非均勻可穿透電介質正散射問題的適定性

鄧 霞，葉建國

（1.長沙師范學院數學科學學院，湖南 長沙 410100；2.喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844000）

隨著科學技術的迅速發展，聲波和電磁波的散射問題研究在生產和現實生活中顯得越來越重要，并具有越來越重要的應用價值.聲波和電磁波的散射問題是礦產資源（如石油、煤田、金屬等）開發、物理工程勘探、材料及其結構無損檢測和評價、地震前兆預測、癥腫瘤等疾病檢測、雷達和聲納探測、跟蹤等應用科學的基礎[1-6].本文主要研究非均勻可穿透電介質光波正散射問題的適定性.

1 正散射問題的描述

設電介質為無限長柱體，Ω 為該電介質在二維平面上的投影區域，該有界區域具有光滑邊界?Ω.該電介質的表面涂有金屬材料，假設電場極化為TM 模式，當入射平面波（入射方向|d|=1）遇到涂有金屬材料的電介質時，在電介質邊界?Ω 產生傳輸邊界條件，該非均勻可穿透散射問題的模型可用Helmholtz方程的邊值問題描述為

其中∶波數kj＞0（j=1，2），阻抗率λ＞0，ν 表示光滑邊界?Ω 的外單位法向量，i=.全波U∶=ui+us是給定的入射波ui和與之相應的散射波us之和，“±”表示x 沿法線方向從Ω 的外（內）逼近邊界?Ω.此外，假設散射波us滿足Sommerfeld 衰減條件

正散射問題是指給定Ω，研究問題（1.1）和（1.2）解的存在性和唯一性.對于正散射問題一般采用邊界積分方程方法和變分法來研究[7].積分方程方法對邊界光滑的區域能夠給出解的積分表示，在數值計算時，只需在區域邊界離散，能使問題簡化，有效降低計算的難度.本文使用邊界積分方程方法研究問題（1.1）和（1.2）的適定性.

2 正散射問題的適定性

本文用邊界積分方程方法來研究正散射問題解的存在唯一性.

2.1 正散射問題解的唯一性

定理2.1問題（2.1）至多有一個解.

證明 只需證明問題（2.1）對應的齊次邊值問題只有零解.令BR={x∶|x|=r}，其中r 足夠大并使Ω?Br，設（u，ν）是問題（2.1）對應的齊次邊值問題的解，分別在區域和Ω 內使用Green 公式[7]，可得

由Rellich 引理[7]可得在內有u=0.根據解析函數的唯一性原理可知在內有u=0.由Holmgren 唯一連續性定理[8]可知在內Ω 有ν=0.因此定理成立.

2.2 正散射問題解的存在性

由于散射體的邊界光滑，因此通過適當的定義邊界積分算子，能夠將邊值問題（2.1）轉化為積分方程組，然后通過積分方程組解的存在性證明原邊值問題解的存在性.

2.2.1 邊界積分方程組的導出

首先定義單層位勢

證明 由引理2.1、引理2.2 和Fredholm 定理可知邊界積分方程組（2.20）存在唯一解.

結合定理2.1 和定理2.2，可得傳輸邊值問題（1.1）是適定的.

致謝：感謝華中師范大學數學與統計學院嚴國政教授及其科研團隊對本研究的指導與幫助！