把握數學本質 啟發學生思考 改進教學過程
——蘇教版“兩角和與差的余弦”的教學設計與思考

徐茂炳

(江蘇省溧水高級中學 211200)

“兩角差的余弦公式”是蘇教版必修4第10章的章節起始課，研究的是兩角，有別于“同角三角函數的基本關系”“誘導公式”(研究的是同角)，思維角度由單一向復雜轉化，思維的廣度與難度在拓寬并加深．兩角差的余弦公式是全部和、差、倍角公式的基礎，是本章公式推導體系的“源”，為后續內容的學習奠定基礎．基于“新課標、舊教材”的背景，筆者認真研讀新課標的教學建議并對幾種版本的教材進行了對比，秉承“把握數學本質，落實核心素養”的理念，為南京市溧水區名師班教師開設了一節示范課.現將這節課的設計意圖和教后反思形成文字，與同行交流探討．

1 基于數學學科核心素養的教學設計和實施

1.1 教學目標的制定要突出數學核心素養

數學教學目標的擬定必須依據三個要素：數學課程標準、數學教學內容、學生的學習狀況．三角函數內容在修訂過程中特別注意改進了原教科書在內容銜接上的缺陷，把三角函數研究編排在冪函數、指數函數、對數函數之后，一方面引導學生自主構建三角函數的研究過程，另一方面豐富和完善函數的性質(周期性)，特別是強調單位圓的作用，為證明兩角和與差的余弦公式進行了預設和鋪墊．同時新課標在知識生成順序上也進行了調整，把本節內容放在向量學習之前.為此，在設計本節課教學目標時筆者進行了認真的分析和思考，為了讓公式的證明更加自然和諧，引入了數學史的相關內容．本節課的教學目標設計如下：

教學目標 (1)通過角的旋轉變換回顧誘導公式的推導，培養學生從特殊到一般提出問題(兩角和與差的三角函數值)，通過數學史發現問題，提升數學抽象素養．(2)通過之前研究三角函數的方法，分析證明兩角和與差的余弦公式的策略，感受數學發現和創造的過程，體會向量和三角函數間的聯系，提升直觀想象和數學建模素養．(3)從余弦的差角公式推出余弦的和角公式中理解化歸思想在三角變換中的作用，提升邏輯推理素養．(4)能用余弦的和差角公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值，提升數學運算素養．

李尚志教授提出：數學核心素養具有連續性、階段性和整合性等特點，基于數學核心素養的教學設計要突出其特點，以教學目標為指向，結合教學任務設計教學過程，促進學生核心素養的連續性和階段性發展，使學生會用現成的套路解決不現成的問題．總之，教學目標的確定既要在宏觀上整體把握，又要在微觀上有所體現；既要注意核心素養之間的聯系與交融，還要根據不同的學習內容有所側重．教學目標的完成需要踏實且科學地執行，要做成、做實.學會用“數學的眼睛看”“數學的思維想”“數學的語言說”，是學生個體在一個一個具體而細化的教學目標中內化得到的收獲．

1.2 情境創設、問題設計要有利于發展數學學科核心素養

上課前兩位學生分別用大提琴和長笛合奏《歡迎你遠方的朋友》，上課鈴響時，演奏結束，起立上課．學生、包括聽課的教師都以為這僅僅是一種學生才藝表演．在課堂小結環節，筆者讓學生思考為什么設置合奏節目.有些學生能回答出是同周期的聲波的疊加，也就是sin(ωx+φ)與sin(ωx+θ)相加，其實就是本節課的實際應用．因為這個情境是綜合情境，屬于水平三，對學生的要求較高，因此放在最后總結時提出問題，沒有影響整節課的教學安排，但是能體現出本節課較高的達成率．設置數學教學情境既要緊扣教學目標，適合學生的認知水平，靠近他們的最近發展區，又要具有較豐富的數學信息，形式盡可能的生動直觀，易于理解，以便學生提出數學問題，自己去解決自己提出的數學問題，在獲取數學知識的同時體驗數學知識的形成過程．新數學知識的獲得以數學問題的提出為基礎，這是為數學的產生與發展的歷程所證明的客觀事實．

本節課前的知識儲備：利用單位圓解釋和分析三角函數的概念、性質，以及運用單位圓的直觀模型解決三角函數問題的能力．由單位圓結合預設的學習過程，通過歸納推理，利用變化中的不變因素設置如下的情境和問題.

