HPM視角下的復數序言課教學*

向 榮 盧成嫻 沈中宇

(華東師范大學附屬東昌中學 200120)(華東師范大學教師教育學院 200062)(華東師范大學數學科學學院 200241)

1 引言

現行教科書中每一章開頭部分都有相應的章頭語和章頭圖，簡單介紹此章的主要內容及相關背景．這些內容與傳統的數學教學內容不同，由此產生了一種新的課型：章節序言課．作為每一章的起始，序言課的教學要向學生揭示為什么要學習這一知識、其主要知識脈絡和思想方法[1]，具有揭示知識起源、展現知識聯系、理解研究方法、滲透數學文化、培養學習興趣等價值[2-3]．但在教學中，教師對章節序言課的價值還認識不夠，對如何進行序言課的設計也缺乏方法論的指導[4]．因此，在培養核心素養的背景下，如何發揮章節序言課的價值成為了大家關注的焦點[5]．已有研究表明，數學史融入數學教學具有“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”和“德育之效”等價值[6]，因此數學史融入序言課的教學有助于序言課價值的實現，為序言課的設計提供了獨特的視角和豐富的資源[7]．翻開數學史的畫卷，復數漫長的發展史生動地呈現了復數從發明到發展的全過程．將數學史料融入“復數”一章的教學之中可以還原復數的發生發展過程、展示復數不同知識點的聯系、提供復數的研究方法、滲透復數知識背后的人文元素并激發學生學習復數的興趣．但從目前來看，將數學史融入復數序言課的嘗試還相對較少．

基于以上思考，我們擬定本節課的教學目標如下：了解數系的發展全過程、了解復數產生的歷史原因，知道復數發生發展的過程；對復數的代數形式和幾何表示有所了解，逐步理解“虛數不虛”的含義；對實系數一元二次方程的求解有完整的認識；經歷復數代數形式抽象概括的過程，培養數學抽象的數學素養；通過數學史知識的滲透建立良好的數學觀，培養濃厚的數學學習興趣，激發問題探究意識．

2 歷史材料及其運用

復數概念的歷史發展經歷了虛數概念的起源、復數理論的發展、復數理論的成熟三個階段．本節課將以復數概念的形成為脈絡，利用重構、復制、附加的方式將相關的歷史素材融入到教學之中．

2.1 虛數概念的起源

2.2 復數理論的發展

2.3 復數理論的成熟

復數在其他領域中的應用是從18世紀開始的．法國數學家德朗貝爾(d’ Alembert, 1717-1783)將復變函數理論應用于流體動力學，瑞士數學家蘭伯特(Lambert, 1728—1777)將復變函數應用于地圖的制作．后來，復數又在電學和物理學的其他許多領域得到廣泛應用[10]．雖然魏塞爾、阿甘德和高斯完成了復數的幾何表示，但是哈密爾頓(Hamilton, 1805—1865)將復數建立在了更加完善和嚴密的數學理論之上． 1837年，哈密爾頓發表文章指出把復數a+bi看作一個有序實數對(a,b)，他把這樣的有序實數對定義為一種新數，并給出了加減乘除的運算法則．哈密爾頓證明了這種二元數系是封閉的，且滿足交換律、結合律和分配律，由此把復數建立在嚴格的實數基礎之上．

3 教學設計與實施

本節課采取的是主體性教學模式，關注課前、課中、課后學生學習主體性的發揮，因此課前對學生有一定的學習要求．一方面，教師整理數系發展的資料，并將其作為閱讀材料下發給學生進行學習；另一方面，學生自行上網搜集資料，課前以小組為單位進行交流．這樣的課前準備既為學生學習新知打下了堅實的基礎，又向學生說明需要用發展和聯系的眼光進行學習．

