(biāo)還明確指出要將數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，通過文化情境，將數(shù)學(xué)文化融入到日常教學(xué)中．所以，在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域還可以加入體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的情境．

(2)加強(qiáng)情境的真實性.在新教科書的情境設(shè)置中，很多數(shù)據(jù)是模擬真實情境的人為數(shù)據(jù)，還常常出現(xiàn)“某市”“某公司”“某地”等，難以真正引起學(xué)生的共鳴．高中生已經(jīng)有了一定的知識儲備，綜合能力有了很大的提高，應(yīng)該多讓學(xué)生處理真實數(shù)據(jù)，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系．學(xué)生廣泛接觸真實性情境，能擴(kuò)大知識面、強(qiáng)化知識活性、增強(qiáng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計意識．

(3)加強(qiáng)情境的目標(biāo)設(shè)置與學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的匹配性.課標(biāo)中的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)．需要通過設(shè)置不同類型、不同水平的情境，以最自然的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，并與學(xué)業(yè)質(zhì)量水平標(biāo)準(zhǔn)相匹配．例如，通過與學(xué)生生活密切聯(lián)系的現(xiàn)實情境，讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象和統(tǒng)計問題的基本知識．如果是為了培養(yǎng)統(tǒng)計意識，就需要多創(chuàng)設(shè)真實性情境．通過不同目標(biāo)水平的情境，體現(xiàn)學(xué)業(yè)水平的不同要求，以使情境功能最大化．