恒等式lg2+lg5=1在解題中的作用

吳 欣

(陜西省西安市高新第二學(xué)校 713200)

例1 求值：(1) (lg5)2+lg50·lg2；

分析靈活運(yùn)用恒等式Ig2+lg5=1及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．

=(lg5)2+(1+lg5)(1-lg5)

=(lg5)2+1-(lg5)2=1.

方法二原式=(lg5)2+lg(52×2)lg2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.

(2)方法一(從左到右變形用“分”的技巧求解)

方法二(從右到左變形用“合”的技巧求解)

小結(jié)對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)與指數(shù)互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算可根據(jù)對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行．在解決對(duì)數(shù)的運(yùn)算和與對(duì)數(shù)的相關(guān)問題時(shí)要注意化簡(jiǎn)過程中的等價(jià)性和對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．

=3lg5lg2+3lg5+3lg22+0-lg6+lg6-2

=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1.

分析注意到5×2=10,lg2+lg5=1，可將所給關(guān)系式的各邊取常用對(duì)數(shù).

例4計(jì)算3lg2·5lg3·673lg2·5lg673.

解法一原式

=(3lg2·673lg2)·(5lg3·5lg673)=(3×673)lg2·5lg3+lg673=2019lg2·5lg(3×673)=2019lg2·5lg2019.

設(shè)m=2019lg2·5lg2019,

則lgm=lg(2019lg2·5lg2019)=lg2019lg2+lg5lg2019=lg2lg2019+lg2019lg5

=lg2019(lg2+lg5)=lg2019,

∴m=2019.

解法二3lg2·5lg3·673lg2·5lg673=2019lg2·5lg2019=2019lg2·2019lg5=2019lg2+lg5=2019.

點(diǎn)評(píng)解法二中，5lg2019=2019lg5，運(yùn)用了恒等式alogcb=blogca，其證明如下:

設(shè)m=alogcb，則logcm=logcalogcb=logcblogca,

設(shè)n=blogca，則logcn=logcblogca=logcalogcb,

∴ logcm=logcn，m=n, 即alogcb=blogca.

如果a=c,則有alogab=blogaa=b,這就是alogaN=N形式的對(duì)數(shù)恒等式. 利用它可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例5計(jì)算3lg2·5lg3+673lg2·5lg673.

解法一設(shè)x=3lg2·5lg3,y=673lg2·5lg673,

則lgx=lg(3lg2·5lg3)=lg3lg2+lg5lg3

=lg2lg3+lg3lg5=lg3(lg2+lg5)=lg3,

lgy=lg(673lg2·5lg673)

=lg673lg2+lg5lg673

=lg2lg673+lg673lg5

=lg673(lg2+lg5)=lg673

∴x=3,y=673.

故3lg2·5lg3+673lg2·5lg673=x+y=3+673=676.

解法二3lg2·5lg3+673lg2·5lg673=3lg2·3lg5+673lg2·673lg5=3lg2+lg5+673lg2+lg5=3+673=676.

牛刀小試

3.計(jì)算2020lg2·5lg2020.

參考答案

3.設(shè)x=2020lg2·5lg2020,則lgx=lg(2020lg2·5lg2020)=lg2020lg2+lg5lg2020=lg2lg2020+lg2020lg5=lg2020(lg2+lg5)=lg2020.

∴x=2020.

4.原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22

=2(lg2+lg5)+(lg25+2lg5lg2+lg22)

=2+(lg2+lg5)2=3.