3.1 情境創設，引出主題

師：今天這節課我們將開啟一段數學文化之旅.同學們，你們認為數學美嗎？

生：美．

師：數學不論其外在形式還是內容都有著豐富的美，讓我們掌聲有請一位同學為我們講述數的發展過程．

師：講得非常好！簡單地介紹了數的發展．當數集發展到實數集的時候，是否就停止了腳步？不是．所以本節課的主題是“認識復數”.任何一本書都有序言，那我們在開啟一章新的內容之前也需要有序言.今天我們上的是一節序言課，本節課我們將實現如下的學習目標：我們為什么要學習復數？這一章將講授哪些具體的內容？在學習過程中我們將運用哪些重要的數學思想方法？

通過梳理數的發展過程，樹立學生的問題意識，并為復數的學習作鋪墊．

3.2 走進歷史，探究緣由

師：同學們在課前觀看了視頻“虛數不虛”，應該收獲了一些信息.這部視頻中談及了《大術》一書，談到了一些人物，如卡丹和邦貝利．下面我們走進復數發展史，穿越時空，探究當時遇到的問題．

故事1邦貝利的故事

教師首先講解卡丹的著名問題以及虛數的發現，接著講解邦貝利與虛數的故事．

生：可能會放棄．

故事2歐拉的貢獻

生：不存在，虛數與實數相對，虛無縹緲．

師：同學們能不能根據我們所寫出的虛數歸納概括出其一般形式？

生：a+bi (b≠0)．

師：有了虛數的符號表示，是否就能夠解釋虛無縹緲的虛數到底是什么了呢？這個問題也困擾了數學家很長時間．

故事3虛數的幾何表示

師：回顧數的發展，每一個實數都可以與數軸上一個點建立一一對應關系，那么虛數該如何表示呢？我們能否找到這些虛數的幾何表示？

生：感覺有困難．

師：一維的數軸不能解決問題，讓我們在二維的平面直角坐標系中找答案．

教師介紹阿甘德對虛數的幾何表示，引導學生理解i的幾何意義．

圖1 阿甘德對虛數的幾何表示

師：以上的研究幫助我們認識了數系發展的一個新的階段，我們接受并認可了虛數的存在，理解了虛數不虛．

通過再現三個歷史片段，讓學生充分理解引入復數的必要性，理解虛數不虛的含義，解決本節課的難點問題．

3.3 層層推進，獲取新知

圖2 表示數集發展的文化圖

教師引導學生用文氏圖表示數集的擴充過程(圖2)，理解數集之間的包含關系，為引出復數集做好鋪墊．

師：實數集與虛數集之間是什么關系？

生：兩個集合的交集應該是空集．

師：按照數集的發展規律，新的數集的產生既包含原有的數又會補充新的數，所以我們把新的數集稱之為復數集，用C來表示．歷史上，復數這一術語是由數學家高斯引入的．請問你們認為復數的一般表示形式是什么？

生：仍然是形如a+bi的形式．

師：很好，記作z=a+bi，特別強調a,b∈R．請同學們討論一下復數的類別劃分．

生：當b=0時復數z成為實數，當b≠0時復數z是一個虛數．

師：其中當b≠0時，我們可以就a的取值進行分類討論，得到b≠0,a=0時復數為純虛數；而b≠0且a≠0時復數為非純虛數．

教師通過圖示幫助學生強化理解復數的類別劃分．

師：在平面直角坐標系中，一個點和一個有序實數對建立一一對應關系，那么一個復數在坐標系中該如何表示？比如2+i，在平面直角坐標系中會如何表示？

生L在黑板上進行板演，她取了一個點(2,1)，在坐標系中進行標記．

師：我們來分析一下生L的表示過程.根據復數z=2+i，確定了有序實數對(2,1)，再在坐標系中把這個點表示出來，這樣就有了復數2+i的坐標表示．大家認可這樣的表示方式嗎？

