初中數學教材中數學文化的比較研究
——以人教版和新加坡DM版為例*

鄒明迪 林 婷 劉 云

(云南師范大學數學學院 650500)

1 問題提出

在TIMSS測試中，新加坡學生的成績一直名列前茅．2016年的PISA 測試中，新加坡學生也以數學564分的成績名列第一．不同國家的教育研究者、政策制定者及公眾對新加坡的數學教育給予了極大的關注．中國與新加坡的數學教育具有鮮明而迥異的特點，跨國視角下的教材比較研究給數學教育研究者提供了獨特的機會．本研究所選取的Discovering Mathematics (2nd Edition)(下稱DM)版本是根據新加坡最新的2013年《數學教學大綱》編寫的[1].我國的初中數學人教版教材是根據《義務教育數學課程標準(2011年版)》編寫的，兩版課程標準對于中新兩國來說都是目前最新的版本．比較研究這兩版教材中數學文化的重視差異的意義是：加強國際間的學術交流，深化數學文化的理論研究；拓寬國際視野，為數學文化的教材編寫提供借鑒；為一線教師提供素材，促進學生數學素質的發展．有鑒于此，本研究將對中國人教版和新加坡DM版的初中數學教材中的“數學文化”欄目進行比較分析．

2 研究設計

2.1 研究對象

跨國視角下的教材比較研究有利于促進教育工作者理解不同的教育背景是如何影響學生思維的發展，同時有助于教育診斷和教育決策．本研究從人教版和新加坡DM版的初中數學教材中的數學文化內容出發，確立研究內容為：兩版教材中顯性數學文化、其他側面之數學美的比較與分析．兩版教材基本信息如表1所示．

表1 教材基本信息

其中，我國初中數學教育是三年制，分為三個年級：人教版共六冊書(七年級上下冊、八年級上下冊、九年級上下冊)，浙教版共六冊書(七年級上下冊、八年級上下冊、九年級上下冊)．而新加坡初中數學教育是四年制，分為四個年級(中一、中二、中三、中四)，共八冊書(1A—1B，2A—2B，3A—3B，4A—4B)．

2.2 研究框架

本研究在參照國內外研究成果的基礎上，采用內容分析法分別從兩個版本的初中數學教材出發，借鑒沈春暉的顯性數學文化研究框架對教材中數學文化表征內容進行各維度的統計分析，獲得兩個版本教材在數學文化相關內容的編寫規律和特點，采用案例研究法選取適合案例對教材中數學文化偏隱性的側面進行研究分析．

3 兩版教材中的數學文化

本文將數學文化內容分為“數學史、數學與現實生活、數學與人文藝術、數學與科學技術”(借鑒于沈春輝)[2]，如表2所示．

表2 數學文化內容分類

3.1 數學文化內容欄目分布

結合兩版教材的欄目分布特征，將欄目分為“非正文、引入、例題、習題”四種．非正文指章頭、旁白、閱讀材料等，引入指正文中除問題以外的其他內容，如情境活動等，例題指含有解答的題目，習題指課后練習等無解答的題目．

圖1

由圖1可見，兩個版本中所蘊涵的數學文化內容都十分豐厚，尤其是新加坡DM版本，多達 1 779處，是人教版的4倍左右，人教版共有449處．從橫向看，兩版的習題欄目中數學文化的數量是四個欄目中最多的，非正文數量相對最少，從上至下數量呈增長的趨勢．從縱向看，比較其數量特征，人教版中數學文化內容的總含量遠低于新加坡DM版本.從均衡性上看，兩版教材中數學文化在欄目分布上都不均勻．

3.2 數學文化內容分布

文中所指的數學文化是從顯性角度出發而確立的廣義數學文化，即數學史、數學與現實生活、數學與人文藝術和數學與科學技術．[2]統計結果見圖2．

圖2

從四個類別的數量來看，兩版教材中的數學與現實生活、數學與科學技術這兩部分的數量都比較突出，數學與現實生活是四類中數量最多的，新加坡DM版在這方面的數量遠超過人教版，兩版中數學史、數學與人文藝術的呈現均較少．可見數學文化與現實生活聯系之緊密，也正體現了數學來源于生活，服務于生活．

