常見的幾個抽象函數問題及其求解策略

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

抽象函數是相對個體的函數而言的，是指沒有給出具體的函數解析式或對應關系，只是給出函數所滿足的一些條件或性質的一類函數.抽象函數問題一般是由所給的條件或性質，討論函數的其他性質，下面舉例說明.

一、根據條件等式求解析式

例1已知3f(x)+2f(-x)=x+3，求f(x).

分析x，-x同時使得f(x)有意義，用-x代替x建立關于f(x)，f(-x)的兩個方程即可求得f(x).

解因為3f(x)+2f(-x)=x+3， ①

用-x代替x，得3f(-x)+2f(x)=-x+3. ②

點評求解本題的策略是利用方程消元法，所謂方程消元法就是指利用方程組通過消參、消元的途徑達到求函數解析式的目的.

二、求抽象函數的值

點評本題求值策略是利用迭代法. 求抽象函數的值還有賦值法、代換法等.

三、求抽象函數的定義域

點評求抽象函數的定義域的策略是利用函數的概念，即由f(x)的定義域[a,b]，求f[g(x)]的定義域的方法：由a≤g(x)≤b，求出x的取值范圍，即為函數y=f[g(x)]的定義域；由f[g(x)]的定義域[a,b]，求f(x)的定義域的方法：由a≤x≤b，求出g(x)的取值范圍即可，即與由f(x)的定義域[a,b]，求y=f[g(x)]的定義域恰好相反.

四、求抽象函數的值域

分析利用換元法求解.

點評求解本題的策略是利用換元法，但必須把新元的取值范圍弄清楚.

五、求抽象函數單調區(qū)間

例5 若函數f(x)在(-,+)上是減函數，求函數f(2x-x2)單調遞增區(qū)間.

分析用復合函數的單調性來求.

解因為f(x)在(-,+)上是減函數，所以f(2x-x2)單調遞增區(qū)間應是u=2x-x2單調遞減區(qū)間，又u=2x-x2的單調遞減區(qū)間是[1,+)，所以函數f(2x-x2)單調遞增區(qū)間是[1，+).

點評求解本題的策略是利用復合函數單調性的求法.

六、比較抽象函數值的大小

點評求解本題的關鍵是把對應的兩個變量的值轉化到同一個單調區(qū)間內，求解策略是利用函數的單調性和轉化思想.

七、抽象函數圖象問題

例7 由函數y=f(x-1)的圖象，通過怎樣的圖象變換可得函數y=f(-x+2)的圖象.

分析解答此題須綜合應用函數圖象的變換的對稱、平移變換.

解將函數y=f(x-1)的圖象向左平移1個單位，得到函數y=f(x)的圖象，將函數y=f(x)的圖象沿y軸翻折，得到函數y=f(-x)的圖象，將函數y=f(-x)的圖象向右平移2個單位，就可以得到函數y=f(-x+2)的圖象.

點評求解本題的策略是利用函數圖象變換的規(guī)律.

八、解抽象不等式

例8 已知f(x)在(0，+)上單調遞增，解不等式f(x)>f[8(x-2)].

分析求解本題的關鍵在于由f(x)>f[8(x-2)]去掉函數關系符號“f”，使抽象的不等式問題轉化為具體不等式問題，注意函數的定義域也是一個限制條件.

解由f(x)>f[8(x-2)]和f(x)在(0，+)上是增函數，得解不等式組，得所以原不等式的解集為

點評單調性定義要能夠逆用，f(x)是[a，b]上的增函數，則f(x1)

九、證明等式

點評求解此類問題的策略是適當的賦值(代入特殊值).

十、抽象函數的綜合問題

例10 函數f(x)的定義域為R，且對任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，又當x>0時，f(x)<0，f(1)=-2.

(1)證明f(x)是奇函數；

(2)證明f(x)在R上是減函數；

(3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]的最大值和最小值.

分析給出函數滿足的條件關系式而未給出解析式，要證明函數的奇偶性與單調性，關鍵是緊扣條件f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0，對其中的x,y不斷賦值，根據f(x)在R上是減函數求出最值.

解(1)令y=-x，得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，所以f(x)+f(-x)=f(0).又因為f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，所以f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數.

(2)任取x1,x2∈R，且x10.又因為當x>0時，f(x)<0，所以f(x2-x1)<0，所以-f(x2-x1)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上是減函數.

(3)因為f(x)在R上是減函數，所以f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值是f(-3)，最小值是f(3).f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×(-2)=-6,所以f(-3)=-f(3)=6.從而f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值是6，最小值是-6.

點評求解此類問題的策略是利用賦值法，即對抽象函數的奇偶性與單調性的證明，圍繞證明奇偶性與單調性所需要的關系式，對所給的函數關系式賦值.