讓學(xué)生在糾錯(cuò)中成長(zhǎng)

仲一萍

摘 要：數(shù)學(xué)糾錯(cuò)教學(xué)是指教師以學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤為教學(xué)起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)因、自主糾錯(cuò)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)一類薄弱問題的分析解決能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生的認(rèn)知及思維能力得到有效提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)糾錯(cuò)教學(xué);解題能力培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）11-081-2

在前不久剛結(jié)束的2019—2020年度蘇錫常鎮(zhèn)高三教學(xué)情況調(diào)研（俗稱一模）考試中，有幾道試題的得分情況很不理想。筆者在試卷講解的時(shí)候有意加強(qiáng)了對(duì)于學(xué)生自主糾錯(cuò)能力的培養(yǎng)，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果，現(xiàn)做簡(jiǎn)單摘錄如下。

一、課前讓學(xué)生自行嘗試糾錯(cuò)

教師對(duì)于學(xué)生考試中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，不僅要知其然，更要知其所以然。對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤可以作簡(jiǎn)單的歸類：知識(shí)性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤還是策略性錯(cuò)誤。結(jié)合錯(cuò)誤的類型和學(xué)生的實(shí)際知識(shí)水平，可以讓學(xué)生在課前對(duì)部分錯(cuò)題嘗試進(jìn)行自我糾錯(cuò)。如果學(xué)生能自行找出錯(cuò)因并加以糾正，使學(xué)生經(jīng)歷“識(shí)錯(cuò)—糾錯(cuò)—反思”的過程，對(duì)于學(xué)生的成長(zhǎng)具有很大的幫助。

例1 （一模第12題）在△ABC中，（AB-λAC）⊥BC（λ>1），若角A的最大值為π6，則實(shí)數(shù)λ的值是??? 。

本題考查了平面向量的數(shù)量積和解三角形的應(yīng)用問題，屬于中檔題。但是考試結(jié)果顯示本題的正確率并不高。試卷講評(píng)前通過與學(xué)生交流得知，錯(cuò)誤的同學(xué)也都知道應(yīng)該要把向量垂直這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0這個(gè)條件上來，但是接下來卻不知道怎么運(yùn)算下去。筆者提醒他們注意觀察題中所涉及的三個(gè)向量的起點(diǎn)以及所給的角度A。學(xué)生通過分析，很容易發(fā)現(xiàn)應(yīng)該把向量BC轉(zhuǎn)化成AC-AB，這樣轉(zhuǎn)化以后所有涉及到的向量都是以A為起點(diǎn)的，而且在數(shù)量積的展開式中的AB·AC這一項(xiàng)也可以和角A聯(lián)系起來，最后借助基本不等式和角A的范圍，可以求解出實(shí)數(shù)λ的值。解答如下：因?yàn)椋ˋB-λAC）⊥BC，所以（AB-λAC）·BC=0，

即（AB-λAC）·（AC-AB）=0，展開可得（1+λ）AB·AC=AB2+λAC2，也即（1+λ）bccosA=c2+λb2，所以cosA=c2+λb2（1+λ）bc≥2λbc（1+λ）bc=2λ1+λ，又因?yàn)榻茿的最大值為π6，所以cosA≥cosπ6=32，所以2λ1+λ=32，又λ>1，解之得λ=3。

在試卷講評(píng)之前對(duì)于考試中因各種原因引起的失誤或思考不周引起的錯(cuò)誤，可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試自我糾錯(cuò)。通過學(xué)生自我糾錯(cuò)，使學(xué)生對(duì)于問題可以有更好的認(rèn)識(shí)，以及積累屬于學(xué)生自己的解題經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于學(xué)生獨(dú)立思考仍然不能解決的問題，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧做過的類似題型、相互討論等方式加以糾正。學(xué)生通過自己的努力完成的糾錯(cuò)所獲得的成就感是對(duì)學(xué)生信心的極大鼓舞。

二、課中讓學(xué)生自主探究糾錯(cuò)

數(shù)學(xué)糾錯(cuò)教學(xué)不僅是讓學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握解題方法的過程，更是教師深入了解學(xué)生認(rèn)知水平，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程。在糾錯(cuò)教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重糾錯(cuò)的藝術(shù)性，注意“放手”，盡可能讓學(xué)生自行審視自己的解法，探尋錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源。爭(zhēng)取做到讓學(xué)生自行找到錯(cuò)誤的本質(zhì)，能對(duì)癥下藥，學(xué)會(huì)反思總結(jié)，能找出糾錯(cuò)的方法與改進(jìn)的措施。幫助學(xué)生養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣，提高學(xué)生的認(rèn)知和解題能力，更可以讓學(xué)生收獲從失敗到成功的心理滿足感。

例2 （一模第14題）在△ABC中，AB=4，D是AB的中點(diǎn)，E在邊AC上，AE=2EC，CD與BE交于點(diǎn)O.若OB=2OC，則△ABC面積的最大值是??? .

