數學實驗與空間觀念
——以蘇科版“圖形的運動”的教學為例*

沈軼群 王曉峰

(江蘇省蘇州市吳江區實驗初級中學 215200)(江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215021)

空間想象力是以現實世界為背景，對幾何表象進行加工改造，創造新形象的能力，是數學諸多能力中的重要組成部分．空間觀念是一個人對周圍環境和實物的直接感知，對二維與三維圖形及其性質的領會和感知；圖形間的相互關系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面．空間觀念是空間想象力的基礎，是我國幾何課程的主要目標，也是《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)的核心概念之一．數學實驗是學生動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是學生在教師引導下運用有關工具，通過具體操作在認知和非認知因素參與下進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的數學活動．根據初中生形象思維相對較強的特點，設計學生主動參與、積極動手動腦的數學實驗活動，在實驗的過程中體驗、感悟幾何圖形的抽象、運動與變化，能夠培養學生的空間想象力、發展空間觀念．

1 教材分析

“圖形的運動”是蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》七年級上冊第5章“走進圖形世界”中的學習內容．此章圍繞認識幾何體的認識而展開，包括幾何體的組成、幾何體的形成、幾何體的展開與折疊、幾何體的視圖等四個方面．在本課之前，學生已在小學階段認識了正方體、長方體、圓柱和圓錐，通過“5.1 豐富的圖形世界”的學習認識了幾何體的構成，知道了幾何體是由點、線、面構成的，學會了描述幾何體的方法．“5.2 圖形的運動”則是圍繞幾何體的形成而展開的，是對幾何體的進一步認識，同時也是對圖形的組合與分解，對圖形的平移、翻折、旋轉的初步認識，能為后繼具體學習平移、翻折、旋轉并用平移、翻折、旋轉研究圖形和解決問題奠定基礎，是培養學生空間觀念的重要載體和教學契機．

本課的學習內容是從圖形運動變化的角度體會幾何體的形成，感悟“點動成線，線動成面，面動成體”的形象；了解圖形的組合與分解，感悟“復雜的圖形的構成”；認識圖形的翻折、平移、旋轉，感悟讓圖形“動”起來，是研究圖形性質的重要方法．本課的知識特點決定了其教學應以活動為主，強調“做數學”，因此本課宜采用數學實驗的教學方式，引導學生經歷觀察、想象、實驗、思考、交流、應用等大量的活動，通過“先做一做、再想一想”，過渡到“先想一想、再做一做”，在直觀與抽象、實物操作與空間想象的相互轉換中發展學生的空間觀念．本課的基本教學流程為“問題情境—想象、實驗、交流—歸納、應用、拓展—總結”．

2 教學過程

2.1 回顧與思考

圖1

知識回顧 如圖1，通過上節課的學習，我們知道了面與面相交得到線，線與線相交得到點，圖形是由點、線、面組成的．

引發思考 如圖2，點、線、面組成了一些幾何體．那么，這些幾何體又是怎樣形成的呢？今天，我們通過學習“圖形的運動”來對此加以認識．

圖2

設計意圖通過回顧已學知識,引發新的思考,從而展開新問題情境的設計.這種立足于知識的來龍去脈的問題提出方式有利于學生感悟知識的發生、形成與發展的整個過程，有利于學生對知識的全面認識和系統建構．

2.1 探索點、線、面、體之間的關系

(1)點動成線

欣賞與想象 欣賞朱自清的散文《雨》的片段(配音、背景音樂)——“雨是最尋常的，一下就是三兩天．可別惱．看，像牛毛，像花針，像細絲，密密地斜織著，……”引導學生說出自己的猜想“點動成線”后，通過呈現春雨的GIF動態圖片，再從圖片中“抽”出“點動成線”．

操作與發現 引導學生先用鉛筆在紙上寫出自己的姓名，再用直尺、圓規畫等劃線，從而獲得發現——點動成線．

歸納與應用 教師歸納出“點動成線”，并說明點動成線的多樣性后，引導學生盡可能多地舉出相應的實例．

設計意圖本環節是圍繞“點動成線”進行的設計．通過“欣賞散文進行想象—觀察操作獲得發現—點動成線的多樣性演示—舉出生活實例”，讓學生經歷“點動成線”的知識發生、形成和應用的過程，培養學生發現數學、認識數學、應用數學的意識和能力．同時，本環節也凸顯了對學生“數學抽象”能力的培養——雨點、鉛筆的筆尖、圓規的筆尖可以看作什么？(點.)雨點下落、寫字、畫圖的過程又可以看做什么？(點在運動.)運動的結果又形成了怎樣的圖形？(線.)在初步感知數學抽象的基礎上，再給予盡可能多的時間和空間讓學生舉出豐富的“點動成線”的實例，目的是進一步強化學生的“數學抽象”能力，也為“線動成面” “面動成體”的探索積累思維與活動經驗．