·問題情境

問題1前面我們是如何研究同角三角函數關系和誘導公式的？(目的是復習單位圓)

設計分析從旋轉角的角度研究，利用幾何直觀的方法，探究三角函數式的關系，起點是誘導公式(單角與軸線角的和差三角函數)，終點是兩角差的三角函數．從特殊到一般的設計，提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模素養．

情境旋轉角α-β統一關系式旋轉整圈±2kπcos α cos β+sin α sin β=cos(±2kπ)逆(順)時針半圈±πcos α cos β+sin α sin β=cos(±π)逆時針14圈π2cos α cos β+sin α sin β=cosπ2順時針14圈-π2cos α cos β+sin α sin β=cos-π2()逆時針旋轉π3π3cos α cos β+sin α sin β=cosπ3

通過以上的情境和問題設計猜想：cosαcosβ+ sinαsinβ=cos(α-β)．正如史寧中教授所說：數學結果是看出來的．數學問題情境是學生展開學習活動的環境載體，指向關鍵數學問題，關注數學本質，具有興趣特征，能激發學生學習興趣，引發學生自主探究.具有恰當的情境自然和情境梯度，有利于學生挑戰問題，培養科學精神．

1.3 整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展

數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體．在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養；將數學文化融入教學，還有利于激發學生的數學學習興趣，有利于學生進一步理解數學，有利于開拓學生視野、提升數學學科核心素養． 針對本節課的特殊位置，如果按照新課標中教學順序安排，向量放在之后學習，那么公式的證明方法需要進行一定的調整和補充，一方面結合傳統的坐標距離證明，另一方面可以參照數學史給出證明，是對課本中“向量數量積+單位圓”證法的一種補充.因此，本節課教學過程進行如下的設計.

·教學過程

猜想：由任意角β的終邊繞原點逆時針旋轉得到α的終邊，那么α，β間的函數關系如何？

活動2 如何證明？

問題4推導過程是否嚴謹？為什么？

圖1 圖2

微視頻展示“麥克肖恩證明法”：考慮到學生的實際情況，本節課通過微視頻簡單介紹這些證明方法．這是附加式地使用數學史．1941年美國數學家麥克肖恩對薩呂斯的證明做了改進．他在《美國數學月刊》上發表文章，避開弦長公式，重新推導了兩角差的余弦公式．如圖2所示，在單位圓O中，構造∠AOB=α，∠AOC=β，將△BOC順時針旋轉，使得OC與OA重合，OB與OD重合，由AD=CB，利用兩點間的距離公式即得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ．這一證明方法是以前教材給出的方法，它適用于任意角的情形．本節課通過微視頻介紹麥克肖恩方法的歷史背景，再讓學生就這一證明方法談談感受．

圖3

圖片展示“無字證明法”：“無字證明”起源于20世紀90年代末美國《數學雜志》開辟的專欄．利用矩形的高作為中間量，算兩次即可得兩角差的余弦 (圖3)．通過這樣的設計帶領學生一起欣賞“無字證明”所展示的數學美，在欣賞的過程中，巧妙“發現”兩角差的正弦公式，為后續教學做了非常好的鋪墊．

1.4 重視教更要重視學，促進學生學會學習

本節課采用師生、生生合作交流和以學生為主體的探究式學習展開教學．核心素養方面尤其側重于數學抽象、邏輯推理、直觀想象等素養的提升，主要引導學生通過自主學習和合作探究實現從熟悉的生活情境中抽象出兩角和與差的余弦公式的猜想、證明和應用．通過合作交流，明確兩角和與差余弦公式的結構特點和記憶方法，從而達到靈活應用公式解決相關的數學問題．

·教學難點的突破 在公式的證明過程中，很快有學生發現，剛才的研究過程僅能說明當α-β∈[0,π]時結論是正確的．但是我們研究的α-β為任意角，如何證明[0,π]范圍以外的角研究過程也是正確的呢？在思考交流之后，學生給出了他們的想法：余弦函數的周期為2π并且為偶函數，其他范圍的角均可以用這兩個性質將其轉化為 [0,π]范圍之內．當α-β∈[0,π]時，利用cos(θ±2kπ)=cosθ轉化為α-β∈(-π,π]；當α-β∈ (-π,0)時，利用cos(-θ)=cosθ轉化為α-β∈[0,π]，所以α-β為任意角．

