三角形內角和定理的證明　教學設計

潘維松

一、指導思想與理論依據

在《數學新課程標準》中強調要以學生發展為本，特別重視發揮學生主體在認識活動中的主動和能動作用。基于這樣的思考，我設計了三角形內角和定理的證明這節課。課標要求數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。本節課通過對三角形內角和定理的證明，調動學生關于平行線的性質的相關知識和邏輯證明的相關經驗，在此基礎上經過討論，探究，進而給出證明，學生能清晰、有條理的表達自己的思考過程。在典例解析，合作探究這個環節引導學生積極參與合作、探究、解決問題的全過程，使學生在自主學習、探索、交流中會學數學和樂學數學，力求體現“以學生發展為本”的指導思想。

二、教學背景分析

（一）教材分析

三角形的內角和定理是從“數量關系”來揭示三角形內角之間的關系的，是三角形的一個重要性質，既是今后幾何推理的重要依據，又是計算角度的重要方法，還為解決四邊形和多邊形的內角奠定了基礎提供了方法。其中輔助線的作法、把新知識轉化為舊知識，構造了新圖形、形了成新關系，實現了未知與已知的轉化，起到了解決問題的橋梁作用。

基于此，確定本節課的教學重點探索證明三角形內角和定理的不同方法。

（二）學情分析

根據經驗，在本節課學習之前， 學生在小學里對“三角形內角和是180°”這個結論有了一定直觀認識，前面又學習了三角形的有關概念，平角定義和平行線的性質，為三角形內角和定理的證明做了鋪墊。但學生并末真正去論證過，尤其是輔助線的作法學生在幾何證明過程中接觸不多。 基于此，確定本節課的教學難點運用添加輔助線的方法對三角形內角和定理進行證明。

三、教學目標設置

知識技能：掌握三角形內角和定理的證明和簡單應用，初步學會作輔助線的方法進行證明。

數學思考：通過探索三角形內角和定理的證明過程，培養學生觀察、猜想、和推理論證能力，體會“轉化”的數學思想。

問題解決：能綜合運用平行線的性質和添加輔助線的方法解決三角形內角和定理的證明問題，形成解決問題的一些基本策略。

情感態度：通過一題多證、一題多變激發學生勇于探索、合作交流的精神，體驗成功的樂趣，引導學生的個性發展。形成與他人交流、合作的意識和探究精神。

教學重點難點：

教學重點：利用一次函數的圖象和性質解決與一次函數相關的面積問題。

教學難點：在平面直角坐標系中求三角形面積的常用方法及對三角型面積的各種方法的歸納提升。

四、教學策略分析

教學方法：

教學中采用引導發現法、嘗試探究法，讓他們自主探索、合作交流，充分發揮學生學習的積極主動性，讓他們在展示中體驗成功的快樂，培養他們的思維能力與創新精神。

教學手段：

本節課選擇多媒體輔助教學，同時借助幾何畫板，為學生自主探究和發現新知提供必要的技術支持

五、教學過程

（一）觀察情境 探索問題

在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起了……”“為什么？” 老二很納悶。

同學們，你們知道其中的道理嗎？

三角形藍和三角形紅見面了，藍炫耀的說：“我的面積比你大，所以我的內角和也比你大！”紅不服氣的說：“那可不好說噢，你自己量量看！” 藍用量角器量了量自己的內角和，就不再說話了！

同學們，你們知道其中的道理嗎？

1.提出問題：

（1）“三角形內角和是180°”一定是個真命題嗎？你是怎樣知道的？

（2）你都可以運用什么方法來驗證這個結論呢

教師引導學生用手中的工具對結論進行驗證：度量，折紙，剪拼。

教師指出：任何實驗都會有誤差，即使全班同學都各自剪出了不同形狀的三角形，但也不能就此說明所有的三角形都具有這一共性。那么怎樣才能說明“三角形內角和是180°”的真實性呢？只有經過嚴格的幾何證明，證明命題的正確性，才能說明他的真實性，才能作為定理。

