Pythagorean模糊冪Bonferroni集成算子及其決策應用

駱丹丹，曾守楨 ，2

1.寧波大學 商學院，浙江 寧波 315211

2.復旦大學 管理學院，上海 200433

1 引言

Atanassov于1986年提出的直覺模糊集[1]，是對經典Zadeh模糊集[2]理論的重要拓展。相比模糊集只能用單一的隸屬度刻畫抽象概念的肯定程度，直覺模糊集增加了非隸屬度來表示否定程度，從而更加細致全面地刻畫客觀世界的模糊性本質。由于直覺模糊集的隸屬度和非隸屬度之和必須滿足小于等于1的條件，因此在一些實際應用問題中受到很多制約。為此，Yager對其進一步拓展提出了畢達哥拉斯模糊集[3]，將條件拓寬至允許隸屬度和非隸屬度之和大于1，而其平方和小于等于1，故其比模糊集、直覺模糊集具有更強的描述模糊現象的能力。

近年來，關于畢達哥拉斯模糊集的理論研究和應用探索得到許多學者的關注。其中，Akram等人[4]提出了一系列畢達哥拉斯Dombi模糊集成算子。Khan等[5]將優先集成算子拓展到畢達哥拉斯模糊環境中以解決屬性和決策者間存在優先級關系的決策問題。劉衛鋒等人[6]定義了畢達哥拉斯模糊的Hamacher運算方法；Wei[7]在畢達哥拉斯模糊環境下利用Hamacher運算和冪集成算子提出了一系列畢達哥拉斯模糊Hamacher冪集成算子。Verma等人[8]提出了一種基于三角相似性測度的畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法。曾守楨等[9]提出了一種基于混合加權測度的TOPSIS決策方法來解決決策信息為畢達哥拉斯模糊數的多屬性決策問題。Fei等人[10]定義了基于OWA算子的軟似然函數以識別決策者的主觀偏好。Jin等[11]將畢達哥拉斯模糊集與語言術語集結合，定義了畢達哥拉斯模糊語言集。劉衛鋒等[12]將畢達哥拉斯模糊集與猶豫集結合，定義了畢達哥拉斯模糊猶豫模糊集；Garg[13]進一步提出了畢達哥拉斯猶豫模糊混合集成算子。

上述有關畢達哥拉斯模糊信息的集成方法與應用都是在屬性間相互獨立的情況下提出的。實際決策中，不同屬性間可能存在不同程度的關聯性，或互補、冗余、偏好關系等。由Bonferroni[14]于1950年提出的Bonferroni平均（BM）算子是一種均值類型的集成算子，它能有效地捕獲輸入變量間的相互關聯情況，將多個輸入變量集結成一個變量，是一種有界的集成算子。近年來BM算子得到廣大研究者的關注并被拓展應用到不同模糊決策問題中[15-19]。另一方面，冪平均（PA）算子也是一種能有效考慮數據信息之間關聯性的集成算子[20]，其通過考慮輸入數據之間的支撐度關系計算屬性權重，可以有效減少異常數據對決策結果的影響，使得決策信息的處理過程更加客觀公正，因而受到很多學者的關注[21-26]。為了綜合利用Bonferroni平均（BM）算子和冪均（PA）算子的優點，He等[27]將PA算子與BM算子相結合，提出冪Bonferroni平均（PBM）算子。之后，人們將PBM 算子拓展到不同模糊環境中，包括猶豫模糊集[27]、直覺模糊集[28-29]、區間直覺模糊集[30]和語言直覺模糊集[31]；進一步的，Khan等[32]基于Dombi運算，將PBM算子拓展到區間中智環境中以處理區間中智信息的多屬性決策問題。然而，到目前為止，還沒有關于如何利用PBM算子集成畢達哥拉斯模糊數的研究。因此，為了豐富畢達哥拉斯模糊集的集成方法和拓展PBM算子的應用領域，本文將研究基于PBM算子的畢達哥拉斯模糊集成方法，提出兩種新的畢達哥拉斯模糊信息集成新算子，即畢達哥拉斯模糊冪Bonferroni平均算子和畢達哥拉斯模糊加權冪Bonferroni平均算子，并在此基礎上，給出一種新的畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法。

