常見的幾個抽象函數問題及其求解策略

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

抽象函數是相對個體的函數而言的，是指沒有給出具體的函數解析式或對應關系，只是給出函數所滿足的一些條件或性質的一類函數.抽象函數問題一般是由所給的條件或性質，討論函數的其他性質，下面舉例說明.

一、根據條件等式求解析式

例1已知3f(x)+2f(-x)=x+3，求f(x).

分析x，-x同時使得f(x)有意義，用-x代替x建立關于f(x)，f(-x)的兩個方程即可求得f(x).

解因為3f(x)+2f(-x)=x+3， ①

用-x代替x，得3f(-x)+2f(x)=-x+3. ②

點評求解本題的策略是利用方程消元法，所謂方程消元法就是指利用方程組通過消參、消元的途徑達到求函數解析式的目的.

二、求抽象函數的值

點評本題求值策略是利用迭代法. 求抽象函數的值還有賦值法、代換法等.

三、求抽象函數的定義域

點評求抽象函數的定義域的策略是利用函數的概念，即由f(x)的定義域[a,b]，求f[g(x)]的定義域的方法：由a≤g(x)≤b，求出x的取值范圍，即為函數y=f[g(x)]的定義域；由f[g(x)]的定義域[a,b]，求f(x)的定義域的方法：由a≤x≤b，求出g(x)的取值范圍即可，即與由f(x)的定義域[a,b]，求y=f[g(x)]的定義域恰好相反.

四、求抽象函數的值域

分析利用換元法求解.

點評求解本題的策略是利用換元法，但必須把新元的取值范圍弄清楚.

五、求抽象函數單調區間

例5 若函數f(x)在(-,+)上是減函數，求函數f(2x-x2)單調遞增區間.

分析用復合函數的單調性來求.

解因為f(x)在(-,+)上是減函數，所以f(2x-x2)單調遞增區間應是u=2x-x2單調遞減區間，又u=2x-x2的單調遞減區間是[1,+)，所以函數f(2x-x2)單調遞增區間是[1，+).

點評求解本題的策略是利用復合函數單調性的求法.

六、比較抽象函數值的大小

點評求解本題的關鍵是把對應的兩個變量的值轉化到同一個單調區間內，求解策略是利用函數的單調性和轉化思想.

七、抽象函數圖象問題

例7 由函數y=f(x-1)的圖象，通過怎樣的圖象變換可得函數y=f(-x+2)的圖象.

分析解答此題須綜合應用函數圖象的變換的對稱、平移變換.

解將函數y=f(x-1)的圖象向左平移1個單位，得到函數y=f(x)的圖象，將函數y=f(x)的圖象沿y軸翻折，得到函數y=f(-x)的圖象，將函數y=f(-x)的圖象向右平移2個單位，就可以得到函數y=f(-x+2)的圖象.

點評求解本題的策略是利用函數圖象變換的規律.

八、解抽象不等式

例8 已知f(x)在(0，+)上單調遞增，解不等式f(x)>f[8(x-2)].

分析求解本題的關鍵在于由f(x)>f[8(x-2)]去掉函數關系符號“f”，使抽象的不等式問題轉化為具體不等式問題，注意函數的定義域也是一個限制條件.

解由f(x)>f[8(x-2)]和f(x)在(0，+)上是增函數，得解不等式組，得所以原不等式的解集為

點評單調性定義要能夠逆用，f(x)是[a，b]上的增函數，則f(x1)

九、證明等式

點評求解此類問題的策略是適當的賦值(代入特殊值).

十、抽象函數的綜合問題

例10 函數f(x)的定義域為R，且對任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，又當x>0時，f(x)<0，f(1)=-2.

(1)證明f(x)是奇函數；

(2)證明f(x)在R上是減函數；

(3)求f(x)在區間[-3,3]的最大值和最小值.

分析給出函數滿足的條件關系式而未給出解析式，要證明函數的奇偶性與單調性，關鍵是緊扣條件f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時，f(x)<0，對其中的x,y不斷賦值，根據f(x)在R上是減函數求出最值.

解(1)令y=-x，得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，所以f(x)+f(-x)=f(0).又因為f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，所以f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數.

(2)任取x1,x2∈R，且x10.又因為當x>0時，f(x)<0，所以f(x2-x1)<0，所以-f(x2-x1)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上是減函數.

(3)因為f(x)在R上是減函數，所以f(x)在區間[-3,3]上的最大值是f(-3)，最小值是f(3).f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×(-2)=-6,所以f(-3)=-f(3)=6.從而f(x)在區間[-3,3]上的最大值是6，最小值是-6.

點評求解此類問題的策略是利用賦值法，即對抽象函數的奇偶性與單調性的證明，圍繞證明奇偶性與單調性所需要的關系式，對所給的函數關系式賦值.