本題是填空題的壓軸題，考查的主要知識(shí)點(diǎn)是隱形圓的性質(zhì)，對(duì)于學(xué)生的綜合能力要求較高。本題分值5分，但是蘇州全市的平均得分僅0.3分，可見本題對(duì)于學(xué)生的殺傷力如何強(qiáng)大。在講解本題之前，筆者先問了學(xué)生記憶中是否有過類似的圖形及條件出現(xiàn)過？有少數(shù)同學(xué)猶豫著回答說在2019年江蘇高考卷中有類似圖形（全班都曾做過此份試卷）。于是筆者便將2019年江蘇高考卷第12題投影了出來：

如圖：在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O。若AB·AC=6AO·EC，則ABAC的值是。

兩個(gè)題目一經(jīng)對(duì)比，許多同學(xué)本已模糊的記憶也被慢慢地喚醒了。筆者接著追問當(dāng)時(shí)是如何處理本題的，有不少同學(xué)依稀記得是取了BE的中點(diǎn)，構(gòu)造了一條平行線段。然后筆者便留了足夠的時(shí)間讓學(xué)生自行探討14題的解決方法。

學(xué)生1：我用與高考題相似的處理方法，先取線段AE的中點(diǎn)F，易知AF=EF=CE，連接DF，則可以證得線段DF∥BE，也就可以得到DF∥OE，然后可以證得O為CD中點(diǎn)。但是下面我就不知道該怎么處理了。

教師：你分析得很好。那么OB=2OC這個(gè)條件該怎么運(yùn)用呢？

學(xué)生2：這個(gè)條件和阿波羅尼斯圓的定義可以聯(lián)系起來。我采用了建系的方法，以AB所在邊為x軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），D（0，0），B（2，0），設(shè)O（x，y），則C（2x，2y）。這樣OB=2OC這個(gè)條件就可以用坐標(biāo)表示為（x-2）2+y2=2（2x-x）2+（2y-y）2，化簡(jiǎn)可以得到點(diǎn)O的軌跡方程是（x+2）2+y2=8，不過下面我不知道怎么把這個(gè)條件和△ABC的面積聯(lián)系起來。

學(xué)生3：只要換成直接設(shè)C（x，y）就可以了，那么O（x2，y2），再列式化簡(jiǎn)就可以得到點(diǎn)C的軌跡方程是（x+4）2+y2=32，所以△ABC的面積最大值S=12AB·r=12·4·42=82。

教師：你分析得非常好，還有同學(xué)有不同的思路嗎？

學(xué)生4：因?yàn)镺是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)B=2OC可以轉(zhuǎn)化成OB=2OD，設(shè)O（x，y），列式可得（x-2）2+y2=2x2+y2，化簡(jiǎn)可以得到點(diǎn)O的軌跡方程是（x+2）2+y2=8，此時(shí)可以求出△ABO的面積的最大值為12·4·22=42，因?yàn)镺是CD的中點(diǎn)，所以△ABC的面積就是△ABO面積的2倍，所以△ABC的面積的最大值就是82。

在高三復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將試卷上所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行必要的歸納整理，對(duì)于“形似質(zhì)異”的問題加以識(shí)別和反思，培養(yǎng)學(xué)生在“聯(lián)系”的狀態(tài)下獲得新的經(jīng)驗(yàn)和感悟。

三、課后讓學(xué)生鞏固糾錯(cuò)效果

試卷講評(píng)的目的是鞏固基礎(chǔ)、發(fā)展思維，提高解題能力。為了鞏固糾錯(cuò)效果，教師可以對(duì)原始錯(cuò)題的條件或者結(jié)論進(jìn)行適度改造，設(shè)計(jì)一系列鞏固題或者拓展題。這種由淺入深、相互關(guān)聯(lián)拓展的變式訓(xùn)練，能激發(fā)學(xué)生探究問題的熱情，認(rèn)清問題的本質(zhì)，提高學(xué)生的認(rèn)知水平，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于此類問題的思維探索能力，有利于鞏固糾錯(cuò)效果。

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)平望中學(xué)，江蘇 蘇州215000）