2 預備知識

定義1[3]給定論域X上的畢達哥拉斯模糊集P為：

其中，μP(x):X→[0,1] 和νP(x):X→[0,1]分別代表P的隸屬函數和非隸屬函數，且?x∈X有1，且x屬于P的猶豫度為為計算方便，稱α=μα,να為畢達哥拉斯模糊數（PFN）[33]。

定義2[33]設達哥拉斯模糊數，定義：

關于畢達哥拉斯模糊數更多的運算規則等知識，可參見文獻[33-34]。

定義3[35]設為兩個畢達哥拉斯模糊數，它們之間的支撐度定義為：

為畢達哥拉斯模糊數的距離，παi(i=1,2) 為αi(i=1,2)的猶豫度。

定義4[20]設為實數，則稱：

為冪平均（PA）算子。其中(i=1,2,…,n),Sup(xi,xj)表示xi和xj之間的支撐度，并滿足下列條件：

定義5[14]設p≥0,q≥0，且p與q不同時為0，xi(i=1,2,…,n)為一組非負實數，則稱：

為Bonferroni平均（BM）算子。

定義6[27]設xi(i=1,2,…,n)為一組非負實數，且p,q≥0，則稱：

為冪Bonferroni平均（PBM）算子。

3 畢達哥拉斯模糊冪Bonferroni集成算子

考慮到PA算子能根據屬性之間的支持關系確定屬性權重，從而減少有偏決策者給出異常偏好值對決策結果的影響，而BM算子則能充分考慮屬性間的相互關聯關系，因此，本章根據PA算子和BM算子的特性將兩者結合起來，并將其擴展到畢達哥拉斯模糊環境中，提出基于畢達哥拉斯模糊數的PBM算子。

定義7設p與q為不同時為0的兩個非負實數，αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達哥拉斯模糊數，若：

稱PFPBMp,q為畢達哥拉斯模糊冪Bonferroni平均（PFPBM）算子。其中，T(αi)=Sup(αi,αj)(i=1,2,…,n)，Sup(αi,αj)表示畢達哥拉斯模糊數αi和αj之間的支撐度，并滿足定義4中的條件。

基于畢達哥拉斯模糊數之間的運算法則，可得定理1。

定理1設p與q為不同時為0的兩個非負實數，αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達哥拉斯模糊數，則經過PFPBM算子得到的集結值仍然是畢達哥拉斯模糊數，且

顯然有ω?k≥1。則式（7）和式（8）可分別簡化為式（10）和式（11）：

下面，證明定理1，即證明公式（11）成立。

證明 基于畢達哥拉斯模糊數之間的運算法則，可以得到：

成立，即PFPBMp,q(α1,α2,…,αn)仍然是一個畢達哥拉斯模糊數。

綜上，定理1得證。

PFPBM算子還具有冪等性、置換不變性、有界性等優良性質。

性質1（冪等性）設αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達哥拉斯模糊數，若α1=α2=…=αn=α，則：

性質2（置換不變性）設αi=μi,νi(i=1,2,…,n)為一組畢達哥拉斯模糊數，若(α′1,α′2,…,α′n)為(α1,α2,…,αn)的任意置換，則：

由定義7和定理1可以看出，PFPBMp,q(α1,α2,…,αn)算子只考慮了基于冪算子的權向量和待集成畢達哥拉斯模糊數之間的相關性，并沒有考慮數據本身的重要性，即該集成算子是在集結變量重要程度相等的情形下定義的。然而，在許多實際決策過程中，不同屬性的重要程度可能不同，因此它們的權重也不相等。為了融入指標權重的重要性，接下來將定義畢達哥拉斯模糊冪加權Bonferroni平均（PFPWBM）算子。