(2)線動成面

觀察與想象 通過呈現動態轉動的汽車雨刮GIF圖片，引導學生觀察并說出自己猜想的“線動成面”，再從圖片中“抽”出“線動成面”．

操作與發現 學生在紙上移動一支筆，獲得發現——線動成面．

歸納與應用 教師歸納“線動成面”，并說明線動成面的多樣性后，引導學生盡可能多地舉出相應的實例．

設計意圖本環節是圍繞“線動成面”進行的設計．與“點動成線”的設計類似，學生經歷著“觀察進行想象—操作獲得發現—線動成面的多樣性演示—舉出生活實例”的探索過程．采用同樣的設計，有利于學生運用獲得的活動經驗進行新知的探索和對數學進一步認識．通過該環節的學習，學生的活動經驗獲得了累積，數學抽象能力得到了進一步的提高．

(3)面動成體

思考與想象 引導學生“自然地”思考——面動成什么？然后提出問題：①把一張長方形紙片繞它的一條邊轉動1周；②把一塊直角三角尺繞它的一條直角邊轉動1周；③把一枚硬幣在桌面上豎直快速轉動．它們分別形成怎樣的幾何體？引導學生想象并作出猜想“面動成體”．

操作與發現 學生通過教師提供的長方形紙板、直角三角尺、硬幣等實物工具進行操作，獲得發現——面動成體．

解釋與應用 教師利用幾何畫板軟件分別進行演示并解釋后，學生再盡可能多地舉出“面動成體”的實例．

設計意圖本環節是圍繞“面動成體”進行的設計．“點動成線”“線動成面”的設計突出了在教師引導下教會學生“用數學的眼光觀察世界”的方法，因此這兩個問題由教師提出，重點落在分析問題和解決問題層面，體現了教師在學習活動中的主導作用．作為“點動成線”“線動成面”這兩個問題的自然延伸，在經過對“點動成線”“線動成面”的探索后，學生已經具有了“面動能夠形成怎樣的圖形？”的問題意識，因此為培養學生發現問題、提出問題的能力，本環節改由引導學生提出這個問題.這樣的設計關注了“四能”的落實，體現了學生在學習活動中的主體地位．同時，通過該環節的類比學習，學生的活動經驗再次獲得了累積，數學抽象能力再次得到了提高．

對“點動成線”“線動成面”“面動成體”的探索都經歷著想象→猜想→實驗→應用的過程，這既是培養學生空間觀念的過程，也是培養學生“三會”的過程，凸顯了對學生數學素養的課堂落實．

(4)幾何體的形成

交流與思考 通過上面的探索，我們發現了點動成線、線動成面、面動成體，知道了圓柱、圓錐、球體可分別通過轉動長方形面、直角三角形面、圓面而形成．那么，其他的幾何體，如正方體，又是怎樣形成的呢？

演示與感悟 教師利用幾何畫板軟件演示“點的運動形成正方體”和“正方體退縮為點”的過程，學生獲得發現——圖形的運動本質是點的運動．

鼓勵學生課后繼續從“面動成體”的角度研究更多的幾何體是怎樣形成的．

設計意圖本環節是圍繞“正方體的形成”進行的設計．學生先獨立思考、合作交流，再通過觀察“點運動形成正方體”和“正方體退縮為點”的演示，進一步加深對點動成線、線動成面、面動成體的理解，體驗體由面形成、面由線形成、線由點形成，圖形都是由最基本、最簡單的圖形“點”所構成，從而認識到圖形運動的本質是點的運動．