生眾：可以．

師：生L做得非常好，我們把其中的過程提煉一下.一個復數與一個有序實數對建立一一對應關系，而一個有序實數對與平面直角坐標系中的一個點建立一一對應關系，因此可以用平面直角坐標系內的點來表示復數，也可以用復數來描述平面直角坐標系中的點．建立了直角坐標系用來表示復數的平面稱為復平面．歷史上，在阿甘德給出虛數的幾何解釋之后，高斯進一步將復數與平面上的點一一對應，完善了復數的幾何表示．

教師詳細介紹了復平面的概念，強化學生對復數形的認識．

師：引入復平面概念后，我們可以繼續研究復數的哪些問題呢？

生1：可以度量長度．

生2：好像復數與向量有聯系．

教師給出了復數模的定義，并提出問題：如果已知|z|=1，你們會想到什么？

學生在教師的引導下知道了|z|=1對應的曲線是單位圓．

師：有了復數模的定義之后，通過數形結合思想，我們就可以研究復數所對應的動點的軌跡問題.以后，我們也將研究復數運算.這些(圖3)都將是我們接下來著重學習的內容．

圖3 復數內容的思維導圖

通過師生之間的對話交流將知識層層推進，促使學生深入思考本章將學習的具體內容，讓學生對接下來要學習的知識有一個大致了解．

3.4 總結提升，知識升華

教師帶領學生針對本課的三個篇章、三個學習目標進行小結．首先將數學史料進行系統展示(圖4)．

圖4 復數的歷史發展

師：實際上，在高斯完善了復數的幾何表示之后，復數在流體動力學、地圖的制作以及電學和物理學等領域都得到了應用．到了19世紀，哈密爾頓進一步將復數建立在更加完善和嚴密的數學理論之上．

接下來讓學生談談學習體會．

生1：從數學發展的歷程可以了解對未知領域的探索是無窮的，要想到、找到解決問題的方法，不要止步于此．

生2：最近我們在語文課上學了一篇文章，是著名物理學家沈致遠先生寫的《說數》，他在談及數學文化之旅時寫了這樣一首小詩《零贊》，我想分享給大家——“你自己一無所有/卻成十倍地賜予別人/難怪你這么美/像中秋夜的一輪明月．”虛數，在歷史上本來是不被承認的，但后來數學家通過人類的理性將它證實了．數學不僅是一種美，背后還閃耀著理性的光輝．虛數作為一個里程碑，我覺得非常偉大，值得敬佩．

師：通過序言課的學習，我們知道了虛數產生的必要性，知道了數集由實數集擴充到復數集，因此求解方程的時候可能是實根也有可能存在虛根．我們需要著重認識復數的代數形式，理解復平面引入的意義．在知識的引入過程中運用到了常見的數學思想方法，如分類討論、數形結合．課后請同學們繼續思考“復數”這一章還有哪些內容需要研究、應該如何研究．

4 學生反饋

課后，我們收集了全班32名學生對本節課的反饋信息．所有學生都表示聽懂了這節課的教學內容，其中68.8%的學生很喜歡這樣將數學史融入課堂教學，31.2%的學生挺喜歡這樣的數學史融入方式．由此可見，學生對本節課的接受度較高．對于問題“為什么要學習復數”，93.8%的學生認為是考試要考，78.1%的學生認為是因為解三次方程時發現實數可以寫成含有負數開根的形式，62.5%的學生認為是要解決一元二次方程中無解的情況，59.4%的學生認為是由于復數在生活中有很多應用．說明本節課后，除了應試的目的之外，學生對于學習復數的原因有了更深的理解．對于問題“通過本節課的學習，你對復數一章所要學習的內容有哪些了解”，65.6%的學生能夠寫出數集間的關系(典型答案如圖5(1))，25%的學生能夠寫出較全面的章節內容(典型答案如圖5(2)),說明學生對于數集之間的關系以及復數這一章的學習有了一定的了解．