定義8設p與q為不同時為0的兩個非負實數，為一組畢達哥拉斯模糊數，權重向量

稱PFWPBM為畢達哥拉斯模糊加權冪Bonferroni平均（PFWPBM）算子。其中，(i=1,2,…,n)，Sup(αi,αj)表示畢達哥拉斯模糊數αi和αj之間的支撐度，并滿足定義4中的條件。

定理2設p與q為不同時為0的兩個非負實數，為一組畢達哥拉斯模糊數。經過PFWPBM算子得到的集結值仍然是畢達哥拉斯模糊數，且

證明過程類似定理1，限于篇幅，此處略去。

與PFPBM算子類似，PFWPBM算子也具有置換不變性和有界性。

下面將討論關于PFWPBM算子的幾種特殊情形，可以發現，現有很多算子是本文所提PFWPBM算子的特例。

此時PFWPBM算子退化為畢達哥拉斯模糊加權Bonferroni平均（WPFBM）算子[17]，該算子不具備冪平均算子的優點。

此時PFWPBM算子退化為PFPBM算子，顯然PFPBM算子是PFWPBM算子的特殊情況。

4 基于PFWPBM算子的多屬性決策方法

從以上分析可知，PFWPBM算子綜合考慮PA算子和BM算子在實際決策問題中的優點，既能有效減少異常數據對決策結果的影響，又能充分考慮屬性間的相關性，基于此，下面提出一種基于PFWPBM算子的多屬性決策方法。

對于畢達哥拉斯模糊多屬性決策問題，設有n個備選方案A={A1,A2,…,An}，m個決策屬性C={C1,C2,…,Cm} ，對應決策屬性的權重向量為 ω=(ω1,ω2,…,ωm)T。其中，ωi∈[0,1]，=1。假設邀請專家提供畢達哥拉斯模糊評價信息，得到畢達哥拉斯模糊決策矩陣M=(αij)n×m，αij=μij,νij。其中，μij和νij分別表示備選方案Ai關于決策屬性Cj的隸屬度值和非隸屬度值。基于PFWPBM算子的多屬性決策方法的步驟如下：

步驟1根據實際情形，建立畢達哥拉斯模糊決策矩陣 M=(αij)n×m，并利用文獻[36]給出的規范化方法，將M=(αij)轉化為規范矩陣n×m。

步驟2計算輸入變量間的支撐度。

其中，k,j=1,2,…,m；l=1,2,…,n。

步驟3根據決策屬性對應的的權重向量計算畢達哥拉斯模糊數所對應的支撐度T()，進而獲取變量的支撐度指數ξlk。

其中，k=1,2,…,m；l=1,2,…,n。

步驟4利用定義8中的PFWPBM算子對各個備選方案Ai(i=1,2,…,n)所對應的屬性值1,2,…,m進行集結，得到備選方案Ai(i=1,2,…,n)的綜合屬性值),…,n。

步驟5計算綜合屬性值αi(i=1,2,…,n)的得分值，在屬性得分值相等的情形下計算其精確值。依據αi(i=1,2,…,n)的優先級關系對備選方案Ai(i=1,2,…,n)進行排序，進而選擇最優方案。

5 實例分析

本章考慮將上文研究得到的PFWPBM算子和決策模型應用到國內航空公司的服務質量評價中，以驗證本文所提方法的有效性和可行性。

例現評價國內4家航空公司A={A1,A2,A3,A4}的服務質量[33]，計劃從4個方面（屬性）對這些公司進行評價，分別是定售票服務(c1)；登機程序(c2)；客艙服務(c3)和公司響應性(c4)，其對應的屬性權重為ω=(0.15,0.25,0.35,0.25)T。假設專家提供的畢達哥拉斯模糊決策矩陣M=(αij)4×4,αij=μij,νij，如表1所示。試根據專家提供的決策矩陣，評價出服務質量最好的航空公司。