2.2 探索復雜圖形的組成

拼圖與體驗 如圖3，將兩塊相同的直角三角尺拼接在一起．

(1)可以拼接成哪些不同的平面圖形？并指出這些圖形的名稱．

(2)怎樣拼接，就可以使得拼接成的平面圖形既不重復，又不遺漏？

觀察與感悟 如圖4，動畫演示“勾股樹”，并指出組成勾股樹的基本圖形．

圖3 圖4

設計意圖本環節是圍繞“復雜圖形的認識”進行的設計，由圖形的組合與圖形的分解兩部分組成．拼圖的目的是通過操作，讓學生體會圖形的組合；觀察“勾股樹”圖，找出其中的基本圖形，是讓學生體會圖形的分解，通過這兩個方面引導學生在動態與靜態中感悟復雜的圖形是由簡單的圖形組合而成的，圖形的組合與分解是認識復雜圖形的重要方式．另外，通過拼圖引導學生發現圖形的拼接應具備“兩個圖形存在相等的邊”這個條件；尋找構成勾股樹圖的基本圖形，滲透著縮放變換，目的是讓學生提前感知這種圖形運動的方式，為后繼學習做好鋪墊和準備．

2.3 探索圖形之間的變化關系

感悟“翻折” ①在圖5(1)～(3)中，直線兩旁的圖形完全相同嗎？

圖5

②如圖6，在空白方格中畫出相應的圖形，使直線兩旁的圖形相同．

圖6

感悟“平移” 如圖7，怎樣由圖7(1)得到圖7(2)？把圖7(1)虛線以下的部分向右平移4格，可以得到怎樣的圖形？

圖7

圖8

感悟“旋轉” 如圖8，如何分別將圖中的三角尺轉到圖中虛線所示的位置？

設計意圖本環節是圍繞“圖形之間的變化關系”進行的設計．通過觀察、想象、實驗，在動手操作、動腦思考中，引導學生發現可以通過翻折、平移、旋轉對自己的猜想進行驗證，感悟讓圖形“動”起來是認識和研究圖形的重要方法，初步認識三種圖形運動的基本特點．

2.4 鞏固與應用

知識鞏固 ①如圖9，說說下列圖案是怎樣形成的？

圖9

②如圖10，閱讀材料 “電視畫面的清晰度”，思考電視畫面清晰度形成的原理．

圖10

知識應用

①如圖11，先觀察在蘑菇釘插板上制作的美麗圖案，然后在拼插板上運用翻折、平移、旋轉進行圖案設計，最后展示學生的作品．

圖11

②教師利用幾何畫板軟件進行圖案設計，先畫出三角形，然后進行平移、翻折、旋轉，再著色、拖動，演示圖形的豐富變化，如圖12．

圖12

設計意圖本環節是圍繞知識的鞏固與應用進行的設計．目的是鞏固所學知識，并應用所學知識解決問題,創造生活中的美，感悟數學的作用與價值．“知識應用”中，先通過觀察體會翻折、平移、旋轉在圖案設計中的作用，再利用蘑菇釘插板(或網格紙)設計圖案，深化對翻折、平移、旋轉的認識與理解．教師利用幾何畫板軟件進行圖案設計，目的是通過多彩繽紛、千變萬化的圖案的直觀呈現，讓學生感受翻折、平移、旋轉的價值，體會圖形運動的應用，激發進一步學習的欲望．

2.5 本課小結

通過本節課的學習知道了幾何體是怎樣形成的，了解了復雜圖形是由簡單圖形組成的，認識了圖形的平移、翻折、旋轉，感悟到讓圖形“動”起來是研究圖形性質的重要方法．在后面的學習中，我們將繼續認識幾何體，對翻折、平移、旋轉展開具體的研究，并利用翻折、平移、旋轉研究三角形、四邊形、圓等圖形．

數學是美麗的,也是美妙的.學習數學不僅要動腦去“想”，還要動手去“做”，學會通過觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證的方式去研究數學，會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維分析世界，會用數學的語言描述世界．

設計意圖課堂總結不僅是對所學知識的歸納與整理，也應該是對探究過程、思想方法、活動經驗的總結，還應該有對知識發展的展望與對新知的期盼，應該有對學生學習的贊揚與鼓勵．

3 思考

空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象，現實世界中的物體及其關系是學生觀察的最好材料，學生已有的經驗是觀察、想象、分析的基礎，教學中結合學生熟悉的現實問題情境是發展學生空間觀念的有效策略．初中階段，圖形的運動、幾何體的展開與折疊、幾何體的視圖等都蘊涵著三維圖形與二維圖形的相互轉換，都是培養學生空間觀念的重要載體，而數學實驗是學生利用實驗工具進行觀察想象、操作驗證、推理證明的數學活動.借助數學實驗工具，學生可以親身體驗、感悟幾何圖形的抽象、運動與變化，這與《標準》提出的“空間觀念的目標的達成是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程”具有高度的一致性．因此，數學實驗有助于培養學生的空間想象力，借助數學實驗工具可以有效促進學生空間觀念的形成與發展．