（二）尋找方法 研究規律

學生思考與180°有關的角后回答，可拼成：①平角，②兩平行線間的同旁內角。教師引導，要把三角形三個內角轉化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個角轉化為平角或兩平行線間的同旁內角呢？下面同學們利用準備好的3三角形紙片拼一拼，畫一畫。

1.我探究我快樂

每個學生畫出一個三角形，并將它的內角剪下，分小組做拼角實驗。通過小組合作交流，討論有幾種拼合方法？

1、開展小組競賽（看哪個小組發現多？說理清楚。），各小組派代表展示拼圖，并說出理由。

學生各抒已見，暢所欲言，鼓勵學生傾聽他人的方法。

歸納：可以搬一個角用“兩直線平行，同旁內角互補”來說理，也可以搬兩個角、三個角用“平角定義”說明。引導學生合理添加輔助線（學生討論，教師點評），為書寫證明過程做好鋪墊。

組員之間交流思路，探索不同證明方法，形成共識，準備展示。（寫到展示板上）

2.我展示我精彩

小組交流之后，請學生代表展示

教師預設方法：

延長BC，過C作CE∥AB ? ? ? ? ? ? ? ?過A作MN∥BC

在BC上任取一點D，

過D分別作DM∥AC，DN∥AB

在△ABC內部任取一點D， ? ? ? ? ? ? ? ? 在△ABC外部任取一點D，過D點

過P點作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。 ? ? ? ? ?作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。

學生可能還有其它畫法。

“抓住根本” 抓住“把三個角‘搬到一起，讓三個頂點重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角的定義”這一基本思想，可以把三個角集中到三角形的某一個頂點;可以把三個角集中到三角形的某一邊上;可以把三個角集中到三角形的內部的一點;可以把三個角集中到三角形的外部的一點。學數學要善于抓住不變的根本，又要靈活地在變化中認識、處理和解決問題。讓學生學會“抓住根本”，而不在于有幾種證明方法。培養學生的推理與證明能力。

過A作AN∥BC

也可以搬一個角用“兩直線平行，同旁內角互補”來說理，

教師引導學生進行證明：三角形的內角和等于180°這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？（需要先畫出圖形，根據命題的條件和結論，結合圖形寫出已知、求證。）

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA.

∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）

你能用其他添加輔助線的方法，證明三角形內角和定理嗎？

（4）平面直角坐標系中的求三角形面積的萬能方法（特屬于平面直角坐標系中求三角形面積的方法）

已知：在平面直角坐標系中，點A（0，3）、B（1，4）、C（3，0）是△ABC

的三個頂點，

（1）求直線AC解析式

（2）求△ABC的面積。

3.我歸納我提升

在平面直角坐標系中，求圖形面積的方法有

教師和學生共同總結：

1.割補法：就是分割與補形。

2.證垂直的方法的關鍵是猜想，猜想是在對研究的對象或問題進行觀察、分析、比較等基礎上，依據已有的材料和知識做出推測性想象的思維方法。

3.作平行線法，我們選擇這種方法，對平行線間的面積首先要理解兩個性質：1平行線間的距離處處相等;2等底等高的三角形面積相等。

4. 平面直角坐標系中求三角形面積的萬能方法（特屬于平面直角坐標系中求三角形面積的方法）平面直角坐標系中任意一個三角形的面積都可以寫成（ ×水平寬×鉛垂高）。

（三）變式練習 ?歷練能力（我練習我成功）

已知：在平面直角坐標系中，點A、B、C是△ABC的三個頂點，

1.求直線AB解析式;

2.求△ABC的面積。

【設計意圖】通過變式練習，使學生練習的過程中，鞏固在平面直角坐標系中求三角形面積的方法，重點練習水平寬和鉛垂高的方法。