表1 畢達哥拉斯模糊決策矩陣

下面將用本文提出的決策方法，評價這4家國內航空公司的服務質量。

步驟1決策矩陣的規范化處理。由于所有屬性都是效益型屬性，因此不需要對上述決策矩陣進行規范化處理。

步驟2計算各個屬性之間的支撐度，進而給出支撐度矩陣，得到：

步驟3計算變量和余下變量整體間的支撐度矩陣T()4×4，以及變量的支撐度指數矩陣ξ，得到：

步驟4利用PFWPBM集結算子對備選方案的綜合屬性值進行集結。為方便計算，這里選取參數p=1,q=1，計算得：

步驟5計算綜合屬性值αi,i=1,2,3,4的得分值S(αi)和精確值H(αi)(i=1,2,3,4)（如有必要）。

然后根據αi,i=1,2,3,4的得分值，得到各個備選方案的優先級關系為：

因此4家國內航空公司中，服務質量最高的是A4。

以上分析是在參數p=1,q=1情形下計算得到的。不失一般性，下面將討論在不同參數取值下，最佳備選方案的變化情況，基于PFWPBM的計算結果如表2所示，相應的方案得分和排序如表3所示。

由表2和表3可知，隨著參數p,q取值的變化，各個備選方案的綜合屬性值以及相應的得分值都發生了變化，最優備選方案（即4家國內航空公司中服務質量最高的）也相應地出現了改變，即由A4變為A2。進一步研究發現，備選方案的綜合得分值將隨著參數p,q取值的增大。因此，在決策過程中，決策者可以根據自身的風險偏好選擇適當的參數p,q。若參數p,q取不同值，可類似分析。

為了更好地體現本文所提方法的優越性，下面進一步與現有方法進行比較分析，選取了文獻[3]中的PFWA算子、文獻[26]中的PFPWA算子、文獻[17]中的WPFBM算子（為便于計算，集成算子中的參數統一取值1），對比結果如表4所示。

表2 PFWPBM集成算子的集成結果(p=q)

表3 PFWPBM集成算子的排序結果

由以上集成結果可知，本文與文獻[26]中的PFPWA算子的最優備選方案相同，同為A4，而文獻[3]中的PFWA算子和文獻[17]中的WPFBM算子的最優備選方案同為A2。進一步的，發現各個方法的得分值以及排序結果也略有差異。導致上述差異的主要因素是以上幾種模型算子均采用了不同的信息集成方法，且均基于算術平均的思想，但算子在集結過程中的側重點不同。文獻[3]中的PFWA算子主要是針對屬性間相互獨立的情況，沒有考慮屬性間可能存在的相互關系。而文獻[17]中的WPFBM算子沒有考慮數據信息之間的關聯關系。本文給出的PFWPBM算子是結合PFPWA算子和WPFBM算子的優點，不僅考慮了屬性間可能存在的相互關系，還反映了數據間的整體均衡性，從而避免有偏決策者給出異常偏好值（即原始數據中過大或過小的值）影響決策結果，使得決策更加公正客觀。同時，新算子帶有參數p,q，使得決策者可根據自身風險偏好靈活選取參數值，且調節系數n的增加，使得新算子在信息集成過程中更為穩健，較好地保留了算術平均算子本身的特性。

表4 對比分析結果

6 結束語

針對畢達哥拉斯模糊多屬性決策問題，本文提出了兩種新的畢達哥拉斯模糊集成方法，即畢達哥拉斯模糊冪Bonferroni平均算子和畢達哥拉斯模糊加權冪Bonferroni平均算子。新算子結合了冪均算子和Bonferroni算子的優良特點。不僅考慮了數據信息之間的整體均衡性，還考慮了屬性之間可能存在的相互關聯關系。進一步的，還探討了新算子的一些優良性質和特殊情況。在此基礎上，給出了基于畢達哥拉斯模糊加權冪Bonferroni平均（PFWPBM）算子的多屬性決策方法以及詳細步驟，并從實例和比較分析兩方面驗證所提方法的有效性和可行性。本文所提的決策方法也可以進一步應用到諸如供應商選擇評價、產品方案選擇評價、人力資源部門人才引進的推薦等領域中，具有一定的理論和應用價值。