(1) (2)圖5 學生對復數學習內容的了解

對于問題“在本節課中，我們學習了哪些數學思想方法”，學生的回答有數形結合、分類討論、降次、抽象、理想建模等．說明學生對復數的研究方法有了一定的了解．

對于問題“這節課你印象最深的是什么，為什么它會讓你印象深刻”，學生的回答主要有：

·數學史(24條).如以一種新奇的結合歷史的方法令人更明白這堂課的內容，不枯燥、歷史情節復現，使數學知識的教學更加生動、虛數是怎么被發現的，數學的進步是人們不斷探索發現的．

·虛數(復數)的幾何解釋(5條).如本來認為虛數非常虛無縹緲，但當它放入直角坐標系中后，化無形為有形，對于虛數的理解有很大的幫助．

· 講課老師的個人魅力(2條).如老師美麗的雙眸以及犀利的解題思路．

· 數學方法(1條).降次的方法應用廣泛．

另外，根據學生的課后作業發現，學生在復數的代數形、數集的擴充和各數集之間的關系、復數的類別判斷、復數相等概念、對i的認識、復數的大小比較、復數的實部和虛部等知識點上的掌握較好，只是在一些符號和關系的表達上稍有錯誤．

在課后感想中，學生分享了他們對于序言課的看法．典型回答如下：

· 作為復數的啟蒙課，它讓我更有邏輯地認識了復數．復數的發展歷史增強了我對復數的好奇心，提高了研究興趣，課堂氣氛活躍，消除了對數學中又一新知識學習的隱隱恐懼．同時，通過序言課循序漸進地引入復數比直接從它的概念講起更加形象生動，易于理解．

· 序言課理清了整個章節的框架，為接下來的學習打下了基礎，讓我們的思路更清晰．

· 序言課讓我們先系統地了解整個單元的大致框架，包括整個復數單元所要學習的內容，認識了學習復數中要用的數學思維方法，且序言課生動有趣．由數學史引入，開拓了我的知識面，也使我對知識點的記憶更深刻．

· 從虛數的歷史開始學習，使我對復數的理解變得更容易，學習了復數的歷史，增加了學習復數的趣味性和生動性，增加了學習復數的興趣．

5 結語

序言課首先要解決的是“為何”的問題．對于復數的概念，教科書按照數系擴充的邏輯順序，即無實根的一元二次方程的求根問題來引入.但早已接受“方程可以無解”這一事實的學生，面對“讓無實數根的方程有解”的新要求，內心必然是缺乏動機的．數學史告訴我們，復數產生的真正動因不是解一元二次方程，而是解一元三次方程的需要．本節課再現了16世紀意大利數學家邦貝利解三次方程所遇到的“矛盾”，由此揭示引入復數、擴充數系的必要性，從而解決了“為何學習復數”的問題．在教科書中，復數章節主要涉及復數的概念、幾何表征以及運算等內容．在課堂上，教師帶領學生重歷復數發展的過程，根據復數的歷史將復數的概念、表征、運算、應用等知識點一一串連起來，巧妙地解決了“何為復數”的問題．教師首先借助“邦貝利問題”引出虛數概念．其次，通過 “歐拉引入符號i”以及“阿甘德用幾何表示虛數”兩個歷史片段，呈現虛數的兩種表征方式，使學生從代數和幾何兩個角度認識虛數i，解決“虛數不虛”．在此基礎上，教師利用歷史上“高斯對復平面的研究”，進一步引導學生構建復數的幾何意義；利用“哈密爾頓對復數理論的完善”，介紹復數的簡單運算以及廣泛應用．

對于“如何”學習復數的問題，教師根據數學家研究復數的過程，總結出復數學習包含了數形結合的思想方法．從歷史上來看，雖然復數早已誕生，但直到復數幾何意義的出現，數學家才真正理解復數，復平面的建立有助于復數理論的完善．另外，復數的代數運算理論又豐富了其幾何意義的發展．由此可見，復數的代數表征與幾何表征相輔相成，數形結合對于研究復數是至關重要的．但在實際教學中，教師并未深入闡釋“數”與“形”對于復數學習的意義，這是本節課有待改進的地方．