一類桿端點速度問題的多角度分析

謝汝成

(吉林省遼源市第五中學 136200)

一、提出問題：

如圖1所示，質量不計、長度為L的細桿，緊靠豎直墻壁放置.由于輕微擾動，桿兩個端點A、B分別沿豎直墻面和水平地面滑動，當細桿與水平方向成θ角時，分析A和B兩球的速度.

二、分析方法

1.繩桿約束法

不可伸長的桿或繩繞一點轉動時，盡管各點速度不同，為任意兩點之間的距離保始不變，故各點速度沿桿或繩方向的投影相同.

解析如圖2所示，將AB兩點沿墻和地面的速度vA和vB沿著桿和垂直桿分解，兩端點沿桿分速度相等.

由速度矢量三角形可得

由以上三式聯立可解得：vB=vAtanθ

點評此種方法為高中階段最通用的解法，但學生沒有了解到剛體和速度投影的概念，在速度分解時，學生初學時會感覺到比較棘手.常見的錯誤出現在將B速度分解為水平分量和豎直分量.

2.轉動瞬心法

當剛體的運動既有平動又有轉動時，總能找到一個瞬時速度為零的點，剛體上的每一個點都以不同的轉動半徑繞著該點以某一相同角速度ω轉動，這一瞬時轉動中心稱為轉動瞬心，常用C表示.若已知某瞬間剛體上兩點的速度方向，且速度方向不同，可做兩速度的垂線，垂線的交點即為轉動瞬心.

其中RA=Lcosθ，RB=Lsinθ

由上式聯立可得：vB=vAtanθ

點評此種方法屬于速算類解法，瞬心內容非高考考點，可作為拓展解法，拓寬學生視野，激發優等生對物理的熱愛.

3.微元法

微元法是解決高中物理問題的常見思想方法之一，用此方法可以使一些復雜的物理問題得以簡化.在使用此方法處理問題時，需要在復雜的過程中選取一段時間等物理量非常小的“元過程”，在該“元過程”中某些變化的物理量可認為不變或均勻變化，再應用相關的物理思想和數學方法處理該過程，最后通過“元過程”的分析歸納出適用全過程的結論.

解析如圖4所示，設經歷一小段時間Δt→0，桿AB移動到了A′B′位置，AB和A′B′交于O點，做A′A″垂直AB,BB″垂直A′B′.選取的運動時間極短，角度變化非常小可以忽略不計，速度變化非常小可近似為勻速運動.

∠A′B′B≈∠ABO=θ，∠OA′B′≈∠A′AB=90°-θ

ΔA′A″O′和ΔBB″O′為兩全等三角形，A″B=A′B″

由此可得AA″=B′B″

①

其中AA″=AA′sinθ=vAΔtsinθ

②

B′B″=BB′cosθ=vBΔtcosθ

③

由①②③可得：vB=vAtanθ

點評此種方法難點在于微小量的尋找和數學關系的計算，對學生的思維要求比較高.

4.求導法

解析如圖5所示，A點坐標：YA=Lsinθ

B點坐標：XB=Lcosθ

對AB坐標關于時間θ求導

表達式中的符號表示變化趨勢相反，不代表大小，故在下面計算中僅帶入數值大小.

vB=vAtanθ

點評導數作為高等數學的基礎，解決此類速度關系的優勢非常明顯.此種方法在物理競賽中的應用非常廣泛.

5.功率法

系統內一對內力所做的總功等于力與力方向的相對位移的乘積，若由無形變的輕質桿或繩連接著兩物體，則桿或繩對兩物體做的總功等于零，即桿或繩對兩物體做功的功率也等于零.

解析輕桿對AB兩端點的彈力方向如圖6所示，桿對AB兩端點的功率之和等于零.

消去F可得：vB=vAtanθ

點評：利用功能關系分析牽連速度的關系時，思路清晰，分析簡單，不易出錯，并且能有效的拓寬學生的視野.

6.相對運動法

知識準備：通常我們選擇地面作為最大的參考系，并認為地面是絕對靜止的，但當運動比較復雜時，可以選擇適當的物體或點為參考系，能有效地簡化分析過程.任何物體相對于地面的運動，稱之為絕對運動，其相對于地面的位移和速度分別稱為絕對位移和絕對速度，而相對于非地面的參考系的運動，稱之為相對運動，其相對于該參考系的位移和速度分別稱為相對位移和相對速度，參考系的運動，我們稱之為牽連運動，其位移和速度分別稱之為牽連位移和牽連速度.

絕對位移=相對位移+牽連位移；s絕=s相+s牽

絕對速度=相對速度+牽連速度；v絕=v相+v牽

解析選擇B點為參考系，則A點以B端點為圓心，以桿長為半徑做圓周運動.

vA=vAB+vB

由速度矢量三角形分析可得，vB=vAtanθ

點評：在處理運動學問題時經常以地面為參考系，時間長了容易形成慣性思維，只要是運動學問題就一定選擇地面為參考系.本解法旨在讓學生明確，很多復雜的運動學問題，換個思路、換個參考系，就可能大大的簡化問題難度，提升解題效率，本解法更有助于培養學生的思維能力.

綜上所述、通過以上六個角度的分析，讓學生能夠比較透徹的理解牽連速度問題，同時使用多種非基礎解法，有助于拓寬學生知識面.