3.3 數學文化課程內容及年級分布

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中給初中數學安排了“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個部分的課程內容．[3]統計結果如圖3所示．

圖3

從圖表整體上看，兩版教材的數學文化在四個部分的分布是相對一致的，但每版教材在各個課程內容間相差的數量較大，兩版教材中的數學文化大多數集中在數與代數部分，接著是統計與概率、圖形與幾何，綜合與實踐最少．從結果來看，綜合與實踐的數量還相對較少，教材中可以再擴充此內容.對于初中學段的學生來說，這類自主參與操作型的數學活動會更吸引學生，同時更能鍛煉學生的綜合應用能力，進而對學生數學核心素養的培養具有強有力的推動作用．

我國初中數學教育為三年制，分為三個年級，共六冊書，而新加坡初中數學教育是四年制，分為四個年級，共八冊書．為了研究更深入，從學段出發，對數學文化進行了統計(圖4)．

圖4

由圖4可知，兩版教材中的數學文化在三個年級中的數量都十分豐富，并且都呈現出低年級數量多、越向高年級數量越少的趨勢．每個年級的數學文化數量中，都是人教版低于新加坡DM版，并且新加坡DM版在十年級的內容中除了一章新知識以外，其余就是總復習內容，總復習內容中又有許多前三個年級的知識及習題，所以呈現的數學文化數量也非常豐富．

4 兩版教材中的數學文化運用水平

4.1 數學史運用水平

根據數學史運用特征，將其運用方式分為四類：點綴式、附加式、復制式、順應式．[2]分類內容見 表3，統計結果見圖6．

表3 數學史的運用方式內容

圖5

圖6

從圖6中可以看出，兩版教材中的數學史內容大部分都屬于附加式，而順應式、復制式次之，最少的是點綴式．新加坡DM版本中點綴式數量為0，說明新加坡教材中數學史運用水平還呈現單一、不均衡的特點，缺乏與數學相關的圖片穿插．人教版在四個運用方式的數量上相差較小，且復制式、點綴式的內容較少，多數是附加式內容，進一步說明人教版主要以閱讀材料呈現數學史．總體而言，新加坡DM版的數學史運用水平相對較低、均衡性相對較差．

4.2 其他數學文化的運用水平

其他數學文化包括數學與現實生活、數學與人文藝術、數學與科學技術．本文中其他數學文化的運用方式按照數學知識與數學文化內容的關聯度分為外在型和內在型，其中內在型分為可分離型與不可分離型[2].分類標準如表4．

表4 其他數學文化內容的運用方式分類標準

圖7

運用方式為外在型的內容如圖7(1)所示，是以新加坡魚尾獅公園開始的章頭圖.這一章節主要內容是三角函數，利用魚尾獅噴水時所蘊含的三角學知識引入，但我們所尋找的數學文化本身是新加坡著名的雕塑——魚尾獅，與數學知識無關．運用方式為內在型中可分離型的內容如圖7(2)所示，描述的是不同容量的洗發水價格的差異，比較哪種洗發水更便宜，如果將洗發水換做飲料、洗衣液等也不會對問題的描述產生影響；不可分離型的內容如圖7(3)所示，這個問題以美國猶他州拱門國家公園為背景，以拱門的跨度、高度為變量，描述其背后蘊含的二次函數模型，其中數學知識與數學文化是密不可分的．

統計結果如圖8所示.從圖8中可得，兩個版本中關于其他數學文化內容的運用方式存在異同點．

圖8

相同點是：兩版教材以內在型為運用方式的文化內容數量占比都超過總數的80%，外在型的內容數量很少，數量在總數的11%～15%之間．進一步來看，占比最多的是可分離型，其次是不可分離型，最少的是外在型．這表明兩版教材中的其他數學文化內容的運用方式的相似度很高，都側重于如何將數學文化與教材的有機融合，同時增進數學知識、問題的文化背景，適當地介紹外在型的文化內容.總的來說，數學文化較好地融入了這兩版初中數學教材．不同點是：人教版中三種運用方式的比例相對而言懸殊稍小，兩者比例比較相似和均衡，而新加坡DM版中三種運用方式的比例懸殊較大，占比最多的可分離型與不可分離型相差31%，與外在型相差49%，這些比例差都超過了人教版．說明人教版中其他文化內容的運用方式較為均衡，新加坡DM版中并不均衡．

