關于用導數研究零點問題的一點思考

摘?要：簡單函數的零點問題通常可以通過函數零點的定義或二分法，也可以用數形結合的方法借助函數的圖像，結合零點存在性定理判斷零點的存在情況。用導數來研究零點問題，就是把函數問題轉化為方程根的問題，再轉化為兩函數的曲線在該區間的交點問題，再用導數研究函數的性質，繪制出大致圖像，運用數形結合的思想找出函數圖像的交點個數，從而求解函數的零點問題。

關鍵詞：函數;零點;求導;數形結合;交點

函數的零點問題就是研究函數與方程之間的內在關聯，培養用函數的眼光看待問題的意識。簡單函數的零點問題通常可以通過函數零點的定義或二分法，也可以用數形結合的方法借助函數的圖像，結合零點存在性定理判斷零點的存在情況。然而事實上，我們常遇到一些較復雜的函數，它們的零點無法求出，圖像也無法輕易畫出，這時就需要用導數來幫忙，否則就會很難解決所遇問題。

函數的零點問題由于其綜合性強，難度大，對能力要求高，體現高考的選拔性，受到近幾年來高考出題者的青睞，也是各高校選拔人才的關鍵壓軸題，因此是非常值得關注和研究的重要問題。其綜合性體現在與函數有關的許多問題如單調性問題，極值、最值問題、恒成立問題等相結合。用導數來解決函數零點問題的優勢在于幾乎可以訓練到所有高中數學學習中的重要思想方法，如分類討論，函數與方程，劃歸與轉化，數形結合以及分離參數等數學方法技巧，同時對學生的直觀想象素養、邏輯推理素養、數學抽象素養、數學運算素養等也有所提升，符合了新高考的指導方向。

復雜函數的零點問題形式雖多但主要有以下兩種情況。

一、 利用導數來判斷函數零點的個數

研究的函數在定義域上單調，此類函數的零點通常只有兩種情況，要么為零個，要么為一個。

反思方法：研究在整個定義域上單調的函數時，有以下兩步：第一步：對函數求導，驗證該函數在定義域上的增減情況;第二步，結合零點存在性定理判斷零點的存在情況。通常難點在于，在定義域中找到特殊的端點值，使之滿足端點值異號。在找值時有一定技巧，要注意總結經驗，如常找一些特殊值如0，-1或+1等，或由已知式子來構造。

二、 已知函數零點存在情況求解參數的值或取值范圍

（一）已知函數零點存在情況求解參數的值

點評：方法1，在求導后，通過對導數的零點（極值點）的個數的分類討論，確定函數的單調性并結合零點存在性定理，來確定零點的情況。特別在分類討論時一定要不重不漏，邏輯連貫，并適時檢查范圍是否完整。方法2，分離變量，避免了分類討論，并構造新函數，把函數的零點問題等價轉化為曲線交點是否存在的問題，因此需借求導研究新函數的圖像性質，體現直觀想象的核心素養。特別，在解決圖像問題時還用到了極限思想，使問題簡潔了不少。此問題的解決看似就是一個函數零點含參問題，其實是由函數極值點，函數單調性，以及恒成立等問題等知識做為理論支撐的一個綜合性問題。

函數的零點問題經常在第二問的解決時常需要用到第一問的結論，所以在解決此類問題時一定要結合第一問結論來解決。同時高考中用導數解決函數的零點問題通常都要涉及一些參數的分類討論，在討論的過程也是得分點，所以一定要重視分類討論。該零點問題的解題步驟有以下三步：第一步，把函數零點存在問題轉化為求方程根再把方程根的問題轉化為兩函數曲線交點的問題;第二步，用導數研究函數的性質如：單調性、極值等，畫出大致圖像;第三步，結合圖像求解參數范圍。在用導數研究函數零點問題中，常還會遇到一些困難如極值點無法求出等，這時還需要用到一些技巧如多次求導，特值找零點，設抽象根，等價轉化，構造新函數等。在上述的例題中有些技巧也有所涉及，有了這些技巧就更加能夠把這一類問題把握得更好。

綜上所述，用導數研究函數的零點問題，其實是函數與方程，數形結合以及用函數的視角研究問題等思想的呈現。認真花時間來研究這個問題，不僅能幫助突破這一難點，有利于高考中取得佳績，起到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果，從而提升對函數這一高中重要知識體系的認知水平，同時也有助于提升數學能力和素養，對解決和研究其他相關問題也非常有幫助。

參考文獻：

[1]張汝波.利用導數解決函數零點問題探秘[J].新高考：高二數學，2014（12）：36-38.

[2]陳小雙.一類零點問題的多角度嘗試與探究[J].讀寫算，2018（6）：168.

作者簡介：張柳，福建省三明市，泰寧縣第一中學。