注重公式的推導過程，學生主動對公式進行推導，不僅可以提高其運算能力，還能增強其發散思維能力；其次,在課堂教學中要注重對公式的正用、逆用、變用，對課本中公式的理解可以從字母和式子兩個角度進行．課前合奏的情境目的是前后呼應：純音可以用正弦函數來表達，音高與正弦函數的頻率有關，響度和正弦函數的振幅有關，和聲、音色與正弦函數的疊加有關．

1.5 重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合

設計分析:公式的記憶是本節課的重點，為了突出重點幫助學生準確記憶和運用公式，在課件制作過程中筆者用“○”框住α，用“□”框住β，用顏色的改變突出公式的同名三角函數名，用“◇”突出正負號的規律.這樣處理在突出重點的同時突破了難點，“○”和“□”可以是一個單角也可以是一個復角，為后續角變換思想的學習做鋪墊.

只有正確認識現代教育技術與數學課堂教學的特點，教師才能真正探索出行之有效的現代教育技術的內容、途徑和方法.目前數學教材中對幾何畫板、超級畫板、GGB都有專門的介紹，對一些抽象的、含參的、動態的代數和幾何問題，充分運用現代教育技術優化教學過程，引導學生改變學習方式，使學生樂于投入到現實的、探索性的課堂教學活動中去，提高自身信息技術素養和數學學習能力.

2 把握本質、啟發思考、改進教學的課堂教學反思

(1)公式證明方法，引入數學史的位置和必要性.兩角和與差的正余弦公式被稱為平面三角學的基本公式．筆者梳理了公式的產生與發展歷史過程，從學生的認知基礎出發,選擇了麥克肖恩方法和無字證明法，既激發了學生學習的興趣，又讓學生感受知識的數學本質．通過前面的情境與問題，學生猜想出公式cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ．“向量法—麥克肖恩法—無字證明法”的方式是這堂課最終的課堂組織形式，通過引入鋪墊從數學上給出嚴格的證明，然后給出數學史中的兩種方法，呈現公式發現和證明最原始的形態，提升邏輯推理和直觀想象素養．“無字證明—麥克肖恩法—向量法”的組織方式是筆者課前曾猶豫過的，先利用無字證明可以把猜想的結果“做實”，然后再想辦法證明，從歷史時間上由遠及近．從自己的理解來看，對于新教材，如果向量知識后置則可能選用后者更合適．任何數學公式都不是憑空產生的，都蘊含著精彩的思想方法和漫長的發現過程．從歷史的視角來呈現公式可以賦予公式鮮活的生命，讓學生“穿越時空與數學家對話”，不同時空的研究者對兩角和與差的余弦公式給出的不同證明方法揭示了數學文化的多元性以及數學家追求真善美的人文精神．

(2)課本的引入是否可刪？章建躍教授曾在全國優質課點評時說：“有些課堂引入可以聯系實際，不夠自然，或者引入后高于學生的認知水平，學生不能建立有效的數學模型．”由于在進行必修4教學時，物理中的簡諧振動學生還沒有學到，所以在講到簡諧振動這一模型時，學生的理解總是不到位，處于一知半解的狀態．教科書的引入是利用周期運動的疊加，猜想它仍是一個簡諧振動．若本節課直接采用課本上兩個周期的運動疊加引入教學，筆者認為學生會覺得突兀，并且不能聯系生活實際，不能帶動學生對課堂教學做有效的探究．因此采用聲波的疊加，先設置情境和懸念，通過本節課的學習最終由學生自己解釋問題，通過學生自己的才藝，來源于生活高于生活．

(3)板書設計對教學的促進.板書設計是教師的“微型教案”，是一種高濃縮的提煉藝術，它要求教材內容與教師講授達到合拍共振．匠心獨具的板書既能激發學生的思維，又能陶冶學生的情操、誘發學生的美感體驗．數學教學中書寫大量的數學符號，以及要進行嚴密的邏輯推理的證明等，都必須借助于板書．筆者認為，數學教學的板書設計主要有提要、示范、深化、美觀作用．本節課的猜想結果就是通過“特殊情況”的板書讓學生觀察、發現、猜想，起到了很好的效果．