5 兩版教材數學文化內容其他側面的案例比較與分析

5.1 教材中的數學美

結合文獻，我們對“數學美”的界定是：數學美作為一種科學美，是對包括數學概念、公式、定理、法則或數學體系、數學內部結構等的數學內容的一些適宜的感受．[4]數學美的表現形式具有多樣性，具體外在表現為簡潔美、對稱美、統一美、奇異美，稱為外在美，內在表現為數學內容中蘊含的思想、方法，稱為內在美．教材作為承載數學藝術的重要載體，其審美價值是不容小覷的．結合對教材文本顯性數學文化內容的比較分析以及數學文化含義的多樣性，為了研究的深入全面，繼續選取數學文化其他側面內容進行案例的細致比較．本著重要性、典型性的原則，以數學美側面為切入口，從數與代數模塊選取了其中的“二次函數”作為案例．

文[5]認為數學命題包括數學中的定義、公理、定理、公式、性質和法則．性質雖屬于定理的一種，但本節中把它單獨歸為一部分來進行考慮．經過對教材中的數學原理內容的梳理，為了表現更加直觀需進行編碼整理．編碼方式為：(1)數學原理以六個類別的英文首字母進行編碼；(2)數學美以四個類別的英文首字母進行編碼；(3)在統計中對數學原理采用數學原理類別+數學原理出現順序編號的雙位編碼方式進行編碼．

5.2 “二次函數”案例

(1)數學原理比較

如表5所示，只保留有數量的類別．

表5 數學定義、性質和法則比較

在二次函數案例中，兩版教材中的數學原理在定義的內容和數量上是一致的；在性質上，人教版中所包含的性質數量稍多，內容比較集中，新加坡版則分散在2A, 3A兩本教材里；在法則上，人教版數量為1，新加坡數量為0．并且兩版教材內容在公理、定理、公式類別上數量皆為0．

(2)數學原理所蘊含的數學美分布

數學美表現形式及含義如表6所示．

表6 數學美表現形式及含義

兩版教材中數學原理所蘊含的數學美分布統計結果如表7所示．

表7 數學原理所蘊含的數學美分布

6 結論與啟示

學科教育觀在很大程度上決定了教學內容、教學方法乃至全部的教育過程．[6]從教育背景來說，中國和新加坡的教育背景十分相似，但反映在教材上，新加坡DM版中數學文化內容更多是和章節知識緊密聯系，數學文化內容都是為了更好地服務于知識，并且例題和習題中會有大量重復的數學文化背景知識，這也是新加坡DM版數學文化數量多的主要原因之一，這樣的優勢在于可以讓學生在熟悉的背景下更輕松地掌握數學知識．對比兩國教材的異同， 不應該只是形式內容上的比較，而是希望通過對比“取長補短”．基于以上研究，提出以下可供參考的建議．

(1)人教版教材應考慮學生實際，多選取學生所熟知的現實生活題材，從生活實例中感受數學來源于生活.同時引導學生抽象提出數學問題，并付諸實踐，多給學生創造與現實生活接觸的機會．(2)兩版教材中對數學史的內容與價值的挖掘不夠充分，沒有形成系統的數學史體系．因此，教材應有意識地加大我國古代優秀數學成果和著名數學家的介紹力度，同時引進國外數學史，在增強民族自豪感的同時，也能感受人類文明的發展之艱辛雄厚．(3)人教版教材編寫應充分挖掘出數學美和美育因素，課堂中創設美的意境，捕捉美的觀點，從而使學生領略到數學變化萬千的美．比如數學習題可以從不同角度分析，得出不同的解題方法， 而各種不同解答方法所表現出的就是簡潔美、奇異美．教材可以出示具有數學美的圖案設計等閱讀材料，讓學生欣賞數學美的同時感受知識的力量，啟發學生創造美的愿望．